Epsilon Kalkulu

Přehled

na přelomu století David Hilbert a Henri Poincaréwere uznáván jako dvou nejvýznamnějších matematiků z theirgeneration. Hilbert spektrum matematických zájmů byla široká a zahrnovala zájem o základy matematiky: hisFoundations Geometrie byla zveřejněna v roce 1899, a seznam otázek, které představuje na Mezinárodním Kongresu ofMathematicians v roce 1900, tři určeno zřetelně foundationalissues.,

Po zveřejnění russellova paradoxu, Hilbertpresented adresu na Třetí Mezinárodní Kongres ofMathematicians v roce 1904, kde, poprvé, on načrtl hisplan poskytnout přísný základ pro matematiku prostřednictvím syntacticconsistency důkazy. K tématu se však nevrátil počátkaž do roku 1917, kdy začal sérii přednášek o základechmatematiky za pomoci Paula Bernayse., Přestože Hilbert wasimpressed práce Russell a Whitehead v jejich PrincipiaMathematica, on stal se přesvědčený, že logicist pokus jezpůsob matematiky k logice nemohl uspět, zejména vzhledem k non-logický charakter jejich axiom redukovatelnost. Zároveň považoval intuicionistické odmítání práva středu za nepřijatelné pro matematiku. Proto, abyzpětné obavy vyvolané objevem logických aset-teoretických paradoxů, byl zapotřebí nový přístup k ospravedlnění moderníchmatematické metody.,

do léta 1920 Hilbert formuloval takový přístup. Za prvé, moderní matematické metody měly být zastoupeny ve formálních deduktivechsystémy. Za druhé, tyto formální systémy bylo prokázáno, syntacticallyconsistent, není to tím, že vystaví model nebo snížení jejich konzistence, která systém, ale o přímý meta-matematický argument anexplicit, „nitní“ charakter. Tento přístup se stal známýmas Hilbertův program. Epsilon kalkulu bylo poskytnout první složkou toprogram, zatímco jeho epsilon substituční metoda bylo poskytnout druhé.,

epsilon kalkulus je ve své nejzákladnější podobě, rozšíření offirst-aby predikátové logiky s „epsilon operaci“, která si vybírá, pro jakékoliv skutečné existenční formule, svědek theexistential kvantifikátor. Rozšíření je konzervativní v smysluže nepřidává žádné nové důsledky prvního řádu. Ale naopak, kvantifikátory mohou být definovány z hlediska epsilons, sofirst-order logiky lze chápat z hlediska kvantifikátor-freereasoning zahrnující epsilon provoz. Je to tato druhá funkcekterý dělá kalkul vhodný pro účely prokázáníkonzistence., Vhodné rozšíření epsilonového počtu umožňuje vložit silnější, kvantifikační teorie čísel andsets do kvantifikátorů bez kalkulů. Hilbert očekával, že to budemožné prokázat konzistenci takových rozšíření.

Epsilon Kalkulu

V jeho Hamburg přednáška v roce 1921 (1922), Hilbert poprvé představila theidea použití takové operace se vypořádat se zásadou theexcluded středu ve formálním systému aritmetiky., Tyto myšlenky bylyvyvinutý do epsilon kalkulu a epsilon substitutionmethod v sérii přednáškových kurzů mezi 1921 a 1923, a inHilbert (1923). Závěrečná prezentace Epsilon-kalkulumůže být nalezena v disertační práci Wilhelma Ackermanna (1924).

tato část bude popisovat verzi kalkulu odpovídající logice prvního řádu, zatímco rozšíření prvního a druhého řádu budou popsána níže.

Nechť \(L\) je jazyk prvního řádu, což znamená seznamkonstantních, funkčních a vztahových symbolů se specifikovanými arities., Množinu epsilon podmínky a sada vzorce \(L\) jsou definedinductively, současně, a to následovně:

Substituce a pojmy, volné a vázané proměnné, jsou v obvyklým způsobem; zejména proměnné \(x\) se stává vázán na výraz \(\varepsilon x\). Zamýšlená interpretace je, že\(\varepsilon x a\) označuje některé\ (x\) uspokojující \(a\), pokudexistuje jeden., To znamená, že epsilon podmínky se řídí followingaxiom (Hilbert „nekonečný axiom“): \ kromě toho, epsilon kalkulus obsahuje kompletní sadu axiomů, jimiž se řídí classicalpropositional spojek, axiomy, kterými se řídí rovnosti symbol.Jediná pravidla počtu jsou následující:

• Modus ponens
• substituce: od \(A (x)\), uzavřít \(a(t)\), pro jakýkoli termín\(t.,\)

Dříve forem epsilon kalkulus (jako, že předložené inHilbert 1923) použít dvojí forma epsilon provozovatele, ve kterém\(\varepsilon x\) vrátí hodnotu falšování \(A(x)\). Výše uvedená verze byla použita v ackermannově disertační práci (1924) ase stala standardem.

všimněte si, že právě popsaný počet je kvantifikační. Kvantifikátorymohou být definovány takto: \ z nich lze odvodit obvyklé kvantifikační axiomy a pravidla, takže definicevýše slouží k vložení logiky prvního řádu do počtu epsilon., Averzi však není pravda: ne každý vzorec v epsiloncalculus je obrazem běžného kvantifikovaného vzorce podle tohotosvatba. Proto je epsilonův kalkul výraznější než thepredicate calculus, jednoduše proto, že epsilonové pojmy lze kombinovat složitějšími způsoby než kvantifikátory.

Epsilon Věty

druhý objem Hilbert a Bernays‘ Grundlagen derMathematik (1939) poskytuje přehled výsledků na theepsilon-kalkul, že bylo prokázáno, že čas., To zahrnuje adiscussion první a druhé epsilon věty s applicationsto first-order logic, epsilon substituční metoda pro arithmeticwith otevřít indukce a vývoji analýzy (která je druhého řádu,aritmetika) s epsilon kalkulu.

první a druhý epsilon věty jsou následující:

V první epsilon věta, „quantifier-free predicatelogic“ má zahrnovat substituční pravidlo výše, soquantifier-zdarma axiomy chovat jako jejich univerzální uzávěry., Od theepsilon kalkul zahrnuje first-order logic, první epsilon theoremimplies, že jakékoli oklikou přes prvního řádu, predikátové logiky používá toderive a quantifier-free věta z quantifier-free axiomy canultimately třeba se vyhnout. Druhý epsilon věta ukazuje, že anydetour přes epsilon kalkulus používá k odvození věty v thelanguage z predikátový kalkul z axiomů v jazyce thepredicate kalkul může být také vyhnout.,

Více obecně, první epsilon věta stanoví, že quantifiersand epsilons může být vždy odstraněny z dokladu o aquantifier-free formula z jiných quantifier-free kojenecké výživy. To je zvláště důležité pro Hilbertův program, protožepsilony hrají roli ideálních prvků v matematice. Ifquantifier-zdarma vzorce odpovídají „skutečné“ část matematické teorie, první epsilon-věta ukazuje, že idealelements mohou být odstraněny z dokladů o reálné výroky, providedthe axiomy jsou také skutečné prohlášení.,

Tato myšlenka je přesnější v určité obecné konzistence theoremwhich Hilberta a Bernayse odvodit z první epsilon-věta, whichsays následující: Nechť \(F\) být jakýkoliv formální systém, který výsledky z predikátový počet přidáním konstanta, funkce, andpredicate symboly plus pravdivé axiomy, které jsou kvantifikátor – andepsilon-zdarma, a předpokládejme, že pravdu atomické formule v newlanguage je rozhodnutelný. Pak \(F\) je konzistentní v silném smysluže každý derivovatelný kvantifikátor-a epsilon-free vzorec je pravdivý.,Hilbert a Bernays použít tuto větu, aby konečný konzistenciproof elementární geometrie (1939, Sec 1.4).

obtížnost pro prokázání konzistence pro aritmetickou aanalýzu spočívá v rozšíření tohoto výsledku na případy, kdy axiomsalso obsahují ideální prvky, tj.

Další čtení. Původní zdroje na epsilon-calculusand epsilon věty (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939), zůstávají k dispozici pouze v němčině. Leisenring 1969 je relativněmoderní kniha-délka úvod do Epsilon kalkulu v angličtině.,První a druhá epsilonova věta jsou podrobně popsány v Zach2017. Moser & Zach 2006 poskytnout podrobnou analýzu pro případbez rovnosti. Původní důkazy jsou uvedeny pro axiomaticképředstavení Epsilon-kalkulu. Maehara 1955 byl první toconsider sekvenční Počet s Epsilon termíny. Ukázal, jak dokázatdruhá epsilonova věta pomocí eliminace řezu, a pakposílil větu, aby zahrnoval schéma extenzionality(Maehara 1957). Baaz et al. 2018 poskytněte vylepšenou verzi prvníhoepsilonova věta., Opravy chyb v literatuře (včetněleisenringova kniha) lze nalézt ve Flannaganu 1975; Ferrari 1987;a Yasuhara 1982. Variace epsilon kalkulu na základě Skolemfunctions, a proto je kompatibilní s first-order logic, isdiscussed v Davis & Fechter 1991.

Herbrandova Věta

verze Herbrandova věta právě popsal followsimmediately od Rozšířeného První Epsilon Věta ofHilbert a Bernays., Pomocí metod spojených s dokladem o druhé epsilon věta, nicméně, Hilbert a Bernays odvozen astronger výsledek, který, jako Herbrandova původní formulace,poskytuje více informací. Porozumět dvěma částem teorémuníže, pomáhá zvážit konkrétní příklad. Let \(a\) be theformula

\ where \(B\) is quantifier-free. Negace \(a\) je ekvivalentní \ pomocí Skolemizingu, tj.,, usingfunction symboly, aby byli svědky existenční kvantifikátory, můžeme získat\ užití negace, vidíme, že originalformula je „rovnocenné“ \

Když jsme se odkazovat na instance matice \(A^H\), wemean vzorec, který je získán dosazením podmínky v expandedlanguage v matice \(A^H\). Nyní můžeme uvést Hilberta andbernaysovu formulaci

Herbrandova věta lze také získat pomocí cuteliminace pomocí Gentzenovy “ midsequentovy věty.,“Nicméně, důkaz pomocí druhého epsilonova věta má thedistinction bytí první kompletní a správný důkaz ofherbrandova věta. Navíc, a to je zřídka uznal,vzhledem k tomu, že důkaz na základě cut-eliminace poskytuje vázán na o délce Herbrandova disjunkce pouze jako funkce cut rankand složitosti řezu formulí v důkazu, délka obtainedfrom důkaz na základě epsilon kalkulu poskytuje vázán jako funkce počtu žádostí o nekonečný axiom, a hodnost a stupeň epsilon-podmínky vyskytující se v nich., V otherwords, délka Herbrandova disjunkce závisí pouze na thequantificational složitost substituce účastní, a, například,není vůbec na výrokové struktury nebo délky theproof.

verze Herbrandova věta uvedeno na začátku tohoto oddílu je v podstatě zvláštní případ (2), v němž vzorec \(A\) je existenciální. Ve světle tohoto zvláštního případu je (1) ekvivalentní tvrzení, že vzorec \(a\) je odvozitelná predikátová logika prvního řádu, pokud a pouze pokud je \(A^H\)., Na forwarddirection této rovnocennosti je mnohem snazší dokázat, ve skutečnosti, pro jakýkoli vzorec \(A, \rightarrow A^H\) je odvoditelné v predikátové logiky.Prokázání opačném směru zahrnuje odstranění additionalfunction symboly \(A^H\), a je mnohem obtížnější, a to zejména v přítomnosti mužů. Právě zde hrají metody epsilonu acentrální roli.

nápadná aplikace Herbrandovy věty a souvisejících metod je nalezena v Luckhardtově (1989) analýze Rothovy věty. Pro adiscussion užitečných rozšíření metod Herbrand, viz Sieg 1991.,Model-teoretický verze této je diskutována v Avigad 2002a.

Epsilon Substituční Metoda a Aritmetika

Jak bylo uvedeno výše, historicky, primární zájem v epsiloncalculus byl jako prostředek k získání konzistence důkazy.Hilbertovy přednášky z 1917-1918 již na vědomí, že onecan snadno dokázat konzistenci výroková logika, takingpropositional proměnných a vzorců, aby rozsah pravdu hodnoty 0 and1, a interpretaci logické spojky jako correspondingarithmetic operace., Podobně lze prokázat důslednostpredikovat logiku (nebo čistý epsilonový kalkul) specializací nainterpretace, kde vesmír diskurzu má jediný prvek.Tyto úvahy naznačují následující obecnější program forproving konzistence:

• Rozšířit epsilon kalkulu tak, aby představují largerportions matematiky.
• ukazují pomocí konečných metod, že každý důkaz v rozšířeném systému má konzistentní interpretaci.,

Předpokládejme, že chceme ukázat, že systém výše, je konzistentní; jinými slovy, chceme ukázat, že neexistuje žádný důkaz vzorce \(0 =1\). Zatlačením všech substitucí na axiomy a nahrazením freevariables konstantou 0 stačí ukázat, že neexistuje žádný důkaz o \(0 = 1\) z konečné sady uzavřených instancí axiomů. Pro to, stačí ukázat, že, vzhledem k tomu, žádné finiteset uzavřených instancí axiomů, lze přiřadit numerické hodnoty toterms takovým způsobem, že všechny axiomy jsou pravdivé pod theinterpretation., Od aritmetické operace \(+\) a \(\times\)může být interpretován v obvyklým způsobem, jediná potíž spočívá infinding příslušné hodnoty přiřadit epsilon podmínek.

Hilbert epsilon substituční metody lze popsat zhruba takto:

nitní důkaz konzistence je dosaženo, jakmile je uvedeno v afinitarily přijatelným způsobem, že tento proces postupného“opravy“ se ukončí. Pokud ano, všechny kritické formulacejsou pravdivé vzorce bez Epsilon-termínů.,

tato základní myšlenka („Hilbertsche Ansatz“) byla založena Hilbertem v jeho rozhovoru z roku 1922 (1923) a zpracována v přednáškách v letech 1922-23. Příklady vzhledem k tomu, že však jednat jen withproofs, ve které všechny instance nekonečný axiom odpovídají jednoduchou epsilon výraz \(\varepsilon x A(x)\). Výzva byla za účelem rozšířeni přístup k více než jeden epsilon termín, do vnořené epsilonterms, a nakonec k druhé-pořadí epsilons (za účelem získání aconsistency důkaz není jen o počítání, ale analýzy).,

Toto je jen náčrt obtíží spojených s rozšířením myšlenky na obecný případ. Ackermann (1924) providedsuch zobecnění pomocí postupu, který „ustoupí“kdykoliv nový výklad, který v dané fázi za následek nutnost tocorrect výklad už našli v předchozí fázi.

postup Ackermanna se uplatnil na systém druhého řádu, ve kterém však byly podmínky druhého řádu omezeny tak, aby vyloučily křížovou vazbu epsilonů druhého řádu., Této částky,přibližně, k omezení aritmetický chápání jako množinu tvořící zásadě k dispozici (viz diskuse na konci této části). Další potíže s druhého řádu epsilon termssurfaced, a to rychle se ukázalo, že důkaz, jak to stoodwas chybná. Nikdo z Hilbertovy školy si však neuvědomilvynikající potíže až do roku 1930, kdy Gödel oznámil svéúplnost výsledků., Do té doby, to bylo věřil, že důkaz (aspoň se některé úpravy, které zavádí Ackermann, některé z whichinvolved nápady z von Neumann (1927) verze epsilonsubstitution metoda) by projít alespoň pro první orderpart. Hilbert a Bernays (1939) naznačují, že použité metody pouzeposkytuje důkaz konzistence pro aritmetiku prvního řádu s openinduction. V roce 1936 Gerhard Gentzen povedlo dát důkaz theconsistency první-aby v aritmetické formulace založené onpredicate logiky bez epsilon symbol., Tento důkaz používátransfinite indukce až \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) byl schopen přizpůsobit Gentzenovy myšlenky tak, aby poskytl správný důkaz o aritmetice prvního řádu pomocí metody substituce.

analýza, nebo aritmetika druhého řádu, je rozšíření prvního řádu s schématem porozumění pro libovolné druhé pořadí. Teorie je nepřesná v tom, že to umožňujedefinovat množiny přirozených čísel pomocí kvantifikátorů, které se pohybují nad celým vesmírem množin, včetně implicitně definované množiny., Lze získat prediktivní fragmenty této teoriezamezení typu vzorců povolených v komplexnímaxiomu. Například omezení diskutované v souvislosti skermann výše odpovídá aritmetickým komplexnímschema, ve kterém vzorce nezahrnují druhé řádyquantifiers. Existují různé způsoby získání silnějších fragmentůanalýza, která je však predikativně odůvodněná., Například,jeden získá rozsáhlejší analýzu spojením ordinální rankto nastavit proměnné; zhruba v definici nastavit dané hodnosti,kvantifikátory rozsah pouze nad soubory nižší hodnost, tj. ty, whosedefinitions jsou logicky předchozí.

Další čtení. Hilbertovy a ackermannovy brzyprofy jsou diskutovány v Zach 2003; 2004. Důkazem Von Neumanna jeotéma Bellotti 2016. Ackermann 1940 důkaz je discussedin Hilbert & Bernays 1970, a Wang 1963. Moderní prezentace isgiven by Moser 2006., Včasná aplikace substituce epsilonu jene-counterexample interpretace (Kreisel 1951).

novější vývoj

v této části diskutujeme o vývoji Epsilon-substitucemetoda pro získání výsledků konzistence pro silné systémy; tytovýsledky mají matematickou povahu. Nemůžeme, bohužel,diskutovat podrobnosti o důkazy, ale tady bych chtěl uvést, že epsilon-substituční metoda nezemřel s Hilbert’sprogram, a že značnou část současného výzkumu je carriedout v epsilon-formalismy.,

Gentzen konzistence důkazy pro aritmetické zahájila oblasti výzkumu známý jako řadové analýzy, a program měřicí síla matematických teorií usingordinal notace je stále pokračovat dnes. To je particularlyrelevant rozšířené Hilbertova programu, kde thegoal je ospravedlnit klasické matematiky relativní konstruktivní, orquasi-konstruktivní, systémy., Gentzen metody ofcut-eliminace (a rozšíření infinitary logika vyvinut PaulLorentzen, Petr Novikov a Kurt Schütte), z velké části nahradil epsilon substituční metody v těchto pronásledování. Metody epsiloncalculus však poskytují alternativní přístup a stále existuje výzkum způsobů, jak rozšířit Hilbert-Ackermannovy metody na další teorie. Obecný vzorec zůstává stejný:

1. vložte vyšetřovanou teorii do příslušného epsiloncalculus.
2. popisuje proces aktualizace přiřazení do epsilontermů.,
3. ukazují, že postup se normalizuje, tj. vzhledem k jakékoliv množině změn, existuje posloupnost aktualizací, která má za následek přiřazení, které splňuje axiomy.

Od poslední krok zaručuje konzistenci původní teorie,od základní hlediska je zájem o methodsused dokázat normalizace. Například, jeden získá ordinalanalysis přiřazením pořadového zápisy kroky v postupu, a to takovým způsobem, že hodnota notace snižuje witheach krok.,

V roce 1960, Tait (1960, 1965, 2010) extendedAckermann metod, jak získat řadové analýzy extensionsof aritmetika s principy transfinitní indukce. Morestreamlined a moderní verze tohoto přístupu lze nalézt v Mints2001 a Avigad 2002b., Více nedávno, Mincovny, Tupailo, a Buchholzhave považován za silnější, ale stále predicatively oprávněné,fragmenty analýzy, včetně teorie aritmetiky comprehensionand \(\Delta^{1}_1\)-chápání pravidla (Mincoven, Tupailo &Weber 1996; Mincovny & Tupailo 1999; viz také Mincovny 2016). Arai2002 rozšířil metodu substituce epsilonu na teorie, které umožňují iteraci aritmetického porozumění podél primitiverecursive well orderings., Zejména jeho práce výnosy ordinalanalyses pro vypovídající fragmenty analýzy zahrnující transfinitehierarchies a transfinitní indukce.

některé první kroky byly podniknuty při použití Epsilon substitutionmethod v analýze nepřesných teorií (viz Arai2003, 2006 a Mints 2015).

variace na Krok 3 výše zahrnuje ukázat, že normalizaceprocedure není citlivý na výběr aktualizací, což znamená,že jakákoli sekvence aktualizací končí. To se nazývá silnénormalizace., Mincovny 1996 ukázaly, že mnoho postupůpovažovány za tuto silnější vlastnost.

kromě tradiční, základní pobočka důkaz teorie,dnes je hodně zájem strukturální prooftheory, pobočka téma, které se zaměřuje na logické deductivecalculi a jejich vlastnosti. Tento výzkum je úzce spjat s problematikou informatiky, má co do činění s automatizovaným programováním, funkčním programováním a ověřováním pomocí počítače.I zde mají tendenci dominovat metody ve stylu Gentzen (viz opět záznam o teorii důkazů)., Ale Epsilon kalkul může také poskytnout cenné poznatky; srov. forexample Aguilera & Baaz 2019, nebo diskuse oherbrandově větě výše.

kromě zkoumání počtu epsilon v teorii důkazů je třeba uvést dvě aplikace. Jedním z nich je použití epsilonnotace v bourbakiho Theorie des ensembles (1958).Druhá, možná větší proud zájmu, je použití theepsilon-operátor ve větě-dokazování systémy HOL a Isabelle, kde expresivní sílu epsilon-podmínky výnosy significantpractical výhody.,

Epsilon Subjekty v Lingvistice, Filozofii, a Non-classical Logics

Čtení epsilon operátora neurčitou volba operátora („\(x\) takové, že \(A(x)\)“) naznačuje, že by mohlo bea užitečný nástroj při analýze na dobu neurčitou a určitou podstatné jméno phrasesin formální sémantiky. Epsilonová notace byla ve skutečnosti tak použita a tato aplikace se ukázala jako užitečná zejména při řešení anaforické reference.

zvažte známý příklad

1. každý farmář, který vlastní osla, ho porazí.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

nevýhodou je, že „osel“ navrhnout existentialquantifier, a proto analýza by měla, nějak současně tvoří analýza věty 3 o 4,

ale nejbližší možné formalizace,

1. \(\forall x ((\mathrm{Farmář}(x) \wedge \exists y(\mathrm{Osel}(y) \wedge \mathrm{Vlastní}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

Jak poukázal von Heusinger (1994), což naznačuje, že Neale zavázala zájmena být dvojznačný mezi definitivní popisy\((\iota\)-výrazy) a kd-výrazy., Heusinger navrhujemísto toho použijte operátory epsilon indexované podle funkcí volby (kterézávisí na kontextu). Podle tohoto přístupu, analýzy(1), je

Tento přístup k řešení zájmena pomocí epsilon subjekty indexedby volba funkce umožňují von Heusinger se vypořádat s širokým různých okolností (viz Egli a von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).

aplikace Epsilon-operátora ve formální sémantiky, a choicefunctions obecně, získaly významný zájem v posledních letechroky., Von Heusinger a Egli (2000a) seznam, mimo jiné, následující: zastoupení otázek (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Winter 1997), E-typ zájmena(Hintikka a Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli a vonHeusinger 1995) a definitivní jmenné fráze (von Heusinger 1997,2004).

pro diskusi o problémech a aplikacích Epsilon operatorin lingvistika a filozofie jazyka, viz B. H., Slater’sarticle na epsilonu kamenů (citovaný v Jiných Internetových Resourcessection níže), a sbírky von Heusinger a Egli 2000 andvon Heusinger a Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) obsahují další důkaz – a model-theoreticstudies z epsilon kalkulu; konkrétně intuitionistic epsiloncalculi. Tady, epsilon věty už ne držet, tj. zavedení epsilon podmínek produkuje non-konzervativní rozšíření ofintuitionistic logiku. Další vyšetřování provozovatelů epsilonu vintuitionistická logika lze nalézt v Shirai (1971), Bell (1993a,1993b) a DeVidi (1995)., Pro Epsilon-operátory v mnoha-ceněné logiky, viz Mostowski (1963), pro modální Epsilon kalkul, montáž (1975).

Další čtení. Následuje seznam některých publikacív oblasti jazyka a lingvistiky relevance pro epsiloncalculus a jeho aplikace. Čtenář je zaměřen zejménasbírky von Heusinger & Egli (eds.) 2000 a von Heusinger& Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---