Snell lov

Snell”s lov kan udledes på forskellige måder.

afledning fra Fermat”s principleEdit

Snell”s lov kan afledes fra Fermat”s princip, hvori det hedder, at lyset rejser den vej, der tager mindst tid., Ved at tage derivatet af den optiske banelængde findes det stationære punkt, der giver stien taget af lyset. (Der er situationer med lys overtræder Fermat ” s princip ved ikke at tage mindst tid sti, som i refleksion i en (sfærisk) spejl.) I en klassisk analogi, er arealet af lavere brydningsindeks erstattet af en strand, området med højere brydningsindeks ved havet, og den hurtigste måde for en redningsmand på stranden for at komme til en druknende person i havet er at løbe langs en sti, der følger Snell”s lov.,

som vist i figuren til højre, antager brydningsindekset for medium 1 og medium 2 er henholdsvis N 1 {\displaystyle n_{1}} og N 2 {\displaystyle n_{2}}. Lyset kommer ind i medium 2 fra medium 1 via punkt O.

Den fase er hastigheden af lys i medium 1 og mellemstore 2

v 1 = c / n-1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} og v 2 = c / n-2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}} hhv.,

c {\displaystyle C} er lysets hastighed i vakuum.

Lad T være den tid, der kræves for lyset at rejse fra punkt Q gennem punktet O til at pege S.

T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + l 2 2 l x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

hvor a, b, l og x er som angivet i den højre figur, hvor x er den varierende parameter.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 synd ⁡ θ 1 k = n 2 sin ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\synd \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\synd \theta _{2}}{c}}} n 1 synd ⁡ θ 1 = n-2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\synd \theta _{1}=n_{2}\synd \theta _{2}}

Afledning fra Huygens”s principleEdit

Alternativt, Snell”s lov kan udledes ved hjælp af interferens af alle mulige stier af lys bølge fra kilde til observatør—det resulterer i destruktiv interferens overalt undtagen ekstrema af fase (hvor der er konstruktive)—der nu er blevet til egentlige veje.,

Afledning fra Maxwell”s EquationsEdit

en Anden måde at udlede Snell”s Lov indebærer en anvendelse af den generelle randbetingelser af Maxwells ligninger for elektromagnetiske stråling.,θ 1 = n 2 k, 0 synd ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\synd \theta _{1}=n_{2}k_{0}\synd \theta _{2}\,} n 1 synd ⁡ θ 1 = n-2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\synd \theta _{1}=n_{2}\synd \theta _{2}\,}

Vektor formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {afspejler} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Dette afspejles i retning vektor peger tilbage mod den side af overfladen, hvor lyset kom fra.,{2}={\sqrt {1-(\synd \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n-1 n-2 ) l → + ( n-1 n-2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {bryder} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a k = r l → + ( r-c − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {bryder} }=f{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}

Eksempel:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , f = n-1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {afspejler} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {bryder} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

cosinusværdierne kan gemmes og bruges i Fresnel-ligningerne til at udarbejde intensiteten af de resulterende stråler.