Khan Academy understøtter ikke denne bro .ser. [luk]
en af jer alle sendte et retinteressant problem, så jeg troede, jeg ville finde ud af det. Problemet er, at jeg har en gruppe på 30 personer, så 30 personer i et rum. De ” re randomly selected 30 personer. Og spørgsmålet er, hvad der ersandsynlighed at mindst 2 personer har samme fødselsdag? Dette er lidt af en sjov questionuestionbecause at ” s størrelsen af en masse klasseværelser. Hvad ” s sandsynligheden for, at atleast nogen i klasseværelset deler en fødselsdag med someoneelse i klasseværelset?, At ” s en god phraseayto sætning samt. Dette er det samme assaying, hvad er sandsynligheden for, at nogen deler medi det mindste en anden. De kunne dele det med 2andre mennesker eller 4 andre mennesker i fødselsdagen. Og i første omgang synes dette problem virkelig hårdt, fordi der er mange omstændigheder, der gør dette sandt. Jeg kunne have præcis 2 peoplehar samme fødselsdag. Jeg kunne have præcis 3 peoplehar samme fødselsdag. Jeg kunne have præcis 29 peoplehar samme fødselsdag og alle disse gør dette sandt, så Doi tilføje sandsynligheden for hver af disse omstændigheder?, Og så tilføje dem op og derefterdet bliver virkelig hårdt. Og så skulle jeg sige, OK, hvis fødselsdage og jeg sammenligner? Og jeg ville have todo kombinationer. Det bliver et virkelig vanskeligt problem, medmindre du gør en slags meget simplifyingtake på problemet. Dette er det modsatte af–godt lad mig trække sandsynligheden plads. Lad os sige, at dette eralle resultaterne. Lad mig tegne det meden tykkere linje. Så lad os sige, at ” s allof resultaterne af min Sandsynlighed plads. Så at ” s 100% af resultaterne. Vi ønsker at vide-lad mig Dra “it i en farve, der vandt”t være stødende for dig., Det gør ikke ” t se thatgreat, men alligevel. Lad os sige, at dette er THES probability, dette område lige her-og jeg don ” t kno .ho.stort det virkelig er, vi vil finde ud af det. Lad os sige, at dette er densandsynlighed, at nogen deler en fødselsdag medi det mindste en anden. Hvad er dette område herovre? Hvad ” er dette grønne område? Godt, det betyder, at hvis disse er alle de tilfælde, hvor nogen deler en fødselsdag med someoneelse, dette er alt det område, hvor ingen deler abirthday med nogen. Eller du kan sige, alle 30 personerhar forskellige fødselsdage. Dette er, hvad vi ” prøver igen at finde ud af., I ” ll bare kalde det thesandsynlighed, at nogen aktier. Jeg”ll kalde det probabilityof deling, sandsynligheden for at s. Hvis hele dette område er område 1 orarea 100%, dette grønne område lige her, dette vil være minus 1 s af s. Dette kommer til at være1 minus p i s. Eller hvis vi sagde, at dette er theprobability– eller anden måde, vi kunne sige det, faktisk isthe bedste måde at tænke over det. Hvis dette er anderledes, såDette er sandsynligheden for forskellige fødselsdage. Dette er sandsynlighedenat alle 30 personer har 30 forskellige fødselsdage. Ingen deler med nogen., Sandsynligheden for, at someoneshares med en anden, plus sandsynligheden for, at ingen oneshares med nogen– de har alle forskellige fødselsdage–at”er nødt til at være lig med 1. Fordi vi ” enten kommer til at være i denne situation, eller vi vil være i den situation. Eller du kan sige, at de ” svarer til 100%. Uanset hvad, 100% og 1er det samme antal. Det ” s lig med 100%. Så hvis vi finder ud afsandsynligheden for, at alle har samme fødselsdag, kunne viundertrække det fra 100. Så lad ” s se. Vi kunne bare omskrive dette., Sandsynligheden for, at nogenhar en fødselsdag med en anden, at”s svarende til 100% minus sandsynligheden for,at alle har forskellige, separate fødselsdage. Og grunden til, at jeg ” m gør det, fordi jeg startede i videoen, Dette er svært at finde ud af. Du ved, jeg kan finde ud afsandsynligheden for, at 2 personer har samme fødselsdag, 5 personer, og det bliver meget forvirrende. Men her, hvis jeg ville justfigure ud af sandsynligheden for, at alle har en distinctbirthday, det”s faktisk en meget lettere probabilityto løse for. Så hvad ” s sandsynlighedat alle har en særskilt fødselsdag?, Så lad ” s tænke over det. Person et. Bare for enkelhed, lad”simforestil dig, at vi kun har 2 personer i rummet. Hvad ” er det sandsynligvis, at de har forskellige fødselsdage? Lad os se, person en, deresfødselsdag kunne være 365 dage ud af 365 dage om året. Du ved, når deres fødselsdag er. Og så person to,hvis weeantedanted at sikre, at de don”t har den samme fødselsdag, hvor mange dage kunne person to blive født på? Nå, det kunne være fødtpå enhver dag den person, man ikke blev født på. Så der er 364muligheder ud 365., Så hvis du havde 2 personer, er det sandsynligt, at ingen er født på samme fødselsdag-det er bare 1. Det ” s bare vil beeequual til 364/365. Hvad sker der nu, hvisvi havde 3 personer? Så først og fremmestførste person kunne blive født på en hvilken som helst dag. Så kunne den anden personfødt på 364 mulige dage ud af 365. Og så den tredje person, hvad er sandsynligheden for, at den tredje person er”tfødt på en af disse mennesker fødselsdage? Så 2 dage er taget op, såsandsynligheden er 363/365. Du formere dem ud. Du får 365 gange 36-faktisk skal jeg omskrive denne., I stedet for at sige,at dette er 1, Lad mig skrive dette som-tælleren er 365 times364 over 365 kvadreret. Fordi jeg vil have dig til at se mønsteret. Her er sandsynligheden 365gange 364 gange 363 over 365 til den tredje effekt. Og så, i almindelighed, hvis du justkept at gøre dette til 30, hvis jeg bare holdt denne proces for 30people– sandsynligheden for at ingen deler den samme birthdaywould være lig med 365 gange 364 363 gange-jeg”ll have30 vilkår op her. Helt ned til hvad? Helt ned til 336. At ” ll faktisk være 30terms divideret med 365 til den 30. magt., Og du kan bare skrive dette idin lommeregner lige nu. Det vil tage dig lidt tid tiltype i 30 numre, og du vil få sandsynligheden for, at ingenhares samme fødselsdag med nogen anden. Men før vi gør det letme bare vise dig noget, der kan gøre det lidt lettere. Er der nogen måde, jeg kanmatematisk udtrykke dette med factorials? Eller at jeg matematisk kunne udtrykke dette med factorials? Lad ” s tænke over det. 365 factorial er hvad? 365 factorial er lig med 365times 364 gange 363 gange-hele vejen ned til 1. Du bliver bare ved med at formere dig. Det er et stort antal., Nu, hvis jeg bare vil have 365 gange 364 i dette tilfælde, Jeg er nødt til at slippe af med alle disse numre tilbage her. En ting jeg kunne gøre er at kunne opdele denne ting med alle disse tal. Så 363 gange 362 – helt ned til 1. Så det ” er det samme somopdeling af 363 factorial. 365 factorial divideret med 363factorial er i det væsentlige dette, fordi alle disse termer annullerer. Så dette er lig med 365faktoriel over 363 factorial over 365 kvadreret. Og selvfølgelig, for denne sag,det ” s næsten fjollet at bekymre sig om de faktorials, men detbliver nyttigt, når vi har noget større end to vilkår heroppe., Så ved samme logik vil det her her være lig med 365 factorial over 362factorial over 365 s .uared. Og faktisk bare en andeninteressant punkt. Hvordan fik vi denne 365? Undskyld, hvordan fik vi denne 363 factorial? Nå, 365 minus 2is 363, ikke? Og det giver mening, fordi vi kun ønskede to vilkår heroppe. Vi ville kun have t .oterms lige her. Så vi ønskede at opdele ved afactorial at ” s to mindre. Og så får vi”d kun de højeste to udtryk tilbage., Dette er også lig med– youcould skrive dette som 365 fakultet divideret med 365 minus2 fakultet 365 minus 2 er 363 fakultet og så skal du bare endup med disse to begreber, og at”s, der er der. Og så ligeledes, denne righthere, denne tæller du kunne omskrive som 365 factorialdivided med 365 minus 3-og vi havde 3 personer-factorial. Og det burde forhåbentlig være fornuftigt, ikke? Dette er det samme som 365factorial-godt 365 divideret med 3 er 362 factorial. Og så at”s lig to365 gange 364 gange 363 hele vejen ned. Divideret med 362 gangehele vejen ned., Og at ” ll annullere ud med alt andet, og du ville være lige tilbage med det. Og det ” er det lige der. Så ved den samme logik kan denne toppart Her skrives som 365 factorial over hvad? 365 minus 30 factorial. Og jeg gjorde alt det bare så jeg kunne vise dig slags mønster, og fordi dette er langt lettere at skrive i en lommeregner, hvis du ved, hvor faktorknappen er. Så lad ” s finde ud af hvadDenne hele sandsynlighed er. Så tænder lommeregneren, vi ønsker-så lad ” s gøre tælleren. 365 factorial divideret med — godt, hvad ” s 365 minus 30? Det er 335., Divideret med 335 factorial andthat ” er hele tælleren. Og nu vil vi opdeletælleren med 365 til den 30.effekt. Lad lommeregneren tænkeog vi får 0,2936. Er lig med 0,2936. Faktisk 37 hvis du afrundet, hvilket er lig med 29,37%. Nu, bare så du husker hvad vi gjorde hele tiden, det var sandsynligheden for, at ingenhares en fødselsdag med nogen. Dette var sandsynligheden for, at alle havde forskellige, forskellige fødselsdage fra alle andre., Og vi sagde, ja, sandsynligheden for, at nogen deler en fødselsdag med en anden,eller måske mere end en person, er lig med alle mulighederne-slags 100%, sandsynlighedsrummet minus sandsynligheden for,at ingen deler en fødselsdag med nogen. Så at ” s lig med100% minus 29,37%. Eller på en anden måde kan du skrive det som det”s 1 minus 0.2937, hvilket er lig med-så hvis jeg vil trække det fra 1. 1 minus-det betyder bare svaret. Det betyder 1 minus 0,29. Du får 0,7063. Så sandsynligheden for, at someoneshares en fødselsdag med en anden er 0.7063-det fortsætter., Hvilket er ca. lig med 70,6%. Hvilket er lidt af et pænt resultatfordi hvis du har 30 personer i et rum, kan du sige, Åh Wowo?, hvad er oddsene for, at nogen har det sammefødselsdag som en anden? Det er faktisk temmelig høj. 70% af tiden, hvis du har en gruppe på 30 personer, deler mindst 1 person en fødselsdag med mindst en anden person i rummet. Så det ” s slags et pænt problem. Og slags et pænt resultatpå samme tid. Any .ay, vi ses i den næste video.