Celé číslo

ve výuce na základní škole jsou celá čísla často intuitivně definována jako (pozitivní) přirozená čísla, nula a negace přirozených čísel., Tento styl definice však vede k mnoha různým případům (každá aritmetická operace musí být definována na každé kombinaci typů celých čísel) a je únavné prokázat, že celá čísla dodržují různé zákony aritmetiky. Proto se v moderní set-teoretické matematice často používá abstraktnější konstrukce umožňující definovat aritmetické operace bez rozdílu případů. Celá čísla tak mohou být formálně konstruována jako třídy ekvivalence uspořádaných párů přirozených čísel (a,b).,

intuice je, že (a,b) je zkratka pro výsledek odečtením b z. Potvrdit naše očekávání, že 1 − 2 a 4 − 5 označují stejné číslo, definujeme rovnocennost vztahu-na těchto párů s následující pravidlo:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

právě tehdy, když

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

Sčítání a násobení celých čísel, může být definována ve smyslu ekvivalentní operace o přirozená čísla; pomocí pro označení ekvivalence třídy s (a,b) jako člen, jeden má:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \ cdot:=.}

negace (nebo inverzní přísada) celého čísla se získá obrácením pořadí páru:

− := . {\displaystyle -:=.}

odčítání lze tedy definovat jako přidání přísady inverzní:

-:= . {\displaystyle -:=.}

standardní objednávce na celá čísla je dána tím, že:

< {\displaystyle <} tehdy a jen tehdy, když a + d < b + c . {\displaystyle A+D<b + c.,}

lze snadno ověřit, že tyto definice jsou nezávislé na výběru zástupců tříd ekvivalence.

je tedy označen

{a-b, pokud a ≥ b – (b-a), pokud a < b . {\displaystyle {\begin{případů}a-b,&{\mbox{pokud }}\geq b\\-(b-a)&{\mbox{pokud }}<b.\end{případů}}}

Pokud přirozených čísel jsou označeny odpovídající celá čísla (pomocí vkládání je uvedeno výše), tato úmluva vytváří žádné nejasnosti.,

tato notace obnovuje známou reprezentaci celých čísel jako {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

některé příklady jsou:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}

V teoretické informatice, jiné přístupy pro výstavbu celých čísel jsou používány dokazovacích systémů a termín přepsat motory.Celá čísla jsou reprezentována jako algebraické pojmy vytvořené pomocí několika základních operací(např.

existuje nejméně deset takových konstrukcí podepsaných celých čísel., Tyto konstrukce se liší v několika směrech: počet základních operací používaných pro konstrukce, číslo (obvykle mezi 0 a 2) a typy argumentů přijal tyto operace; přítomnost nebo nepřítomnost přirozených čísel jako argumenty některých z těchto operací, a skutečnost, že tyto operace jsou zdarma konstruktory nebo ne, tj., že stejné číslo může být reprezentován pomocí pouze jeden nebo mnoho algebraických výrazů.,

techniky pro výstavbu celých čísel uvedených výše v této sekci odpovídá konkrétním případě, kde je jeden základní operace dvojice ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}, která bere jako argumenty dvě přirozená čísla x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} , a vrátí celé číslo (x − y {\displaystyle x-y} ). Tato operace není zdarma, protože celé číslo 0 může být napsán pár (0,0), nebo pár(1,1), nebo pár(2,2), atd., Tato technika výstavby je používán důkaz asistentka Isabelle; nicméně, mnoho jiných nástrojů, využití alternativních stavebních metod, zejména těch, které jsou založené na zdarma konstruktory, které jsou jednodušší a mohou být prováděny efektivněji v počítačích.

---