Asociativní vlastnost
binární operace ∗ {\displaystyle *} na množině S, která nesplňuje asociativní zákon, se nazývá non-asociativní. Symbolicky,
( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) pro nějaké x , y , z ∈ S . {\displaystyle(x * y)*z\neq x*(y * z)\qquad {\mbox{pro některé }}X,y,z\V S.}
pro takovou operaci záleží na pořadí hodnocení., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
Také si všimněte, že nekonečné sumy nejsou obecně asociativní, například:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots \,=\,0}
vzhledem k tomu, že
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots \,=\,1}
studie non-asociativní struktury vzniká z důvodů poněkud odlišné od hlavního proudu klasické algebry., Jedna oblast v asociativní algebře, která se rozrostla velmi velká, je oblast ležových algeber. Tam je asociativní zákon nahrazen identitou Jacobi. Lež algebry abstraktní základní povahu nekonečných transformací, a staly všudypřítomné v matematice.
existují další specifické typy asociativních struktur, které byly studovány do hloubky; ty mají tendenci pocházet z některých specifických aplikací nebo oblastí, jako je kombinatorická matematika. Další příklady jsou quasigroup, quasifield, non-asociativní prsten, non-asociativní algebry a komutativní non-asociativní magmat.,
Nonassociativity plovoucí bod calculationEdit
V matematice, sčítání a násobení reálných čísel je asociativní. Naproti tomu v informatice není sčítání a násobení čísel s plovoucí desetinnou čárkou asociativní,protože chyby zaokrouhlování jsou zavedeny, když jsou vzájemně spojeny odlišné hodnoty.
přestože většina počítačů počítá s 24 nebo 53 bity mantisy, jedná se o důležitý zdroj chyby zaokrouhlení a přístupy, jako je algoritmus Kahan sumace, jsou způsoby, jak minimalizovat chyby., To může být obzvláště problematické v paralelních výpočtech.
Notace pro non-asociativní operaceeditovat
obecně platí, že závorky musí být použity k označení pořadí hodnocení v případě, že non-asociativní operace se objeví více než jednou ve výrazu (pokud notace určuje pořadí, v další cestou, jako 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Matematici se však shodují na konkrétním pořadí hodnocení pro několik společných nespolečenských operací. To je prostě notační konvence, aby se zabránilo závorky.,
zleva asociativní operace je non-asociativní operace, která je obvykle vyhodnocovány zleva doprava, tedy,
x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z, w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z, atd. } pro všechny W , x , y, Z ∈ s {\displaystyle \vlevo.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{atd.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{pro všechna }}w,x,y,z\in S}
zatímco právo-asociativní operace je obvykle vyhodnocován zprava doleva:
x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) atd., } pro všechny W , x , y, Z ∈ s {\displaystyle \vlevo.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{atd.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{pro všechna }}w,x,y,z\in S}
Obě levé-asociativní a právo-asociativní operace nastat., Vlevo-asociativní operace zahrnují následující:
- Odčítání a dělení reálných čísel:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- Funkce aplikace:
( f x y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y)} Tento zápis může být motivována mazání, izomorfismus.,
-asociativní operace zahrnují následující:
- Umocňování reálných čísel v horní index notace:
x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} Umocňování se běžně používá s držáky nebo vpravo-associatively, protože opakované vlevo-asociativní operace umocňování je k ničemu. Opakované pravomoci by většinou být přepsána pomocí násobení: ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}} Formátovaný správně, horní index ze své podstaty chová jako soubor závorky; např., v výraz 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3}} přidání se provádí před umocňování přesto, že tam je žádné explicitní závorky 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} omotal kolem něj. Takto daný výraz, jako je x y Z {\displaystyle x^{Y^{z}}}, je nejprve vyhodnocen plný exponent y z {\displaystyle y^{z} základny x {\displaystyle x}., Nicméně, v některých kontextech, a to zejména v rukopisu, rozdíl mezi x y z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} a x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} může být těžké vidět. V takovém případě se obvykle předpokládá pravá asociativita.,
- definice Funkce
Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − y = x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} Pomocí pravé-asociativní notace pro tyto operace mohou být motivováni tím, že Kari–Howard korespondence a mazání, izomorfismus.
nespolečenské operace, pro které není definován Žádný konvenční hodnotící řád, zahrnují následující.,splaystyle\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}
- vektorový součin tří vektorů:
→ x ( b → × c → ) ≠ ( a → x b → ) × c → pro některé a → b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ pro některé }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}
- Užívání párového průměru reálných čísel:
( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 pro všechna x , y , z ∈ R, x ≠ z ., {\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{pro všechna }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ s }}x\neq z.}