Epsilon Calculus

Oversigt

Ved århundredeskiftet David Hilbert og Henri Poincaréwere anerkendt som de to vigtigste matematikere theirgeneration. Hilbert ‘ s sortiment af matematiske interesser var bred,og der indgår en interesse i grundlaget for matematik: hisFoundations af Geometri blev udgivet i 1899, og af thelist af de spørgsmål, der stilles til den Internationale Kongres ofMathematicians i 1900, tre behandlet tydeligt foundationalissues.,

Efter offentliggørelsen af Russell ‘ s paradoks, Hilbertpresented en adresse til den Tredje Internationale Kongres ofMathematicians i 1904, hvor den første gang, han skitserede hisplan til at give et fast grundlag for matematik via syntacticconsistency beviser. Men han vendte ikke tilbage til emnet for alvorindtil 1917, da han begyndte en række foredrag om grundlaget formatematik med hjælp fra Paul Bernays., Selv om Hilbert wasimpressed ved at arbejde Russell og Whitehead i deres PrincipiaMathematica, blev han overbevist om, at logicist forsøg på toreduce matematik til at logik ikke kunne lykkes, skyldes navnlig, at ikke-logisk karakter af deres grundholdning reducibility. På samme tid dømte han den intuitionistiske afvisning af loven iudelukket midten som uacceptabel for matematik. Derfor var der brug for en ny tilgang til at retfærdiggøre modernematematiske metoder for at imødegå bekymringer, der blev rejst ved opdagelsen af de logiske og sætsteoretiske paradokser.,

i sommeren 1920 havde Hilbert formuleret en sådan tilgang. For det første skulle moderne matematiske metoder være repræsenteret i formelle deduktivesystemer. For det andet, disse formelle systemer, der skulle bevises syntacticallyconsistent, ikke ved at udstille en model eller reducere deres sammenhæng tilen anden system, men ved en direkte metamathematical argument for anexplicit, “finitary” karakter. Fremgangsmåden blev kendtsom Hilbert ” s program. De epsilon calculus var at give den første komponent i thisprogram, mens hans epsilon substitution metode var at give thesecond.,

epsilon calculus er i sin mest grundlæggende form en udvidelse afførsteordens prædikatlogik med en “epsilon operation”, der for enhver sand eksistentiel formel vælger et vidne til den eksistentielle kvantifier. Udvidelsen er konservativ i sanseat den ikke tilføjer nye førsteordens konsekvenser. Men omvendt kan kvantifikatorer defineres med hensyn til epsiloner, sofirst-ordens logik kan forstås med hensyn til kvantificeringsfri krydderier, der involverer epsilon-operationen. Det er denne sidstnævnte funktion, der gør beregningen praktisk med det formål at provingconsistency., Egnede udvidelser af epsilon calculus gør det muligt at integrere stærkere, kvantificerende teorier om tal andsets i kvantifier-fri calculi. Hilbert forventede, at det ville væremuligt at demonstrere konsistensen af sådanne udvidelser.

Epsilon Calculus

i sin Hamburg forelæsning i 1921 (1922), Hilbert første præsenterede theidea om at bruge en sådan operation til at beskæftige sig med princippet om thee .cluded midten i en formel ordning for matematik., Disse ideer weredeveloped i epsilon calculus og epsilon substitutionmethod i en række foredrag, kurser mellem 1921 og 1923, og inHilbert s (1923). Den endelige præsentation af epsilon-calculuskan findes i dissilhelm Ackermann ‘ s afhandling (1924).

dette afsnit beskriver en version af beregningen svarende tilførste ordens logik, mens udvidelser til første og anden ordensaritmetik vil blive beskrevet nedenfor.

lad \(l\) være et førsteordens sprog, hvilket vil sige en liste over konstantsymboler, funktion og forholdssymboler med specificerede arities., Theset af epsilon vilkår og sæt formler til \(V\) er definedinductively, samtidigt som følger:

Substitution og opfattelser af frie og bundne variable, er definedin den sædvanlige måde; i særdeleshed, variabel \(x\) bliver bundet i udtrykket \(\varepsilon x A\). Den tilsigtede fortolkning er, at\(\varepsilon.a\) betegner nogle \(\ \) tilfredsstillende\ (a\), hvisder er en., Således styres epsilon-vilkårene af følgendeaaxiom (Hilberts “transfinite a .iom”): \ derudover indeholder epsilon-beregningen et komplet sæt aksiomer, der styrer de klassiskepropositionelle forbindelser, og aksiomer, der styrer ligestillingssymbolet.De eneste regler i beregningen er følgende:

• Modus ponens
• Substitution: fra \(A (()\), konkludere \(a(t)\), for ethvert udtryk\(t.,\)

tidligere former for epsilon calculus (som den præsenterede ihilbert 1923) brug en dobbelt form af epsilon operatøren, hvor\(\varepsilon.a\) returnerer en værdi forfalskning \(a (()\). Ovenstående version blev brugt i ackermanns afhandling (1924), og er blevet standard.

Bemærk, at den netop beskrevne beregning er kvantificeringsfri. Kvantifikatorerkan defineres som følger: \ de sædvanlige kvantifikatoraksiomer og regler kan udledes af disse, så definitionerneovenfor tjener til at integrere førsteordens logik i epsilon-beregningen., Det modsatte er imidlertid ikke sandt: ikke hver formel i epsiloncalculus er billedet af en almindelig kvantificeret formel under dette bryllup. Derfor er epsilon calculus mere udtryksfuld end thepredicate calculus, simpelthen fordi epsilon termer kan kombineres på mere komplekse måder end kvantifikatorer.

Epsilon Teoremer

andet bind af Hilbert og Bernays’ Grundlagen derMathematik (1939) giver en redegørelse for resultaterne på theepsilon-calculus, der havde vist sig ved, at tid., Dette omfatter adiscussion af den første og anden epsilon teoremer med ansøgningertil første-ordens logik, epsilon substitution metode til arithmeticwith åbne induktion, og en udvikling af analyse (der er,for det andet-for aritmetiske) med epsilon calculus.

Den første og anden epsilon teoremer er som følger:

I første epsilon sætning, som “kvantor-gratis predicatelogic” er beregnet til at omfatte erstatning regel over, soquantifier-gratis aksiomer opfører sig som deres universelle lukninger., Da theepsilon calculus omfatter første-ordens logik, den første epsilon theoremimplies, at nogen omvej gennem første-ordens prædikatlogik, der anvendes toderive en kvantor-gratis sætning fra kvantor-gratis aksiomer canultimately undgås. Den anden epsilon sætning viser, at anydetour gennem epsilon calculus bruges til at udlede en sætning i thelanguage af prædikat kalkyle fra aksiomer i det sprog, thepredicate calculus kan også undgås.,

mere generelt fastslår den første epsilon sætning, at kvantificererog epsiloner altid kan fjernes fra et bevis på A .uantifier-fri formel fra andre kvantifier-fri formler. Dette eraf særlig betydning for Hilberts program, daepsiloner spiller rollen som ideelle elementer i matematik. Ifquantifier-gratis formler, der svarer til den “virkelige” del af de matematiske teori, den første epsilon-sætning viser, at idealelements kan fjernes fra beviser for real udtalelser, forudsatde aksiomer er også reelle udtalelser.,

Denne idé er lavet præcis i en generel sammenhæng theoremwhich Hilbert og Bernays stammer fra den første epsilon-sætning, whichsays følgende: Lad \F\) være nogen formelle system, som resulterer dette prædikat kalkyle ved addition af en konstant, funktion, andpredicate symboler plus sande aksiomer, som er kvantor – andepsilon-gratis, og antag, at sandheden af atomare formler i newlanguage er decidable. Så er \(f\) konsistent i den stærke sanseat hver derivable kvantifier – og epsilon-fri formel er sand.,Hilbert og Bernays bruge denne sætning til at give en finitary consistencyproof af elementær geometri (1939, Sek 1.4).

vanskeligheden for at give konsistens beviser for aritmetiske andanalysis består i at udvide dette resultat til tilfælde, hvor aksiomsalso indeholde ideelle elementer, dvs.epsilon vilkår.

yderligere læsning. De oprindelige kilder på epsilon-beregningenog epsilon-sætningerne (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)forbliver kun tilgængelige på tysk. Leisenring 1969 er en relativmoderne boglængde introduktion til epsilon calculus på engelsk.,Den første og anden epsilon sætning er beskrevet i detaljer i .ach2017. Moser & 2006ach 2006 giver en detaljeret analyse for sagenuden ligestilling. De oprindelige beviser er givet for aksiomatiskpræsentationer af epsilon-calculus. Maehara 1955 var den første tiloverveje se .uent calculus med epsilon vilkår. Han viste, hvordan man beviserden anden epsilon sætning ved hjælp af cut elimination, og derefterstyrket sætningen til at omfatte skemaet for forlængelse(Maehara 1957). Baa al et al. 2018 giver en forbedret version af den førstepsilon sætning., Rettelser til fejl i litteraturen (herunderleisenrings bog) findes i Flannagan 1975; Ferrari 1987;og Yasuhara 1982. En variation af epsilon-beregningen baseret på skolefunktioner, og derfor kompatibel med førsteordens logik, diskuteres i Davis & Fechter 1991.

Herbrands sætning

versionen af herbrands sætning netop beskrevet følgerstraks fra den udvidede første Epsilon sætning ofHilbert og Bernays., Ved hjælp af metoder forbundet med beviset forden anden epsilon-sætning udledte Hilbert og Bernays astronger imidlertid, at ligesom Herbrands oprindelige formulering giver mere information. At forstå de to dele af sætningennedenfor hjælper det med at overveje et bestemt eksempel. Lad \(A\) være Formula

\ hvor \(B\) er kvantifikatorfri. Negationen \(A\) svarer til \ ved Skolemisering, dvs.,, usingfunction symboler for at overvære den eksistentielle quantifiers, vi opnå\ at Tage en afvisning af dette, ser vi, at originalformula er “tilsvarende” til \

Når vi refererer til en instans af den matrix af \(A^H\), wemean en formel, der er opnået ved at erstatte vilkårene i expandedlanguage i matrix af \(A^H\). Vi kan nu, Hilbert andBernays formulering af

Herbrand sætning kan også opnås ved hjælp cutelimination, via Gentzen ‘ s “midsequent sætning.,”Beviset ved hjælp af den anden epsilon-sætning har dog forskel på at være det første komplette og korrekte bevis påherbrands sætning. Desuden, og dette er sjældent anerkendt,der henviser til, at det bevis, der er baseret på cut-afskaffelse giver en grænse for thelength af Herbrand disjunktion kun som en funktion af cut rankand kompleksitet skære formler i beviset, længden obtainedfrom bevis baseret på epsilon calculus giver en bundet som enfunktion af antallet af ansøgninger af transfinite aksiom, ogkommissionens rang og graden af epsilon-udtryk der forekommer deri., Med andre ord, længden af Herbrand disjunction afhænger kun afquuantificational kompleksitet af de involverede substitutioner, og,f.eks, slet ikke på propositional struktur eller længden af theproof.

den version af herbrands sætning, der blev angivet i begyndelsen af dette afsnit, er i det væsentlige det særlige tilfælde af (2), Hvor formula \(a\) er eksistentiel. I lyset af dette særlige tilfælde er (1) ækvivalent med påstanden om, at en formel \(A\) er afledelig iførsteordens prædikatlogik, hvis og kun hvis \(A^H\) er., Forardarddirection af denne ækvivalens er meget lettere at bevise; faktisk er forenhver formel \(A, A \rightarro.A^H\) derivabel i prædikatlogik.At bevise den modsatte retning indebærer at eliminere de ekstrafunktionssymboler i \(A^H\) og er meget vanskeligere, især i nærvær af ligestilling. Det er her, at epsilon metoder spiller encentral rolle.

en slående anvendelse af Herbrands sætning og relaterede metoder isfound i Luckhardt”s (1989) analyse af Roth”s sætning. Til diskussion af nyttige udvidelser af Herbrand ” s metoder, se Sieg 1991.,En model-teoretisk version af denne er beskrevet i Avigad 2002a.

Epsilon Substitution Metode og Aritmetiske

Som nævnt ovenfor, historisk set, har den primære interesse i den epsiloncalculus var som et middel til at opnå konsistens beviser.Hilbert ‘ s foredrag fra 1917-1918 allerede bemærk, at der igennem kan nemt bevise sammenhængen mellem propositionelle logik, ved takingpropositional variabler og formler for at vifte over sandheden værdier 0 og1, og fortolkning af den logiske connectives som correspondingarithmetic operationer., På samme måde kan man bevise konsistensen afpredicate logic (eller den rene epsilon calculus) ved at specialisere sig ifortolkninger, hvor diskursens univers har et enkelt element.Disse overvejelser foreslår følgende mere generelle program forproving sammenhæng:

• Forlænge epsilon calculus på en sådan måde, at de repræsenterer largerportions af matematik.
• viser, ved hjælp af finitary metoder, at hvert bevis i e .tendedsystem har en konsekvent fortolkning.,

Antag, at vi ønsker at vise, at systemet ovenfor er konsistent; med andre ord ønsker vi at vise, at der ikke er noget bevis for formlen \(0 =1\). Ved at skubbe alle substitutioner til aksiomer og erstatte freevariables af konstant 0, er det tilstrækkeligt at vise, at der ikke er propositional bevis for \(0 = 1\) fra et endeligt sæt af lukkede instancesof aksiomer. For det er det tilstrækkeligt at vise, at man i betragtning af eventuelle endelige af lukkede forekomster af aksiomer kan tildele numeriske værdier til termer på en sådan måde, at alle aksiomer er sande underfortolkning., Da de aritmetiske operationer \ ( + \ ) og \(\times\) kan fortolkes på den sædvanlige måde, ligger det eneste problem infinding passende værdier til at tildele epsilon vilkår.

Hilberts Epsilon-substitutionsmetode kan beskrives groft som følger:

der opnås et endeligt konsistensbevis,når det på en ubestemt acceptabel måde er vist, at denne proces med successive”reparationer” afslutter. Hvis det gør det, er alle kritiske formler sande formler uden epsilon-vilkår.,

denne grundlæggende id. (“Hilbertsche ansat.”) blev sat outfirst af Hilbert i hans 1922 talk (1923), og uddybet i foredragene 1922-23. Eksemplerne der er givet der omhandler dog kunproofs, hvor alle forekomster af transfinitaksiomet svarer til asingle epsilon term \(\varepsilon.a (\)\). Udfordringen var at udvide tilgangen til mere end et epsilon-udtryk, til indlejrede epsilontermer og i sidste ende til andenordens epsiloner (for at opnå et konsistent bevis ikke kun for aritmetik, men for analyse).,

Dette er blot en skitse af de vanskeligheder, der er involveret i udvidelsehilberts ide til den generelle sag. Ackermann (1924) leverede en sådan generalisering ved hjælp af en procedure, der “backtracks”, når en ny fortolkning på et givet Stadium resulterer i behovet for at korrigere en fortolkning, der allerede findes på et tidligere stadium.

Ackermanns procedure blev anvendt på et system af anden ordensaritmetiske, hvor anden ordens vilkår imidlertid var begrænset til at udelukke krydsbinding af andenordens epsiloner., Dette svarer stort set til en begrænsning af aritmetisk forståelse som det sætdannende princip, der er tilgængeligt (se diskussionen i slutningen af dette afsnit). Yderligere vanskeligheder med andenordens epsilon termer kom frem, og det blev hurtigt klart, at beviset som det stoodasas fallacious. Men ingen i Hilbert ‘ s skole realiserede omfanget af vanskeligheden indtil 1930, da G .del annoncerede hansufuldstændighed resultater., Indtil da blev det antaget, at beviset (mindst med nogle ændringer indført af Ackermann, hvoraf nogle involverede ideer fra von Neumanns (1927) version af epsilonsubstitutionsmetoden) ville gå igennem i det mindste for første ordensdel. Hilbert and Bernays (1939) antyder, at de anvendte metodergiver et konsistensbevis for førsteordens aritmetik med openinduction. I 1936 lykkedes det Gerhard Gent .en at bevise konsistens af førsteordens aritmetik i en formulering baseret påindikerer logik uden epsilon-symbolet., Dette bevis brugertransfinite induktion op til \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) waslater i stand til at tilpasse sig Gentzen ideer til at give en correctconsistency bevis for første-ordens aritmetiske hjælp theepsilon-substitutionsmetoden.

analyse eller andenordens aritmetik er udvidelsen af første ordenaritmetisk med forståelsesskemaet for vilkårlige andenordenformulae. Teorien er impredicative, idet den tillader oneto definere sæt af naturlige tal ved hjælp af kvantifikatorer, der spænder over hele universet af sæt, herunder implicit det sæt, der er defineret., Man kan opnå predikative fragmenter af denne teorived at begrænse den type formler, der er tilladt i forståelsena .iom. For eksempel svarer begrænsningen diskuteret i forbindelse medackermann ovenfor til det aritmetiske forståelseschema, hvor formler ikke involverer anden ordenskvantifikatorer. Der er forskellige måder at opnå stærkere fragmenter afanalyse, der ikke desto mindre er forudsigeligt berettiget., For eksempel,opnår man forgrenet analyse ved at knytte en ordinal rankto sæt variabler; groft, i definitionen af et sæt af en given rang,quantifiers spænder kun over sæt af lavere rang, dvs, de whosedefinitions er logisk set før.

yderligere læsning. Hilberts og Ackermanns tidligetag diskuteres i 2003ach 2003; 2004. Von Neumanns bevis eremnet for Bellotti 2016. Ackermanns 1940-bevis diskuteres i Hilbert & Bernays 1970 og 1963ang 1963. En moderne præsentation er givet af Moser 2006., En tidlig anvendelse af Epsilon substitution er den ikke-countereamample fortolkning (Kreisel 1951).

nyere udvikling

i dette afsnit diskuterer vi udviklingen af epsilon-substitutionsmetoden til opnåelse af konsistensresultater for stærke systemer; disse resultater er af matematisk karakter. Vi kan desværre ikke diskutere bevisernes detaljer her, men vil gerne indikere, at Epsilon-substitutionsmetoden ikke døde med Hilbert ‘ program, og at en betydelig del af den nuværende forskning udføres i epsilon-formalismer.,

Gentzen konsistens beviser for aritmetiske lanceret et felt af forskning kendt som ordenstal analyse, ogkommissionens program til at måle styrken af matematiske teorier usingordinal notationer er stadig forfulgte i dag. Dette er især relevant for det udvidede Hilberts program, hvor målet er at retfærdiggøre klassisk matematik i forhold til konstruktive ellerquuasi-konstruktive systemer., Gentzen ‘ s metoder ofcut-elimination (og udvidelser til infinitary logik, der er udviklet af PaulLorentzen, Petr Novikov, og Kurt Schütte) har i en stor del fortrængt epsilon substitution metoder i disse sysler. Men epsiloncalculus metoder giver en alternativ tilgang, og der er stillactive forskning på måder at udvide Hilbert-Ackermann metoder tostronger teorier. Det generelle mønster forbliver det samme:

1. Integrer teorien under undersøgelse i en passende epsiloncalculus.
2. Beskriv en proces til opdatering af opgaver til epsilonterms.,
3. vis, at proceduren normaliserer, dvs. givet et sæt afterms, der er en sekvens af opdateringer, der resulterer i en opgaveder opfylder aksiomerne.

siden det sidste trin garanterer konsistensen af den oprindelige teori,er man fra et grundlæggende synspunkt interesseret i metodernebruges til at bevise normalisering. For eksempel opnår man en ordinæranalyse ved at tildele ordinære notationer til trin i proceduren på en sådan måde, at værdien af en notation falder med hvert trin.,

i 1960 ‘ erne, Tait (1960, 1965, 2010) udvidedackermanns metoder til at opnå en ordinær analyse af udvidelser af aritmetik med principper for transfinitinduktion. Morestreamlined og moderne versioner af denne tilgang kan findes i Mints2001 og Avigad 2002b., Mere for nylig, Mynte, Tupailo, og Buchholzhave anses stærkere, men stadig predicatively berettiget,fragmenter af analyse, herunder teorier om aritmetiske comprehensionand en \(\Delta^{1}_1\)-forståelse regel (Mynte, Tupailo &Buchholz 1996; Pastiller & Tupailo 1999; se også Pastiller 2016). Arai2002 har udvidet Epsilon substitutionsmetoden til teorier, der tillader en at gentage aritmetisk forståelse langs primitiverekursive brøndbestillinger., Især giver hans arbejde ordinæreanalyser for predikative analysefragmenter, der involverer transfinitehierarchies og transfinite induktion.

Nogle første skridt er taget ved anvendelse af epsilon-substitutionsmetoden i analysen af impredicative teorier (se Arai2003, 2006 og Mints 2015).

en variation af trin 3 ovenfor involverer at vise, at normaliseringsproceduren ikke er følsom over for valg af opdateringer,hvilket vil sige, at enhver række opdateringer afsluttes. Dette kaldes strongnormalisering., Mints 1996 har vist, at mange af procedurernebetragtes som denne stærkere ejendom.

ud over den traditionelle, grundlæggende gren af bevisteori er der i dag en stor interesse for strukturel prooftheory,en gren af emnet, der fokuserer på logisk deductivecalculi og deres egenskaber. Denne forskning er tæt forbundet med emner, der er relevante for datalogi, der har at gøre med automatiseret reduktion, funktionel programmering og computerstøttet verifikation.Også her har Gent .en-stil metoder tendens til at dominere (se igen posten om bevisteori)., Men epsilon calculus kan også give værdifuld indsigt; jf. forepleample Aguilera & Baa.2019, eller diskussionen afherbrands sætning ovenfor.

bortset fra undersøgelserne af epsilon calculus I proof theory,to ansøgninger bør nævnes. Den ene er brugen af epsilonnotation i Bourbaki ‘ s Theorie des ensembles (1958).Den anden, måske af større nuværende interesse, er brugen afepsilon-operatøren i de teorem-bevisende systemer HOL og Isabelle, hvor epsilon-udtrykets udtryksfulde kraft giver betydeligepraktiske fordele.,

Epsilon Operatører i Lingvistik, Filosofi, og Ikke-klassiske Logikker

Læsning epsilon operator som et ubestemt valg operatør(“en \(x\) sådan, at \(A(x)\)”) antyder, at det måske bea nyttigt værktøj i analysen af ubestemt og bestemt navneord phrasesin formel semantik. Epsilon notationen har faktisk været så brugt, og denne ansøgning har vist sig nyttig især i behandlingen afanaphoric reference.

overvej det velkendte eksempel

1. hver landmand, der ejer et æsel, slår det.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

Den ulempe er, at “et æsel”, foreslår en existentialquantifier, og dermed analysen skal, på en eller anden måde, parallel i formthe analyse af sætning 3 er givet ved 4:

men den tættest mulige formalisering,

1. \(\forall x ((\mathrm{Landmand}(x) \wedge \eksisterer y(\mathrm{Æsel}(y) \wedge \mathrm{Ejer}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

Som påpeget af von Heusinger (1994), dette tyder på, at Neale iscommitted at pronominer bliver tvetydig mellem bestemte beskrivelser\((\tøddel\)-udtryk) og hv-udtryk., Heusinger foreslår i stedet at bruge epsilon-operatører indekseret efter valgfunktioner (som afhænger af konteksten). Ifølge denne tilgang, analyse af(1)

Denne tilgang til arbejdet med pronominer hjælp epsilon operatører indexedby vælg funktioner aktiver von Heusinger til at beskæftige sig med en bred varietyof omstændigheder (se Egli og von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).

applikationer fra epsilon-operatøren i Formel semantik og valgfunktioner generelt har modtaget betydelig interesse for de seneste år., Von Heusinger og Egli (2000a) liste, blandt andre, denfølgende: repræsentationer af spørgsmål (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Winter 1997), E-type pronominer(Hintikka og Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli og vonHeusinger 1995) og bestemt navneord sætninger (von Heusinger 1997,2004).

for diskussion af spørgsmål og anvendelser af epsilon operatorin lingvistik og filosofi sprog, se B. H., Slater ‘ sarticle on epsilon calculi (citeret i den anden Internetressourcesektion nedenfor), og samlingerne von Heusinger and Egli 2000 andvon Heusinger and Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) indeholder yderligere bevis – og model-teoretiske undersøgelser af epsilon calculus; specifikt intuitionistic epsiloncalculi. Her holder epsilon-sætningerne ikke længere, dvs. introduktion af epsilon-udtryk producerer ikke-konservative udvidelser afintuitionistisk logik. Andre undersøgelser af epsilon operatører inintuitionistic logik kan findes i Shirai (1971), Bell (1993a,1993b) og DeVidi (1995)., For epsilon-operatører i mange værdsatte logikker, se Mosto .ski (1963), for Modal epsilon calculus, montering (1975).

yderligere læsning. Følgende er en liste over nogle publikationeri området for sprog og lingvistik af relevans for epsiloncalculus og dets applikationer. Læseren er især rettet modsamlingerne von Heusinger & Egli (eds.) 2000 og von Heusinger& Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---