Funkce hustoty pravděpodobnosti
Marco Taboga, PhD
rozdělení spojité náhodné proměnné lze charakterizovat prostřednictvím její funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf). Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabývá hodnot v daném intervalu, je rovna integrálu z hustoty pravděpodobnosti funkce přes interval, který je zase roven oblasti oblast v rovině xy ohraničené osou x, pdf a svislé čáry odpovídající hranice intervalu.,
například na obrázku pod modrou čárou je pdf normální náhodné proměnné a plocha červené oblasti se rovná pravděpodobnosti, že náhodná proměnná vezme hodnotu složenou mezi -2 a 2.
Definice
následující formální definici.
Definice funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné 
je funkce 
pro libovolný interval .,
sada hodnot se nazývá podpora .,integrovat funkce hustoty pravděpodobnosti přes to, že interval:
hustota pravděpodobnosti není pravděpodobnost
je důležité pochopit základní rozdíl mezi funkce hustoty pravděpodobnosti, která charakterizuje rozdělení spojité náhodné proměnné, a pravděpodobnost, hmotnost funkce, která charakterizuje rozdělení diskrétní náhodné proměnné (pamatujte: náhodná proměnná je diskrétní, pokud je počet hodnot, které můžete vzít je spočetná, zatímco počet hodnot, že spojitá náhodná proměnná je nespočet)., Pravděpodobnost množství funkcí diskrétní proměnné je funkce , který vám dává, pro jakékoliv reálné číslo pravděpodobnost, že se bude rovnat . Naopak, pokud je kontinuální proměnnou, její funkce hustoty pravděpodobnosti hodnocena v daném bodě pravděpodobnost, že se bude rovnat ., Jako ve skutečnosti, tato pravděpodobnost je rovna nule pro jakékoliv 
je to nějaký primitivní (nebo neurčitý integrál) .
Pokud jste zmateni druhým výsledkem, doporučujeme přečíst si přednášku o událostech s nulovou pravděpodobností.
i když to není pravděpodobnost, hodnota pdf v daném bodě může být stejně jednoduché interpretace:
je malý přírůstek.,
důkaz, který dáme, není přísný. Spíše se zaměřujeme na intuici. Z důvodu jednoduchosti předpokládáme, že pdf je nepřetržitá funkce. Přesněji řečeno, to není nutné, i když většina z pdf, které se vyskytují v praxi, jsou spojité (podle definice, pdf, musí být integrovatelné; nicméně, zatímco všechny spojité funkce jsou integrovatelné, ne všechny integrovatelné funkce jsou spojité)., Pokud pdf je kontinuální a je malý, pak je dobře aproximovat patřící do intervalu 
. Z toho vyplývá, že 
Ve výše uvedené přibližné rovnosti, musíme vzít v úvahu pravděpodobnost, že se bude rovnat nebo hodnoty patřící do malého intervalu v blízkosti . Zejména považujeme interval ., Pravděpodobnost je úměrná délce malého intervalu, který uvažujeme. Konstanta úměrnosti je funkce hustoty pravděpodobnosti hodnocena na . To znamená, že vyšší pdf je v daném bodě , tím vyšší je pravděpodobnost, že bude mít hodnotu u .,
Související pojmy
Související pojmy jsou:
-
společné funkce hustoty pravděpodobnosti, která charakterizuje rozložení spojitý náhodný vektor,
-
marginální funkce hustoty pravděpodobnosti, která charakterizuje rozložení podmnožinu záznamů z náhodný vektor;
-
podmíněné funkce hustoty pravděpodobnosti, která je pdf získaná klimatizace na realizaci další náhodnou proměnnou.,
další podrobnosti
funkce hustoty pravděpodobnosti jsou podrobněji popsány v přednášce s názvem náhodné proměnné.
čtení glosář
Předchozí příspěvek: Před pravděpodobnost,
Další vstup: Probability mass function
Jak citovat
Prosím uvést jako: