Associativ egenskab

en binær operation {{\displaystyle *} på et sæt S, der ikke opfylder den associative lov, kaldes ikke-associativ. Symbolsk,

( y y Y)..) (((Y))) for nogle., y,. S s. {\displaystyle(y*y)*\\ne..*(y*)) \m .uad {\MBO. {for nogle }}in,y,in \ I S.}

For en sådan operation betyder evalueringsrækkefølgen noget., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}

bemærk Også, at uendelig summer ikke generelt associative, for eksempel:

( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots \,=\,0}

der henviser til, at

1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots \,=\,1}

undersøgelsen af ikke-associative strukturer, der opstår fra årsager noget forskellig fra mainstream af klassisk algebra., Et område inden for ikke-associative algebra, der er vokset meget store er, at Lie algebraer. Der erstattes den associative lov af Jacobi-identiteten. Lie algebraer abstract den væsentlige karakter af uendelig lille transformationer, og er blevet allestedsnærværende i matematik.

Der er andre specifikke typer af ikke-associative strukturer, der er blevet undersøgt i dybden; disse har tendens til at komme fra nogle specifikke applikationer eller områder som kombinatorisk matematik. Andre eksempler er quuasigroup, quuasifield, ikke-associativ ring, ikke-associativ algebra og kommutative ikke-associative magmas.,

Nonassociativitet af flydende punktberegningrediger

i matematik er Tilføjelse og multiplikation af reelle tal associativ. I modsætning hertil er Tilføjelse og multiplikation af flydende punktnumre i datalogi ikke associativ, da afrundingsfejl introduceres, når værdier af forskellig størrelse er sammenføjet.

selvom de fleste computere beregner med en 24 eller 53 bit mantissa, er dette en vigtig kilde til afrundingsfejl, og fremgangsmåder som Kahan summation algoritme er måder at minimere fejlene på., Det kan være særligt problematisk i parallel computing.

Notation for non-associativ operationsEdit

I almindelighed, parenteser anvendes til at angive rækkefølgen af evaluering, hvis en ikke-associative drift vises mere end én gang i et udtryk (medmindre den notation, som angiver den rækkefølge, i en anden måde, gerne 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Matematikere er imidlertid enige om en bestemt evalueringsrækkefølge for flere fælles ikke-associative operationer. Dette er simpelthen en notational konvention for at undgå parenteser.,

en venstre-associativ operation er en ikke-associativ operation, der konventionelt evalueres fra venstre mod højre, dvs.

Y = = = (. y Y) w y y y = = = ((. ()) y y) etc osv. } for alle left , left, y, left S s {\displaystyle \venstre.{\begin{Matri.} Matri*y*==({*y)*\\\.uad \{.uad\,uad\, \\begin*y*y* = = (((*{)*y)*{\{uad \ \ {\MBO. {osv.}} \ \ .uad \right .uad \while .uad\. .uad\, .uad\\\, \end{Matri.}}\højre\}{\MBO. {for alle }}w,while,y, in\in S}

mens en højre-associativ operation er konventionelt evalueret fra højre til venstre:

y y y = = = (((Y))))) y y y = = = ((((((y)))) osv., } for alle left , left, y, left S s {\displaystyle \venstre.{\begin{Matri.} Matri*y*=={*(y*)) \\.uad \{.uad \,uad\,\\begin*y*y* = = etc*(.*(y*{)) \{uad \ \ {\MBO. {osv.}} \ \ .uad \right .uad\. .uad\. .uad \\.uad \ \ \,\end{Matri.}}\højre\}{\MBO. {for alle }}w,., Y,in\I S}

både venstre-associative og højre-associative operationer forekommer., Venstre-associative operationer omfatter følgende:

• subtraktion og opdeling af reelle tal:

y − y − = =(y − y) − {{\displaystyle = -Y-= = (y-Y) -}}} / y / = = (li / Y ) / subt {\displaystyle and/y/ = = (=/y)/Function}

• funktion ansøgning:

( F (Y) = ((F)) y) {\displaystyle (F\,\\, Y) = ((f\,\)\, y)} denne notation kan motiveres af currying isomorphism.,

højre-associative operationer inkluderer følgende:

• Eksponentiering af reelle tal i superscript notation:

y y==. (Y)) {\displaystyle.^{y^{.}}=.^{(y^{.})}} Eksponentiering bruges ofte med parenteser eller højre-associativt, fordi en gentagen venstre-associativ eksponentieringsoperation er til lille nytte. Gentagne kræfter vil for det meste blive omskrevet med multiplikation: (y y) = = ((y)) {\displaystyle (^^{y})^{=} = ^ ^ {(y))}} formateret korrekt, superskriptet iboende opfører sig som et sæt parenteser; f. eks., i udtrykket 2 + + 3 {\displaystyle 2^{++3}} tilføjelsen udføres før eksponentieringen på trods af at der ikke er nogen eksplicitte parenteser 2 (. + 3 ) {\displaystyle 2^{(.+3)}} pakket rundt om det. I betragtning af et udtryk som x Y {{\displaystyle.^{y^{}}}} evalueres den fulde eksponent y {{\displaystyle y^{.}} af basen first {\displaystyle.} først., Men i nogle sammenhænge, især i håndskrift, kan forskellen mellem y Y = =(y Y) {{\displaystyle {^^{y}}^{ = }=(^^{y})^{, y==, (y)) {\displaystyle can^{Y}} = and^{(Y and)}} Og and Y = = and ( y)) {\displaystyle can^{y^{{}} = can ^ {(y ^ {)})}}} være svært at forstå.se. I et sådant tilfælde er ret-associativitet normalt underforstået.,

• Funktion definition

Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − y = x ↦ y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} ved Hjælp af højre-associative notation for disse operationer kan være motiveret af Curry–Howard korrespondance og currying isomorfi. ikke-associative operationer, for hvilke der ikke er defineret nogen konventionel evalueringsordre, omfatter følgende.,splaystyle en\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}

• at Tage korset produkt af tre vektorer:

a → × b → × k → ) ≠ ( a → × b → ) × k → for nogle a → , b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {en}}\times{\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {en}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ nogle }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}

• at Tage den parvise gennemsnit af reelle tal:

( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 for alle x , y , z ∈ R med x ≠ z ., {\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \end 2}\qquad {\mbox{for alle }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ med }}x\neq z.}

---