Den Pythagoræiske Læresætning
Pythagoras ‘ Sætning
Læring Mål(s)
· Brug Pythagoras ‘ Sætning for at finde den ukendte side af en retvinklet trekant.
· Løs applikationsproblemer, der involverer Pythagoras sætning.,
Indledning
En lang tid siden, en græsk matematiker navngivet Pythagoras opdagede en interessant ejendom, om højre trekant: summen af kvadraterne af længderne af hvert af trekanten ‘ s ben er den samme som kvadratet på længden af trekantens hypotenuse. Denne egenskab—som har mange anvendelser inden for videnskab, kunst, teknik og arkitektur-kaldes nu Pythagoras sætning.
lad os se på, hvordan denne sætning kan hjælpe dig med at lære mere om konstruktionen af trekanter., Og den bedste del-du behøver ikke engang at tale græsk for at anvende Pythagoras’ opdagelse.
Pythagoras ‘ Sætning
Pythagoras studerede rigtige trekanter, og forholdet mellem benene og hypotenusen i en retvinklet trekant, før der følger hans teori.,
Den Pythagoræiske Læresætning
Hvis a og b er længderne af benene i en retvinklet trekant og c er længden af hypotenusen, så summen af kvadraterne af længderne af benene er lig med kvadratet af længden af hypotenusen.
Dette forhold er repræsenteret ved formlen: 
I boksen ovenfor, kan du har bemærket, at ordet “square”, samt den lille 2s til øverst til højre på bogstaverne i ., At firkantet et tal betyder at formere det af sig selv. Så for eksempel at firkantet tallet 5 multiplicerer du 5 • 5, og for at firkantet tallet 12 multiplicerer du 12 • 12. Nogle almindelige firkanter er vist i tabellen nedenfor.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Når du ser ligningen , som du kan tænke på dette som “længde af side a gange selv, plus længden af siden b gange selv er den samme som længden af siden c gange for sig selv.,”
lad os prøve hele Pythagoras sætning med en faktisk højre trekant.
Denne sætning gælder for denne retvinklet trekant er summen af kvadraterne af længderne af begge ben er den samme som kvadratet på længden af hypotenusen. Og faktisk gælder det for alle rigtige trekanter.
Pythagoras sætning kan også repræsenteres med hensyn til område. I en hvilken som helst højre trekant er arealet af firkanten trukket fra hypotenusen lig med summen af arealerne af firkanterne, der er trukket fra de to ben., Du kan se dette illustreret nedenfor i den samme 3-4-5 højre trekant.
Bemærk, at Pythagoras sætning kun fungerer med højre trekanter.
Find Længden af Hypotenusen
Du kan bruge den Pythagoræiske Læresætning til at finde længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvis man kender længden af trekantens to andre sider, kaldet ben. Sagt på en anden måde, hvis du kender længden af A og b, kan du finde c.,
I trekanten ovenfor, får du foranstaltninger for ben a og b: 5 og 12 år hhv. Du kan bruge Pythagoras sætning til at finde en værdi for længden af c, hypotenusen.
|
|
Den Pythagoræiske Læresætning. |
|
|
Erstat med kendte værdier for a og b., |
|
|
Evaluering. |
|
|
Forenkle. For at finde værdien af c skal du tænke på et tal, der, når det multipliceres med sig selv, svarer til 169. Virker 10? Hvad med 11? 12? 13? (Du kan bruge en lommeregner til at multiplicere, hvis tallene ikke er kendte.) |
|
13 = c |
kvadratroden af 169 13., |
Ved hjælp af formlen finder du, at længden af c, hypotenusen, er 13.
i dette tilfælde vidste du ikke værdien af c—du fik kvadratet af længden af hypotenusen og måtte finde ud af det derfra. Når du får en ligning som 
og bliver bedt om at finde værdien af c, kaldes dette at finde kvadratroden af et tal. (Bemærk, at du fandt et nummer, c, hvis firkant var 169.,)
at finde en kvadratrod kræver lidt øvelse, men det kræver også viden om multiplikation, opdeling og en lille smule prøve og fejl. Se på tabellen nedenfor.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Hvis du kan huske disse firkantede tal – eller hvis du kan bruge en lommeregner til at finde dem—så er det bare et spørgsmål om tilbagekaldelse at finde mange fælles firkantede rødder.
for hvilken af disse trekanter er 
?,
A)
B)
C)
D)
Finde Længden af et Ben
Du kan bruge den samme formel til at finde længden af en retvinklet trekant ben, hvis du er i betragtning af målinger til bestemmelse af længden af hypotenusen og det andet ben. Overvej eksemplet nedenfor.,
|
Example |
||
|
Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
|
|
|
a = ?, b = 6 c = 7 |
I denne retvinklet trekant, du er i betragtning af de målinger for hypotenusen, c, og det ene ben, b. Hypotenusen er altid overfor den rette vinkel, og det er altid den længste side af trekanten. |
|
|
|
for At finde længden af ben a, erstatter de kendte værdier ind i den Pythagoræiske Læresætning., |
|
|
|
|
Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
|
|
|
Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, som du kan runde til 3.6. (Da du nærmer dig, bruger du symbolet |
|
Svar |
|
|
.)
Hvilke af følgende korrekt bruger Pythagoras ‘ Sætning til at finde den forsvundne side, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
D) 
Brug Sætningen til at Løse Problemer fra den Virkelige Verden
Den Pythagoræiske Læresætning er måske et af de mest nyttige formler, du vil lære i matematik, fordi der er så mange anvendelser i den virkelige verden indstillinger., Arkitekter og ingeniører bruger denne formel i vid udstrækning, når de bygger ramper, broer og bygninger. Se på følgende eksempler.
|
Eksempel |
||
|
Problem |
ejerne af et hus, ønsker at konvertere en trappe, der førte op fra jorden til deres veranda i en rampe. Verandaen er 3 fødder fra jorden, og på grund af bygningsregler skal rampen starte 12 fødder væk fra bunden af verandaen. Hvor længe vil rampen være?, brug en lommeregner til at finde kvadratroden og runde svaret til nærmeste tiende. |
|
|
for At løse et problem, som denne, er det ofte fornuftigt at tegne et simpelt diagram, der viser, hvor ben og hypotenusen i trekanten løgn., |
||
|
|
||
|
|
a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Du ved, at trekanten er en rigtig trekant, da jorden og den hævede del af verandaen er vinkelret—det betyder, at du kan bruge Pythagoras sætning til at løse dette problem. Identificere a, b, og c. |
|
|
|
Brug Pythagoras ‘ Sætning til at finde længden af c., |
|
|
12.4 = c |
Bruge en lommeregner til at finde c. Kvadratroden af 153 er 12.369…, så du kan runde, der til 12.4. |
|
Svar |
rampen vil blive 12.4 meter lang., |
|
|
Eksempel |
||
|
Problem |
En sejlbåd, der har et stort sejl i form af en retvinklet trekant. Den længste kant af sejlet måler 17 yards, og den nederste kant af sejlet er 8 yards. Hvor højt er sejlet?, |
|
|
|
Tegn et billede for at hjælpe dig med at visualisere problemet. I en højre trekant vil hypotenusen altid være den længste side, så her skal den være 17 meter. Problemet fortæller dig også, at den nederste kant af trekanten er 8 yards., |
|
|
|
Setup the Pythagorean Theorem. |
|
|
|
a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
|
Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
|
Oversigt
Pythagoras ‘ Sætning hedder det, at i enhver retvinklet trekant, summen af kvadraterne af længderne af trekantens ben er den samme som kvadratet på længden af trekantens hypotenuse. Denne sætning er repræsenteret ved formlen . Kort sagt, hvis du kender længderne på to sider af en højre trekant, kan du anvende Pythagoras sætning for at finde længden på den tredje side. Husk, at denne sætning kun virker for højre trekanter.