Heltal

i grundskoleundervisningen defineres heltal ofte intuitivt som de (positive) naturlige tal, nul og negationerne af de naturlige tal., Denne definitionsstil fører imidlertid til mange forskellige tilfælde (hver aritmetisk operation skal defineres på hver kombination af heltalstyper) og gør det kedeligt at bevise, at heltal overholder de forskellige aritmetiske love. Derfor, i moderne sæt-theoretic matematik, en mere abstrakt konstruktion gør det muligt at definere aritmetiske operationer uden nogen forskel ofte bruges i stedet. Heltal kan således formelt konstrueret som ækvivalens klasser af bestilt par af naturlige tal (A,B).,

intuition er, at (a,b) står for resultatet af at trække b fra en. For at bekræfte vores forventning om, at 1 − 2 og 4 − 5 betegne det samme antal, vi definere en ækvivalens relation ~ på disse par med følgende regel:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

netop, når

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

Addition og multiplikation af heltal kan være defineret i forhold til tilsvarende operationer på de naturlige tal; ved hjælp at betegne den ækvivalensklasse, der har (a,b) som medlem, man har:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \cdot :=.}

negationen (eller additiv inverse) af et heltal opnås ved at vende parrets rækkefølge:

− := . {\displaystyle -:=.}

derfor subtraktion kan defineres som tilsætning af additivet inverse:

− := . {\displaystyle -:=.}

standard bestilling på heltal er givet ved:

< {\displaystyle <} hvis og kun hvis a + d < b + c . {\displaystyle a+d<b+c.,}

det er let verificeret, at disse definitioner er uafhængige af valget af repræsentanter for ækvivalensklasserne.

betegnes således med

{a − b, Hvis A b b − ( b − A), Hvis a < b . {\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{hvis }}a\geq-b\\-(b-a),&{\mbox{hvis }}<b.\end{cases}}}

Hvis de naturlige tal er identificeret med den tilsvarende heltal (ved hjælp af den forankring, der er nævnt ovenfor), konventionen skaber ingen tvetydighed.,

denne notation gendanner den velkendte repræsentation af heltalene som {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Nogle eksempler er:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}

i teoretisk datalogi bruges andre tilgange til konstruktion af heltal af automatiserede teorem provers og term re .rite motorer.Heltal er repræsenteret som algebraiske termer bygget ved hjælp af et par grundlæggende operationer (f.nul, succ, pred) og muligvis ved hjælp af naturlige tal, som antages at være allerede konstrueret (ved hjælp af, siger Peano-tilgangen).

Der findes mindst ti sådanne konstruktioner af underskrevne heltal., Disse konstruktioner adskiller sig på flere måder: antallet af grundlæggende operationer, der anvendes til konstruktion, antal (normalt mellem 0 og 2) og de typer af argumenter, der accepteres af disse operationer, tilstedeværelse eller fravær af naturlige tal som argumenter for nogle af disse operationer, og det faktum, at disse operationer er gratis konstruktører eller ikke, dvs, at den samme heltal kan være repræsenteret ved hjælp af kun én eller mange algebraiske udtryk.,

teknikken til konstruktion af heltal præsenteret ovenfor i dette afsnit svarer til det særlige tilfælde , hvor der er et enkelt grundlæggende operationspar (,, y ) {\displaystyle (,, Y)}, der tager som argumenter to naturlige tal {{\displaystyle and} og y {\displaystyle y}, og returnerer et heltal (lig med {−y {\displaystyle.-y}). Denne handling er ikke gratis, da heltal 0 kan skrives par (0,0), eller par(1,1), eller par(2,2), etc., Denne konstruktionsteknik bruges af bevisassistenten Isabelle; imidlertid bruger mange andre værktøjer alternative konstruktionsteknikker, bemærkelsesværdige dem, der er baseret på Gratis konstruktører, som er enklere og kan implementeres mere effektivt i computere.

---