Pythagorean Triple (Dansk)
Less…,
A Pythagorean triple is a triple of positive integers 
, 
, and 
such that a right triangle exists with legs 
and hypotenuse 
., Af Pythagoras ‘ sætning, dette svarer til at finde positive heltal 
og 
tilfredsstillende
 |
(1)
|
Den mindste og bedst kendte Pythagoræiske triple er 
. Den rigtige trekant, der har disse sidelængder, kaldes undertiden 3, 4, 5 trekanten.,
Plot af punkter i 
-plan, sådan som 
er et Pythagoræiske triple er vist ovenfor for successivt større grænser. Disse plots omfatter negative værdier af 
og 
, og er derfor symmetrisk om både x – og y-akser.
på samme måde, plot af punkter i 
-plan, sådan som 
er et Pythagoræiske triple er vist ovenfor for successivt større grænser.,
Det er normalt at overveje kun primitive Pythagoræiske tripler (også kaldet “reduceret”tripler), hvor 
og 
er relativt prime, da andre løsninger kan være genereret trivielt fra den primitive dem. De primitive tripler er illustreret ovenfor, og det kan umiddelbart ses, at de radiale linjer svarende til imprimitive tripler i det oprindelige plot er fraværende i denne figur., For primitive løsninger, en af 
eller 
skal være lige og den anden ulige (Shanks 1993, s. 141), med 
altid er ulige.,=”7a4ddb31b8″>
Hall (1970) and Roberts (1977) prove that 
is a primitive Pythagorean triple iff
 |
(8)
|
where 
is a finite product of the matrices 
, 
, 
.,662c5″>
Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as
 |
(10)
|
for 
, which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case 
, 
).,
The early Greeks gave
 |
(11)
|
where 
and 
are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting 
and 
).
Let 
be a Fibonacci number., Then
 |
(12)
|
generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers 
, 
, and constructing the Fibonacci-like sequence 
with terms 
, 
, 
, 
, 
, …, generates distinct Pythagorean triples
 |
(13)
|
(Horadam 1961), where
 |
(14)
|
where 
is a Lucas number.
For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, de to mindre tal) er altid delelig med 12, og produktet fra alle tre sider er deleligt med 60. Det vides ikke, om der er to forskellige tripler med samme produkt. Eksistensen af to sådanne tredobler svarer til en nul løsning til den Diofantiske ligning
 |
(15)
|
(Fyr, 1994, s. 188).,
For a Pythagorean triple (
, 
, 
),
 |
(16)
|
where 
is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc”>
(Robertson 1996).,
arealet af en trekant svarende til den Pythagoræiske triple 
er
 |
(20)
|
Fermat beviste, at antallet af denne form kan aldrig være en squarenumber.,td>
The number of such triangles is then
 |
(22)
|
 |
(23)
|
Then
 |
(24)
|
(Beiler 1966, p., 116). Bemærk, at 
iff 
er prime eller to gange en prime. De første par tal for 
, 2,… er 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,
for At finde antallet af måder 
, som en række 
kan være hypotenusen i en primitiv retvinklet trekant, skrive sin faktorisering som
 |
(25)
|
hvor 
s er af formen 
og 
s er af formen 
.,> as a hypotenuse is
 |
 |
 |
(29)
|
 |
 |
 |
(30)
|
(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, hvori det hedder, at denne formel kun giver antallet af ikke-primitive løsninger), hvor 
er summen af kvadrater funktion., hvor 
kan enten være et ben eller hypotenusen i en retvinklet trekant er givet ved
 |
(32)
|
Lad antallet af tripler med hypotenusen 
betegnes 
, antallet af tripler med hypotenusen 
betegnes 
og antallet af primitive tredobler mindre end 
betegnes 
., Then the following table summarizes the values for powers of 10.
 |
OEIS |  ,  , … |
 |
A101929 | 1, 50, 878, 12467, … |
 |
A101930 | 2, 52, 881, 12471, … |
 |
A101931 | 1, 16, 158, 1593, ..,. |
Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than 
satisfies
 |
(33)
|
(OEIS A086201).
There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d”>
Then the right triangle generated by each triple (
) has common area
 |
(40)
|
Right triangles whose areas consist of a single digit include 
(area of 6) and 
(area of 666666; Wells 1986, p., 89).
i 1643 udfordrede Fermat Mersenne til at finde en pythagoransk triplet, hvis hypotenuse og summen af benene var firkanter.,
A related problem is to determine if a specified integer 
can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3 og 4 er ikke områderne af nogen rationelle sidede højre trekanter, men 5 er (3/2, 20/3, 41/6), ligesom 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case
 |
 |
 |
(47)
|
 |
 |
 |
(48)
|
(Koblitz 1993)., Der er ingen kendt generel metode til bestemmelse af, om der findes en løsning for vilkårlig 
, men en teknik, der blev udtænkt af J. Tunnell i 1983, tillader visse værdier at udelukkes (Cipra 1996).