Krumning

Intuitivt, den krumning, der beskriver en del af en kurve, hvor meget kurven retning ændringer over en lille tilbagelagt afstand (fx vinkel i rad/m), så det er en måling af den øjeblikkelige procentvise ændring i retning af et punkt, der bevæger sig på kurven: jo større krumning, jo større denne stigningstakt. Med andre ord måler krumningen, hvor hurtigt enhedens tangentvektor til kurven roterer (hurtigt med hensyn til kurveposition). Faktisk kan det bevises, at denne øjeblikkelige ændringshastighed er nøjagtigt krumningen., Antag mere præcist, at punktet bevæger sig på kurven med en konstant hastighed på en enhed, det vil sige placeringen af punktet P(s) er en funktion af parameteren s, som kan tænkes som tiden eller som buelængden fra en given Oprindelse. Lad T(s) være en enhed tangent vektor af kurven ved P(s), som også er den afledte af P(r) med hensyn til s. Derefter, og de afledte af T(s) med hensyn til s er en vektor, der er normal til kurven og hvis længde er krumningen.,

For at være meningsfuld, den definition af krumning og dens forskellige beskrivelser kræver, at kurven er løbende differentiable i nærheden af S, for at have en tangent, der varierer kontinuerligt, og det kræver også, at kurven er to gange differentiable i P, for at forsikre eksistensen af de involverede grænser, og de afledte af T(s).

karakteriseringen af krumningen med hensyn til derivatet af enhedens tangentvektor er sandsynligvis mindre intuitiv end definitionen med hensyn til den osculerende cirkel, men formler til beregning af krumningen er lettere at udlede., Derfor, og også på grund af dets anvendelse i kinematik, gives denne karakterisering ofte som en definition af krumningen.

Osculating circleEdit

Historisk, krumningen af en differentiable kurve blev defineret gennem osculating cirkel, som er den kreds, der bedst tilnærmer kurven i et punkt. Mere præcist, i betragtning af et punkt P på en kurve, definerer hvert andet punkt Q i kurven en cirkel (eller undertiden en linje), der passerer gennem and og tangent til kurven ved P. Den osculerende cirkel er grænsen, hvis den findes, af denne cirkel, når P. har en tendens til P., Derefter er midten og krumningsradiusen af kurven ved P midten og radius af den osculerende cirkel. Krumningen er den reciprokke af krumningsradius. Det vil sige, at krumningen er

κ = 1 R, {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

hvor R er krumningsradius (hele cirklen har denne krumning, den kan læses som turn 2.over længden 2nR).

denne definition er vanskelig at manipulere og udtrykke i formler. Der er derfor indført andre ækvivalente definitioner.,

med hensyn til buelængde parametriediationedit

hver differentierbar kurve kan parametriseres med hensyn til buelængde. I tilfælde af en plan Kurve betyder dette eksistensen af en parametrizationation γ(S) = (. (S), y(s)), hvor and og y er differentierbare funktioner, hvis derivater opfylder

‖ γ ‘= = 2 ‘( s ) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}”\|={\sqrt {x”(s)^{2}+y”(s)^{2}}}=1.,}

Dette betyder, at tangenten vektor

T ( s ) = ( x ‘( s ) , y ‘( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x”(s),y”(t){\bigr )}}

har en norm svarende til en og er således en enhed tangent vektor.

hvis kurven er to gange differentierbar, det vil sige, hvis de andre derivater af and og y eksisterer, eksisterer derivatet af T(s). Denne vektor er normal til kurven, dens norm er krumningen κ (S), og den er orienteret mod krumningscentret.,yle {\begin{justeret}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\indebærer \mathbf {T} “(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} “(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(s)\|={\sqrt {x””(s)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\end{justeret}}}

Desuden som krumningsradius er

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

og centrum af krumning er på den normale kurve, centrum af krumning er det punkt

K ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‘ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (t)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} “(s).}

Hvis N(s) er den enhed, normal vektor, der fås fra T(s) med uret rotation af π/2, så

T ‘ ( s ) = k ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} “(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}

med k(s) = ± κ(s). Det reelle tal k (s) kaldes den orienterede eller underskrevne krumning. Det afhænger af både orienteringen af flyet (definition af mod uret) og orienteringen af kurven tilvejebragt af parametrizationationen., Faktisk, ændringen af variabel s – – S giver en anden buelængde parametrizationation, og ændrer tegn på k (s).

i form af en generel parametriediationedit

lad γ(t) = (. (t), y(t)) være en ordentlig parametrisk repræsentation af en to gange differentiable plane kurve. Her betyder det korrekt, at på domænet for definition af parametrizationationen, derivatet dy/dtis defineret, differentierbar og intetsteds lig med nulvektoren.,

Med sådan en parametrering, underskrevet krumning er

k = x ‘ y “− y ” x “( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x”y”-y”x”,”} {\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

hvor primtal henvise til derivater med hensyn til t. Krumningen κ er derfor

κ = | x ‘ y “− y ” x “| ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\frac {/””y “”- y””””/} {\venstre ({\ “}^{2} + {y”}^{2}\højre)^{\frac {3}{2}}}}.}

disse kan udtrykkes på en koordinatfri måde som

k = Det ( γ ‘, γ”) 3 γ ‘3 3 , 3 = | Det ( γ ‘, γ”) | k γ ‘ 3 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

disse formler kan udledes af det særlige tilfælde af buelængde parametrizationation på følgende måde. Ovenstående betingelse om parametrisation ensbetydende med, at buelængde s er en differentiable monoton funktion af parameteren t, og omvendt, at t er en monoton funktion af s., Desuden kan man ved at ændre om nødvendigt s til s antage, at disse funktioner stiger og har et positivt derivat. Hjælp notation af de foregående afsnit og den kæde regel, man har

d γ-d t = d e s d t T {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

og således, ved at tage den norm på begge sider

d t d s = 1 ‖ γ ‘ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

hvor det primære angiver udledningen med hensyn til t.

Den krumning er normen af den afledte af T med hensyn til s., Ved at bruge ovenstående formel og kædereglen kan dette derivat og dets norm kun udtrykkes i form af γ ‘Og γ”, Med buelængdeparameteren s fuldstændigt elimineret, hvilket giver de ovennævnte formler for krumningen.

graf af en funktionedit

grafen af en funktion y = F (.), er et specielt tilfælde af en parametrizeded kurve, af formen

. = t y = f ( t). {\displaystyle {\begin{justeret}x&=t\\y&=f(t).,\end{justeret}}}

Som den første og anden afledte af x er 1 og 0, tidligere formler forenkle for at

κ = | y “| ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

for krumning, og at

k = y “( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

for den underskrevne krumning.

i det generelle tilfælde af en kurve er tegnet på den underskrevne krumning på en eller anden måde vilkårlig, som afhængig af en orientering af kurven., I tilfælde af grafen for en funktion er der en naturlig orientering ved at øge værdierne af.. dette gør signifikant tegnet af den underskrevne krumning.

tegnet på den underskrevne krumning er det samme som tegnet på det andet derivat af F. hvis det er positivt, har grafen en opadgående konkavitet, og hvis det er negativt, har grafen en nedadgående konkavitet. Det er nul, så har man et bøjningspunkt eller et bølningspunkt.

når grafens hældning (det er derivatet af funktionen) er lille, tilnærmes den underskrevne krumning godt af det andet derivat., Mere præcist, ved hjælp af big O notation, har man

k ( = ) = y “+ o ( y ‘ 2 ) . {\displaystyle k(Displ)=y””+o\venstre({y”}^{2} \ højre).}

det er almindeligt i fysik og teknik at tilnærme krumningen med det andet derivat, for eksempel i stråleteori eller for at udlede bølgeligning af en spændt streng og andre applikationer, hvor små skråninger er involveret. Dette tillader ofte overvejer som lineære systemer, der er ikke-lineære ellers.,

Polar coordinatesEdit

Hvis en kurve, der er defineret i polære koordinater af radius udtrykt som en funktion af den polære vinkel, er, at r er en funktion af θ, så dens krumning er

κ ( θ ) = | r-2 + 2 f ‘2 − r-r” | ( f 2 + f ‘ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r}^{2}-r\,r””\ret|}{\left(r^{2}+{r}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

hvor det primære refererer til differentiering med hensyn til θ.,

resultaterne fra den generelle formel for parametrizations, ved at betragte parametrering

x = r ( θ ) cos ⁡ θ, y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{justeret}x&=f(\theta )\cos \theta \\y&=f(\theta )\synd \theta \end{justeret}}}

Implicit curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{åå}\retten|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

den underskrevne krumning er ikke defineret, da den afhænger af en orientering af kurven, der ikke leveres af den implicitte ligning. Ændring af F til –f ændrer heller ikke kurven, men ændrer tællerens tegn, hvis den absolutte værdi udelades i den foregående formel.

Et punkt på kurven, hvor Fx = Fy = 0 er et enestående punkt, hvilket betyder, at kurven er ikke differentiable på dette punkt, og således at krumningen er ikke defineret (oftest pointen er enten et overgangssted eller en cusp).,

ovenstående formel for krumningen kan udledes af udtrykket af krumningen af grafen for en funktion ved hjælp af den implicitte funktionsteorem og det faktum, at man på en sådan kurve har

d y d = = − f .f y. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

Eksempleredit

det kan være nyttigt at verificere på enkle eksempler, at de forskellige formler, der er givet i de foregående afsnit, giver det samme resultat.

CircleEdit

En fælles parametrering af en cirkel med radius r er γ(t) = (r cos t, r synd t)., Formlen for krumningen giver

k ( t ) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 .t ( R 2 cos 2. t + r 2 sin 2. t ) 3 2 = 1 r. {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\synd ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\synd ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

Det følger som forventet, at krumningsradius er cirkelens radius, og at krumningscentret er midten af cirklen.cirklen er et sjældent tilfælde, hvor buelængde parametrizationation er let at beregne, da det er

γ ( S ) = ( r cos s S r , R sin ⁡ S r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},r\synd {\frac {s}{r}}\right).}

Det er en bue-længde parametrering, da normen for

γ ‘ ( s ) = ( − sin ⁡ s r cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}”(s)=\left(-\synd {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

er lig én. Denne parametrizationation giver den samme værdi for krumningen, da den svarer til division med r3 i både tælleren og nævneren i den foregående formel.

den samme cirkel kan også defineres ved den implicitte ligning f (,, y) = 0 med F (,, y) = .2 + y2 – r2., Derefter giver formlen for krumningen i dette tilfælde

κ = | F y 2 F = − – 2 F y F Y F + Y + F 2 2 F Y Y | ( F 2 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 .2 ( 4. 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 R 2 ) 3 2 = 1 r. {\displaystyle {\begin{justeret}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{åå}\retten|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8 y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{justeret}}}

ParabolaEdit

Overvej parablen y = ax2 + bx + c.

Det er grafen for en funktion, med afledte 2ax + b, og for det andet afledte 2a. Så, underskrevet krumning er

k ( x ) = 2 ( 1 + ( 2 x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(Displ)={\frac {2a} {\venstre(1+(2A Displ+B)^{2}\højre)^{\frac {3}{2}}}}.}

det har tegn på a for alle værdier af.., Dette betyder, at hvis en > 0, hule er opadrettet overalt, og hvis a < 0, hule er nedadrettede, for a = 0, krumningen er nul overalt, bekræfter, at parabel udarter i en linje i denne sag.

den (usignerede) krumning er Maksimal for = = –b / 2a, det vil sige ved det stationære punkt (nulderivat) af funktionen, som er parabolens toppunkt.

overvej parametrizationation γ(t) = (t, at2 + bt + c) = (., y). Det første derivat af 1 er 1, og det andet derivat er nul., Erstattes i formlen for generelle parametrizations giver nøjagtigt det samme resultat som ovenfor, med x erstattes af t. Hvis vi anvende primtal for derivater, der er med hensyn til parameteren t.

Den samme parabel kan også være defineret af den implicitte ligning F(x, y) = 0 med F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Som Fy = -1, og Fyy = Fxy = 0, opnår man præcis samme værdi for (unsigned) krumning. Imidlertid er den underskrevne krumning meningsløs her, as-F (,, y) = 0 er en gyldig implicit ligning for den samme parabola, hvilket giver det modsatte tegn for krumningen.,

Frenet–Serret formler for fly curvesEdit

udtrykket af krumning I forhold til arc-længde parametrering er i det væsentlige den første Frenet–Serret formel

T ‘ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} “(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

hvor primes henvise til, at derivater med hensyn til buelængde s, og N(s) er den normale enhed vektor i retning af T'(s).

da plane kurver har nul torsion, giver den anden Frenet–Serret − formel forholdet

d N d S = − T T, = – d d γ d s ., {\displaystyle {\begin{justeret}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{justeret}}}

For en generel parametrering af en parameter t, er man nødt udtryk, der involverer derivater med hensyn til t. Da disse fremkommer ved at gange med ds/dt derivater med hensyn til s, man har, for nogen egentlig parametrering

N ‘( t ) = − κ ( t), γ ‘ ( t ) . {\displaystyle \mathbf {N} “(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}”(t).}

---