Sandsynlighedsfordeling
af Marco Taboga, Ph.d.
distribution af en kontinuert stokastisk variabel kan være kendetegnet ved sin sandsynlighedstæthedsfunktionen (pdf). Sandsynligheden for, at en kontinuert stokastisk variabel tager en værdi i et givet interval er lig med integralet af sin sandsynlighedsfordeling over det interval, som igen er lig med det område, den region i xy-planet, der afgrænses af x-aksen, pdf og lodrette linjer, der svarer til grænserne for intervallet.,
For eksempel på billedet nedenfor er den blå linje pdf for en normal tilfældig variabel, og arealet af det røde område er lig med sandsynligheden for, at den tilfældige variabel tager en værdi, der består mellem -2 og 2.
Definition
følgende er en formel definition.
Definition sandsynlighedstæthedsfunktionen for en kontinuert stokastisk variabel 
er en funktion 
sådan, at
for ethvert interval .,
sættet af værdier, for hvilketkaldes understøttelsen af.,at integrere den sandsynlighedsfordeling over, at interval:
Den probability density er ikke en sandsynlighed
Det er vigtigt at forstå en grundlæggende forskel mellem den sandsynlighedsfordeling, der præger fordelingen af en kontinuert stokastisk variabel, og sandsynligheden masse funktion, der præger fordelingen af en diskret stokastisk variabel (husk: en stokastisk variabel er diskret, hvis antallet af værdier, den kan tage, er tællelig, mens antallet af værdier, som en kontinuert stokastisk variabel kan tage, er utallige)., Sandsynligheden masse funktion af en diskret variabel er en funktion , der giver dig, for ethvert reelt tal , sandsynligheden for, at vil være lig med . Tværtimod, hvis er en kontinuerlig variabel, sin sandsynlighedsfordeling evalueret på et givet punkt er ikke sandsynligheden for, at vil være lig med ., Som en kendsgerning, er denne sandsynlighed er lig med nul for eventuelle fordi
, hvor er enhver primitive (eller ubestemt integral) af .
Hvis du er forvirret af sidstnævnte resultat, anbefales det at læse foredraget om nul-sandsynlighedshændelser.
Selv om det ikke er en sandsynlighed, værdien af den pdf, der på et givet punkt kan gives en simpel fortolkning:
, hvor er en lille tilvækst.,
det bevis, vi vil give, er ikke strengt. Vi fokuserer snarere på intuitionen. Af hensyn til enkelheden antager vi, at pdf er en kontinuerlig funktion. Strengt taget er dette ikke nødvendigt, selvom de fleste af de PDF-filer, der findes i praksis, er kontinuerlige (per definition skal en pdf være integrerbar; selvom alle kontinuerlige funktioner er integrerbare, er ikke alle integrerbare funktioner kontinuerlige)., Hvis pdf ‘ er kontinuert og er lille, så er godt tilnærmes med for alle , der tilhører intervallet 
. Det følger heraf, at 
I ovenstående omtrentlige lighed, mener vi, at sandsynligheden for, at vil være lig med eller en værdi, der tilhører en lille interval i nærheden af . Vi overvejer især intervallet ., Sandsynligheden er proportional med længden af det lille interval, vi overvejer. Den konstante proportionalitet er den sandsynlighedsfordeling af evalueret på . Således højere pdf – er på et givet punkt , jo højere er sandsynligheden for, at vil antage en værdi i nærheden af .,
Relaterede begreber
Beslægtede begreber, er dem af:
-
joint probability density function, der præger fordelingen af en kontinuerlig vilkårlig vektor;
-
marginale sandsynlighedsfordeling, der præger fordelingen af en delmængde af poster i en tilfældig vektor;
-
betingede sandsynlighedsfordeling, som er en pdf opnået ved med aircondition på realisering af en anden tilfældig variabel.,
flere detaljer
Sandsynlighedsdensitetsfunktioner diskuteres mere detaljeret i foredraget med titlen tilfældige variabler.
fortsæt med at læse ordlisten
forrige indtastning: forudgående Sandsynlighed
næste indtastning: Sandsynlighedsmassefunktion
sådan citeres
Angiv venligst som: