Zakřivení

Intuitivně, zakřivení popisuje pro každou část křivky, jak moc se křivka změny směru nad malou vzdálenost (např. úhel v rad/m), tak to je měřítkem okamžitá rychlost změny směru bodu, který se pohybuje na křivce: čím větší zakřivení, tím větší je tato rychlost změny. Jinými slovy, zakřivení měří, jak rychle se jednotka tangentní vektor ke křivce otáčí (rychle, pokud jde o polohu křivky). Ve skutečnosti lze prokázat, že tato okamžitá rychlost změny je přesně zakřivení., Přesněji, předpokládejme, že bod se pohybuje na křivce konstantní rychlostí jedné jednotky, která je, na poloze bodu P(s) je funkce parametru s, který může být myšlenka jako čas nebo jako délka oblouku od určitého původu. Nechť T(s) jednotkový tečný vektor křivky P(s), který je také derivace z P(y) s ohledem na s. Pak, derivace T(y) s ohledem na s je vektor, který je kolmý na křivku a, jehož délka je zakřivení.,

Za to, že smysluplné, definice zaoblení a jeho různé charakteristiky vyžadují, že křivka je spojitě diferencovatelná v blízkosti P, za to, že tangens, který se mění neustále; vyžaduje to také, že křivka je dvakrát diferencovatelná v P., pro pojištění pro existenci zúčastněných limity a derivace T(s).

charakteristika zakřivení ve smyslu derivace jednotkového tečného vektoru je pravděpodobně méně intuitivní než definice z hlediska osculating kruhu, ale vzorce pro výpočet křivosti jsou jednodušší odvodit., Proto, a také kvůli jeho použití v kinematice, tato charakteristika je často dána jako definice zakřivení.

Osculační kruhedit

historicky bylo zakřivení diferencovatelné křivky definováno oscilačním kruhem, což je kruh, který nejlépe přibližuje křivku v bodě. Přesněji řečeno, daný bod P na křivce, každý další bod Q křivky definuje kruh (nebo někdy čáru) procházející Q a tečna křivky v P. osculating kruh je limit, pokud existuje, z tohoto kruhu, když Q má tendenci P., Pak střed a poloměr zakřivení křivky v P jsou středem a poloměrem oscilačního kruhu. Zakřivení je vzájemný poloměr zakřivení. To znamená, že zakřivení je

κ = 1, R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

, kde R je poloměr zakřivení (celý kruh má to zakřivení, to může být přečíst jako zase 2π přes délku 2nR).

tato definice je obtížné manipulovat a vyjádřit ve vzorcích. Proto byly zavedeny další ekvivalentní definice.,

z hlediska parametrizationEdit

každá diferencovatelná křivka může být parametrizována vzhledem k délce oblouku. V případě, že na rovině křivky, to znamená existenci parametrizaci γ(y) = (x(s), y(s)), kde x a y jsou reálné hodnotě diferencovatelné funkce, jejichž deriváty splňují

‖ γ ‚‖ = x ‚( s ) 2 + y ‚ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \ / {\boldsymbol {\gamma }} „\ / ={\sqrt {x „(s)^{2} + y “ (s)^{2}}}=1.,}

To znamená, že tečný vektor

T ( s ) = ( x ‚( s ) , y ‚( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (y)={\bigl (}x“(s),y“(y){\bigr )}}

má normou roven jedné a je tedy jednotkový tečný vektor.

Pokud je křivka dvakrát diferencovatelná, to znamená, že pokud existují druhé deriváty x a y, existuje derivát t(s). Tento vektor je normální ke křivce, jeho normou je zakřivení κ (s) a je orientován směrem ke středu zakřivení.,yle {\begin{aligned}&\mathbf {T} (y)={\boldsymbol {\gamma }}“(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\znamená, \mathbf {T} „(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} „(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}““(s)\|={\sqrt {x““(s)^{2}+y““(y)^{2}}}\\\end{aligned}}}

kromě toho, protože poloměr křivosti je

R ( s ) = 1 κ ( y ) , {\displaystyle R(y)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

a střed křivosti je na normální křivky, střed křivosti je v bodě

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2, T ‚ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (y)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} „(s).}

Pokud se N(s) je jednotkový normálový vektor získaný z T(y) proti směru hodinových ručiček otočení o π/2, pak

T ‚ ( s ) = k ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} „(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}

s k(s) = ± κ(y). Skutečné číslo k (Y) se nazývá orientované nebo podepsané zakřivení. Závisí to jak na orientaci roviny (definice proti směru hodinových ručiček), tak na orientaci křivky poskytované parametrizací., Ve skutečnosti změna proměnné s → – S poskytuje další parametrizaci délky oblouku a mění znaménko k (s).

z hlediska obecné parametrizationEdit

Nechť γ(t) = (x(t), y(t)) být správné parametrické reprezentace dvakrát diferencovatelné rovině křivky. Zde správné znamená, že na doméně definice parametrizace je definován derivát dy / dtis, diferencovatelný a nikde rovný nulovému vektoru.,

S takovou parametrizaci, podepsané zakřivení,

k = x ‚ y „− y ‚ x „( x ‚2 + y‘ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x“y““-y“x““}{\left({x“}^{2}+{y“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

kde prvočísla, viz deriváty s ohledem na t. Křivost κ je tedy

κ = | x ‚ y „− y ‚ x „| ( x ‚2 + y‘ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x“y““-y“x““|}{\left({x“}^{2}+{y“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

tyto mohou být vyjádřeny způsobem bez souřadnic jako

k = det (γ ‚, γ“) γ γ ‚‖ 3, κ = / det (γ ‚, γ“) | γ γ ‚ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}“,{\boldsymbol {\gamma }}““)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}“\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}“,{\boldsymbol {\gamma }}““)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}“\|^{3}}}.}

tyto vzorce lze odvodit ze zvláštního případu parametrizace délky oblouku následujícím způsobem. Výše uvedená podmínka parametrizace znamená, že délka oblouku s je diferencovatelná monotónní funkce parametru t, a naopak, že T je monotónní funkce s., Navíc změnou, pokud je to potřeba, s to-s, lze předpokládat, že tyto funkce se zvyšují a mají pozitivní derivaci. S použitím zápisu z předchozí části a řetízkové pravidlo, jeden má

d γ d t = d s d t t , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

a tak, tím, že normy obou stran

d t d s = 1 ‖ γ ‚ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}“\|}},}

kde předseda označuje odvození s ohledem na t.

zakřivení je normou derivace T s ohledem na s., Pomocí výše uvedeného vzorce a řetězce pravidlo tohoto derivátu a jeho norma může být vyjádřena z hlediska γ‘ a γ“ pouze s arc-length parametr y zcela odstraněny, což výše uvedené vzorce pro křivost.

Graf functionEdit

graf funkce y = f(x), je zvláštní případ parametrizovat křivku, ve formě

x = t y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=f(t).,\end{aligned}}}

Jako první a druhá derivace x je 1 a 0, předchozí vzorce zjednoduší na

κ = | y „| ( 1 + y ‚2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y““|}{\left(1+{y“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

pro zakřivení, a

k = y „( 1 + y ‚2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y““}{\left(1+{y“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

pro podepsána zakřivení.

v obecném případě křivky je znaménko podepsaného zakřivení nějak libovolné, jako v závislosti na orientaci křivky., V případě grafu funkce existuje přirozená orientace zvýšením hodnot x.to činí významný znak podepsaného zakřivení.

podepsat podepsaného zakřivení je stejné jako znaménko druhé derivace f. Pokud je pozitivní, pak graf má rostoucí konkávní, a, pokud je negativní graf má klesající konkávní. Je nulová, pak má inflexní bod nebo zvlněný bod.

když je sklon grafu (to je derivát funkce) malý, podepsané zakřivení je dobře aproximováno druhým derivátem., Přesněji řečeno, pomocí velké notace o má člověk

K ( x ) = y „+ O (y ‚ 2 ) . {\displaystyle K (x)=y „“+ o\left ({y“}^{2}\right).}

je běžné, Že ve fyzice a inženýrství přibližné zakřivení s druhou derivací, například, v paprsku teorie nebo pro odvození vlnové rovnice napjaté řetězec, a jiné aplikace, kde malé svahy jsou zapojeny. To umožňuje často zvažovat jako lineární systémy, které jsou nelineární jinak.,

Polární coordinatesEdit

Pokud je definována křivka v polárních souřadnicích pomocí poloměru vyjádřené jako funkce polárního úhlu, který je r je funkce θ, pak jeho zakřivení je

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‚2 − r r“ | ( r 2 + r ‚ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r“}^{2} r\,r““\right|}{\left(r^{2}+{r“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

kde je předsedou, odkazuje k diferenciaci s ohledem na θ.,

Toto vyplývá z vzorce pro obecné parametrizations, s ohledem na parametrizaci

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}

Implicitní curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

podepsané zakřivení není definováno, protože závisí na orientaci křivky, která není stanovena implicitní rovnicí. Také změna F do –F nezmění křivku, ale změní znaménko čitatele, pokud je absolutní hodnota vynechána v předchozím vzorci.

bod křivky, kde Fx = Fy = 0 je singulární bod, což znamená, že křivka není diferencovatelná v tomto bodě, a tedy že zakřivení není definováno (nejvíce často, tento bod je buď na hraničním přechodu nebo na prahu).,

Výše uvedeného vzorce pro křivost lze odvodit z vyjádření zakřivení grafu funkce pomocí implicitní funkci, věta a skutečnost, že, na takové křivky, jeden má

d y d x = − F x F y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = – {\frac {F_{x}} {F_{y}}}.}

ExamplesEdit

na jednoduchých příkladech může být užitečné ověřit, že různé vzorce uvedené v předchozích částech dávají stejný výsledek.

CircleEdit

společná parametrizace kruhu o poloměru r je γ(t) = (r cos t, r sin t)., Vzorec pro zakřivení dává

K (t ) = r 2 sin 2 ⁡ T + r 2 cos 2 ⁡ T (r 2 cos 2 ⁡ T + r 2 sin 2 t T )3 2 = 1 r. {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

podle očekávání vyplývá, že poloměr zakřivení je poloměr kruhu a že střed zakřivení je středem kruhu.

kruh je vzácný případ, kdy se parametrizace délky oblouku snadno vypočítá , protože je

γ ( S ) = ( r cos ⁡ s r, r sin ⁡ S r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}}\right).}

To je délka oblouku parametrizaci, protože normou

γ ‚ ( y ) = ( − sin ⁡ s r , cos ⁡ s, r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}“(y)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

je rovno jedné. Tato parametrizace dává stejnou hodnotu pro zakřivení, protože činí dělení r3 v čitateli i jmenovateli v předchozím vzorci.

stejný kruh lze také definovat implicitní rovnicí F(x, y) = 0 S F (x, y) = x2 + y2 – r2., Potom vzorec pro zakřivení v tomto případě dává

κ = / f y 2 F x-2 F X F y X Y + F x 2 F y / (F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 (4 r 2 ) 3 2 = 1 r. {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8 x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{aligned}}}

ParabolaEdit

Zvážit parabola y = ax2 + bx + c.

je To graf funkce, derivace 2ax + b, a druhé derivace 2a. Takže, podepsané zakřivení,

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k (x)={\frac {2a} {\left (1 + (2AX + b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

má znaménko a pro všechny hodnoty x., To znamená, že pokud > 0, konkávnost je vzhůru směřujících všude; pokud < 0, konkávnost je klesající režie; pro a = 0, je křivost je nulová všude, potvrzuje, že parabola zvrhne line v tomto případě.

(nepodepsané) zakřivení je maximální Pro X = –b / 2A, tedy v stacionárním bodě (nulový derivát) funkce, což je vrchol paraboly.

zvažte parametrizaci γ (t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). První derivát x je 1 a druhý derivát je nula., Dosazením do vzorce pro obecné parametrizations dává přesně stejný výsledek jako výše, s x nahrazena t. Pokud budeme používat prvočísel pro deriváty s ohledem na parametr „t“.

stejné parabola může být také definován implicitní rovnice F(x, y) = 0 s F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Jako Fy = -1, a Fyy = Fxy = 0, se získá přesně stejnou hodnotu (bez znaménka) zakřivení. Podepsané zakřivení však nemá smysl, protože –F(x, y) = 0 je platná implicitní rovnice pro stejnou parabolu, která dává opačné znamení pro zakřivení.,

Frenet–Serret vzorce pro letadlo curvesEdit

výraz zakřivení z hlediska délky oblouku parametrizaci je v podstatě první Frenet–Serret vzorec,

T ‚ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} „(y)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

, kde prvočísla, viz deriváty s ohledem na délku oblouku s, a N(s) je kolmý jednotkový vektor ve směru T'(s).

protože rovinné křivky mají nulovou torzi, druhý vzorec Frenet–Serret poskytuje vztah

D N D s = – κ t, = – κ d γ d s., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}

Pro obecnou parametrizaci pomocí parametru t, jeden potřebuje výrazy zahrnující deriváty s ohledem na t. Jako tyto jsou získány vynásobením ds/dt deriváty s ohledem na s, jeden má, pro nějaké řádné parametrizace

N ‚( t ) = − κ ( t ) γ ‚ ( t ) . {\displaystyle \mathbf {N} „(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}“(t).}

---