Der Satz des Pythagoras
Pythagoras
Lernziel(s)
· Verwenden Sie den Satz des Pythagoras zu finden, die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.
· Lösen Sie Anwendungsprobleme mit dem Satz von Pythagoras.,
Einführung
Vor langer Zeit entdeckte ein griechischer Mathematiker namens Pythagoras eine interessante Eigenschaft über rechtwinklige Dreiecke: Die Summe der Quadrate der Längen der Beine jedes Dreiecks entspricht dem Quadrat der Länge der Hypotenuse des Dreiecks. Diese Eigenschaft—die viele Anwendungen in Wissenschaft, Kunst, Ingenieurwesen und Architektur hat-wird heute als Satz von Pythagoras bezeichnet.
Schauen wir uns an, wie dieser Satz Ihnen helfen kann, mehr über die Konstruktion von Dreiecken zu erfahren., Und das Beste daran—Sie müssen nicht einmal Griechisch sprechen, um Pythagoras ‚ Entdeckung anzuwenden.
Der Satz von Pythagoras
Pythagoras studierte rechtwinklige Dreiecke und die Beziehungen zwischen den Beinen und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, bevor er seine Theorie ableitete.,
Der Satz des Pythagoras
Wenn a und b die Länge der Beine eines rechtwinkligen Dreiecks sind und c die Länge der Hypotenuse ist, dann ist die Summe der Quadrate der Beinlängen gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse.
Diese Beziehung wird durch die Formel dargestellt: 
Im obigen Feld haben Sie möglicherweise das Wort“ Quadrat“sowie die kleinen 2s oben rechts in den Buchstaben in bemerkt., Eine Zahl zu quadrieren bedeutet, sie selbst zu multiplizieren. Um beispielsweise die Zahl 5 zu quadrieren, multiplizieren Sie 5 • 5 und um die Zahl 12 zu quadrieren, multiplizieren Sie 12 • 12. Einige gemeinsame Quadrate sind in der folgenden Tabelle dargestellt.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Wenn Sie sehen die gleichung , sie können dies als „die länge der seite a mal selbst, plus die länge der seite b mal selbst ist die gleiche wie die länge der seite c mal selbst.,“
Probieren wir den gesamten Satz des Pythagoras mit einem tatsächlichen rechtwinkligen Dreieck aus.
Dieser Satz gilt für dieses rechtwinklige Dreieck—die Summe der Quadrate der Längen beider Beine entspricht dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. Und tatsächlich gilt es für alle rechten Dreiecke.
Der Satz des Pythagoras kann auch flächenmäßig dargestellt werden. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats, die von der Hypotenuse gezogen wird, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die von den beiden Beinen gezogen werden., Sie können dies unten im selben 3-4-5-rechtwinkligen Dreieck sehen.
Beachten Sie, dass der Satz von Pythagoras funktioniert nur mit rechten Dreiecken.
Ermitteln der Länge der Hypotenuse
Sie können den Satz von Pythagoras verwenden, um die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu ermitteln, wenn Sie die Länge der beiden anderen Seiten des Dreiecks kennen, die Beine genannt werden. Anders ausgedrückt, wenn Sie die Längen von a und b kennen,können Sie c finden.,
Im obigen Dreieck erhalten Sie Maße für die Beine a und b: 5 bzw. Sie können den Satz von Pythagoras verwenden, um einen Wert für die Länge von c, die Hypotenuse, zu finden.
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Der Satz des Pythagoras. |
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Ersetzen Sie den bekannten Werten für a und b., |
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zu Bewerten. |
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Vereinfachen. Um den Wert von c zu finden, denken Sie an eine Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, 169 entspricht. Funktioniert 10? Wie wäre es mit 11? 12? 13? (Sie können einen Taschenrechner verwenden, um zu multiplizieren, wenn die Zahlen nicht vertraut sind.) |
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– 13 = c |
Die Quadratwurzel von 169 13., |
Mit der Formel stellen Sie fest, dass die Länge von c, der Hypotenuse, 13 beträgt.
In diesem Fall kannten Sie den Wert von c nicht—Sie erhielten das Quadrat der Länge der Hypotenuse und mussten es von dort herausfinden. Wenn Sie eine Gleichung wie 
und aufgefordert werden, den Wert von c zu finden, wird dies als Finden der Quadratwurzel einer Zahl bezeichnet. (Beachten Sie, dass Sie eine Zahl gefunden haben, c, deren Quadrat 169 war.,)
Das Finden einer Quadratwurzel erfordert etwas Übung, erfordert aber auch Kenntnisse in Multiplikation, Division und ein wenig Versuch und Irrtum. Schauen Sie sich die Tabelle unten an.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Wenn Sie sich an diese Quadratzahlen erinnern können—oder wenn Sie sie mit einem Taschenrechner finden können -, ist es nur eine Frage des Rückrufs, viele gemeinsame Quadratwurzeln zu finden.
Für welches dieser Dreiecke ist 
?,
A)
B)
C)
D)
Finden Sie die Länge eines Beines
Sie können dieselbe Formel verwenden, um die Länge eines rechtwinkligen Dreiecks das Bein, wenn Sie den vorgegebenen Maßen für die Längen der hypotenuse und des anderen Beins. Betrachten Sie das folgende Beispiel.,
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Example |
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Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
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a = ?, b = 6 c = 7 |
In diesem rechtwinkligen Dreieck, erhalten Sie die Messungen für die hypotenuse c und ein Bein, b. Die hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel und es ist immer die längste Seite des Dreiecks. |
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, Um die Länge der Beine ein, ersetzen Sie die bekannten Werte in den Satz des Pythagoras., |
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Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
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Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, die Sie auf 3.6 runden können. (Da Sie nähern, verwenden Sie das Symbol |
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Antwort |
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.)
Welche der folgenden korrekt verwendet den Satz des Pythagoras zu finden, die fehlende Seite, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
D) 
Verwenden des Satzes zur Lösung realer Probleme
Der Satz von Pythagoras ist vielleicht eine der nützlichsten Formeln, die Sie in der Mathematik lernen werden, da es in realen Einstellungen so viele Anwendungen davon gibt., Architekten und Ingenieure verwenden diese Formel ausgiebig beim Bau von Rampen, Brücken und Gebäuden. Schauen Sie sich die folgenden Beispiele an.
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Beispiel |
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Problem |
> Die Eigentümer eines Hauses möchten eine Treppe, die vom Boden zu ihrer hinteren Veranda führt, in eine Rampe umwandeln. Die Veranda ist 3 Fuß vom Boden entfernt, und aufgrund der Bauvorschriften muss die Rampe 12 Fuß von der Basis der Veranda entfernt beginnen. Wie lange wird die Rampe sein?, Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Quadratwurzel zu finden, und runden Sie die Antwort auf das nächste Zehntel ab. |
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Um ein Problem wie dieses zu lösen, ist es oft sinnvoll, ein einfaches Diagramm zu zeichnen, das zeigt, wo die Beine und die Hypotenuse des Dreiecks liegen., |
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a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Sie wissen, dass das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, da der Boden und der erhöhte Teil der Veranda senkrecht stehen—dies bedeutet, dass Sie den Satz von Pythagoras verwenden können, um dieses Problem zu lösen. Ermitteln Sie a, b und c. |
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Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge der c., |
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12.4 = c |
Verwenden Sie einen Rechner, um finde c. Die Quadratwurzel von 153 ist 12.369…, also kannst du das auf 12.4 runden. |
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Antwort |
Die Rampe wird mit 12,4 Meter lang., |
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Example |
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Problem |
Ein Segelboot hat ein großes Segel in Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die längste Kante des Segels misst 17 Meter und die Unterkante des Segels beträgt 8 Meter. Wie groß ist das Segel?, |
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Zeichnen Sie ein Bild, um das Problem zu visualisieren. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse immer die längste Seite, also muss es hier 17 Meter sein. Das Problem sagt Ihnen auch, dass die Unterkante des Dreiecks 8 Yards beträgt., |
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Setup the Pythagorean Theorem. |
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a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
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Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
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Zusammenfassung
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Längen der Beine des Dreiecks dem Quadrat der Länge der Hypotenuse des Dreiecks entspricht. Dieser Satz wird durch die Formel dargestellt. Einfach ausgedrückt, wenn Sie die Längen zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge der dritten Seite zu ermitteln. Denken Sie daran, dieser Satz funktioniert nur für rechtwinklige Dreiecke.