Assoziative Eigenschaft

Eine binäre Operation ∗ {\displaystyle *} auf einer Menge S, die das assoziative Gesetz nicht erfüllt, wird als nicht assoziativ bezeichnet. Symbolisch,

( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) für einige x , y , z ∈ S . {\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{für einige }}x,y,z\in S.}

Für eine solche operation die Reihenfolge der Auswertung keine Rolle spielt., 1) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}

Beachten Sie auch, dass unendliche Summen im Allgemeinen nicht assoziativ sind, zum Beispiel:

( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\punkte \,=\, 0}

während

1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\punkte \,=\, 1}

Das Studium nicht-assoziativer Strukturen ergibt sich aus Gründen, die sich etwas vom Mainstream der klassischen Algebra unterscheiden., Ein Bereich innerhalb der nicht-assoziativen Algebra, der sehr groß geworden ist, ist der der Lügenalgebren. Dort wird das assoziative Gesetz durch die Jacobi-Identität ersetzt. Lügenalgebren abstrahieren die wesentliche Natur der infinitesimalen Transformationen und sind in der Mathematik allgegenwärtig geworden.

Es gibt andere spezifische Arten von nicht-assoziativen Strukturen, die eingehend untersucht wurden; Diese stammen in der Regel aus bestimmten Anwendungen oder Bereichen wie der kombinatorischen Mathematik. Andere Beispiele sind Quasigruppe, Quasifeld, nicht-assoziativer Ring, nicht-assoziative Algebra und kommutative nicht-assoziative Magmen.,

Nichtassoziativität der Gleitkommaberechnungedit

In der Mathematik ist die Addition und Multiplikation reeller Zahlen assoziativ. Im Gegensatz dazu ist in der Informatik die Addition und Multiplikation von Gleitkommazahlen nicht assoziativ, da Rundungsfehler eingeführt werden, wenn Werte unterschiedlicher Größe miteinander verbunden werden.

Obwohl die meisten Computer mit einer 24-oder 53-Bit-Mantisse berechnen, ist dies eine wichtige Quelle für Rundungsfehler, und Ansätze wie der Kahan-Summierungsalgorithmus sind Möglichkeiten, die Fehler zu minimieren., Es kann besonders problematisch in Parallel Computing sein.

Notation für nicht-assoziative Operationenedit

Im Allgemeinen müssen Klammern verwendet werden, um die Reihenfolge der Auswertung anzugeben, wenn eine nicht-assoziative Operation mehr als einmal in einem Ausdruck angezeigt wird (es sei denn, die Notation gibt die Reihenfolge auf andere Weise an, z. B. 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Mathematiker einigen sich jedoch auf eine bestimmte Reihenfolge der Auswertung für mehrere gängige nicht-assoziative Operationen. Dies ist einfach eine Notationskonvention, um Klammern zu vermeiden.,

Links-assoziative operation ist eine nicht-assoziative operation, die konventionell von Links nach rechts ausgewertet, D. H.,

x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( B ∗ x ) ∗ y ) ∗ z etc. } für alle w , x , y , z ∈ S {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{für alle }}w,x,y,z\in S}

während ein rechts-assoziative operation ist konventionell bewertet von rechts nach Links:

x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) etc., } für alle w , x , y , z ∈ S {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{für alle }}w,x,y,z\in S}

Sowohl für Links-assoziativ und rechts-assoziative Operationen auftreten., Links-assoziative Operationen umfassen die folgenden:

• Subtraktion und division von reellen zahlen:

x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}

• Funktion Anwendung:

( f x y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y)} Diese notation motiviert werden können, indem das currying Isomorphismus.,

Rechtsassoziative Operationen umfassen Folgendes:

• Exponentiation reeller Zahlen in hochgestellter Notation:

x y z = x (y z) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} Exponentiation wird üblicherweise mit Klammern oder rechtsassoziativ verwendet, da eine wiederholte links-assoziative Exponentiationsoperation wenig nützlich ist. Wiederholte Potenzen würden meistens mit Multiplikation umgeschrieben: (xy ) z = x (yz ) {\displaystyle(x^{y})^{z}=x^{(yz)}} Korrekt formatiert verhält sich das Hochgestellte inhärent als Satz von Klammern; zB, im Ausdruck 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3}} wird die Addition vor der Exponentiation durchgeführt, obwohl keine expliziten Klammern 2(x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} um sie herum gewickelt sind. Bei einem Ausdruck wie x y z {\displaystyle x^{y^{z}}} wird daher zuerst der vollständige Exponent y z {\displaystyle y^{z}} der Basis x {\displaystyle x} ausgewertet., In einigen Kontexten, insbesondere in der Handschrift , kann der Unterschied zwischen x y z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}}, x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} und x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z}} schwer zu sehen sein. In einem solchen Fall wird normalerweise die Rechtsassoziativität impliziert.,

• Function definition

Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )}, x ↦ y ↦ x − y = x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} Mit den rechts-assoziative Schreibweise für diese Vorgänge ist motiviert durch den Curry–Howard-Korrespondenz und durch die currying Isomorphismus.

Nicht-assoziative Operationen, für die keine konventionelle Auswertungsreihenfolge definiert ist, umfassen Folgendes.,splaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}

• Das Kreuzprodukt von drei Vektoren nehmen:

a → × ( b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → für einige a → , b → , c → R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ for some }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}

• Nehmen Sie den paarweisen Durchschnitt von reellen Zahlen:

( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 für alle x , y , z ∈ R mit x ≠ z., {\displaystyle {(x+y)/2+z \über 2}\neq {x+(y+z)/2 \über 2}\qquad {\mbox{für alle }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ mit }}x\neq z.}

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