Snell“s právem

Snellův zákon lze odvodit různými způsoby.

odvození z Fermatova principu

Snellův zákon lze odvodit z Fermatova principu, který uvádí, že světlo cestuje cestou, která trvá nejméně času., Tím, že derivace délka optické dráhy, stacionární bod je nalezen dávat cesta světla. (Existují situace, kdy světlo porušuje Fermatův princip tím, že nebere nejmenší časovou cestu, jako v odrazu v (sférické) zrcadlo.) V klasické analogie, oblast dolní index lomu je nahrazen beach, oblast vyšší index lomu u moře, a nejrychlejší způsob, jak pro zachránce na pláži se dostat k tonoucího v moři je běžet po cestě, která následuje Snell“s právem.,

, Jak je znázorněno na obrázku vpravo, předpokládám, že index lomu médium 1 a médium 2 n 1 {\displaystyle n_{1}} a n 2 {\displaystyle n_{2}} v tomto pořadí. Světlo vstupuje médium 2 médium 1 přes bod O.

fázové rychlosti světla ve médium 1 a médium 2 jsou

v. 1 = c / n 1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} a v 2 = c / n 2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}} v tomto pořadí.,

c {\displaystyle c} je rychlost světla ve vakuu.

Nechť T je čas potřebný pro světlo k cestování z bodu Q pomocí bodu O do bodu P.

T = x 2 + 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + 2 v 1 + b 2 + l 2 − l 2 x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

, kde a, b, l a x jsou označeny na pravé straně obrázku, kde x je různé parametr.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 sin ⁡ θ 1 c = n 2 sin ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

Odvození z Huygens“s principleEdit

Případně, Snell“práva mohou být odvozeny s použitím rušení všech možných cest světelné vlny od zdroje k pozorovateli—je výsledkem destruktivní interference všude kromě extrémy fáze (kde interference je konstruktivní)—, které se stanou skutečné cesty.,

Odvození z Maxwell“s EquationsEdit

Další způsob, jak odvodit Snell“s Právem zahrnuje aplikace obecné okrajové podmínky Maxwellových rovnic pro elektromagnetické záření.,θ 1 = n 2 k 0 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}a k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}a k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}

Vektor formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {odrážet} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Toto se odráží směr vektoru bodů zpět směrem na tu stranu povrchu, kde se objevilo světlo.,{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n 1 n 2 ) l → + ( n 1 n 2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {lámou} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r l → + ( r-c − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {lámou} }=r, {\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}

Příklad:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {odrážet} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {lámou} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

hodnoty kosinu mohou být uloženy a použity v rovnicích Fresnel pro vypracování intenzity výsledných paprsků.