Die Epsilonrechnung

Übersicht

Um die Jahrhundertwende wurden David Hilbert und Henri Poincaré als die beiden wichtigsten Mathematiker ihrer Generation anerkannt. Hilberts Spektrum mathematischer Interessen war breit gefächert und beinhaltete ein Interesse an den Grundlagen der Mathematik: Seine Grundlagen der Geometrie wurden 1899 veröffentlicht, und von der Liste der Fragen, die dem Internationalen Kongress der Mathematiker im Jahr 1900 gestellt wurden, befassten sich drei mit deutlich grundlegenden Fragen.,

Nach der Veröffentlichung von Russells Paradox hielt Hilbert eine Ansprache auf dem Dritten Internationalen Kongress der Mathematiker im Jahr 1904, wo er zum ersten Mal seinen Plan skizzierte, über syntaktische Konsistenznachweise eine rigorose Grundlage für Mathematik zu schaffen. Aber er kehrte nicht ernsthaft zu dem Thema zurückuntil 1917, als er mit Hilfe von Paul Bernays eine Reihe von Vorträgen über die Grundlagen VONMATHEMATIK., Obwohl Hilbert von der Arbeit von Russell und Whitehead in ihren Principiamathematicaeingedrückt wurde, wurde er überzeugt, dass der logistische Versuch, Mathematik mit Logik zu verbinden, nicht gelingen konnte, insbesondere aufgrund des nicht logischen Charakters ihres Axioms der Reduzierbarkeit. Gleichzeitig beurteilte er die intuitionistische Ablehnung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte für die Mathematik als inakzeptabel. Um die Bedenken auszuräumen, die durch die Entdeckung der logischen undsatztheoretischen Paradoxe aufgeworfen wurden, war daher ein neuer Ansatz erforderlich, um modernemathematische Methoden zu rechtfertigen.,

Bis zum Sommer 1920 hatte Hilbert einen solchen Ansatz formuliert. Zunächst sollten moderne mathematische Methoden in formalen Deduktionssystemen dargestellt werden. Zweitens sollten diese formalen Systeme syntaktisch konsistent bewiesen werden, nicht indem sie ein Modell zeigten oder ihre Konsistenz auf ein anderes System reduzierten, sondern durch ein direktes metamathematisches Argument mit einem unerklärlichen, „endlichen“ Charakter. Bekannt wurde der Ansatz durch Hilberts Programm. Das Epsilon-Kalkül sollte die erste Komponente dieses Programms liefern, während seine Epsilon-Substitutionsmethode diese Sekunde liefern sollte.,

Der Epsilon-Kalkül ist in seiner grundlegendsten Form eine Erweiterung der Prädikatenlogik erster Ordnung mit einer „Epsilon-Operation“, die für jede echte existenzielle Formel einen Zeugen desexistenziellen Quantifizierers auswählt. Die Erweiterung ist konservativ in dem Sinne, dass sie keine neuen Folgen erster Ordnung hinzufügt. Aber umgekehrt können Quantifizierer in Bezug auf die Epsilons definiert werden, Sofirst-Order-Logik kann in Bezug auf Quantifier-Freereasoning mit der Epsilon-Operation verstanden werden. Es ist diese letztere Eigenschaftdas macht das Kalkül bequem zum Zweck des Beweiseskonsistenz., Geeignete Erweiterungen der Epsilonrechnung machen es möglich, stärkere Quantifizierungstheorien von Zahlen und Zahlen in quantifizierungsfreie Berechnungen einzubetten. Hilbert rechnete damit, dass es möglich sei, die Konsistenz solcher Erweiterungen zu demonstrieren.

The Epsilon Calculus

In seinem Hamburger Vortrag 1921 (1922), Hilbert erstmals vorgestellt theidea der Verwendung solcher Vorgang zu deal mit die Prinzip von theexcluded mitten in einem formalen system für die Arithmetik., Diese Ideen wurden in die Epsilon-Kalkül und die Epsilon-Substitutionsmethode in einer Reihe von Vorlesungen zwischen 1921 und 1923 und Inhilberts (1923) entwickelt. Die endgültige Präsentation des Epsilon-Kalkülskann in Wilhelm Ackermanns Dissertation (1924) gefunden werden.

In diesem Abschnitt wird eine Version des Kalküls beschrieben, die der Logik erster Ordnung entspricht, während Erweiterungen der Arithmetik erster und zweiter Ordnung im Folgenden beschrieben werden.

Sei \(L\) sein Erster Ordnung von Sprache, das heißt, eine Liste ofconstant -, Funktions-und relationssymbole mit angegeben arities., Diese Epsilon-Terme und die Menge der Formeln von \(L\) werden gleichzeitig wie folgt definiert:

Substitution und die Begriffe der freien und gebundenen Variablen werden auf die übliche Weise definiert; insbesondere wird die Variable \(x\) in den Term \(\varepsilon x A\) gebunden. Die beabsichtigte Interpretation ist, dass\(\varepsilon x A\) einige \(x\) oder \(A\) bezeichnet, wenn es eine gibt., Somit werden die Epsilon-Terme durch Folgendes regiertaxiom (Hilberts „Transfinit-Axiom“): \ Darüber hinaus enthält die Epsilon-Kalkül einen vollständigen Satz von Axiomen, die die klassischen regierenpropositionale Verbindungen und Axiome, die das Gleichheitssymbol regieren.Die einzigen Regeln des Kalküls sind die folgenden:

• Modus ponens
• Substitution: aus \(A(x)\) schließen \(A(t)\), für jeden term\(t.,\)

Frühere Formen der Epsilonrechnung (wie sie in Ebert 1923 dargestellt wurden) verwenden eine doppelte Form des Epsilonoperators, in der\(\varepsilon x A\) einen Wert zurückgibt, der \(A (x)\) fälscht. Das obige Beispiel wurde in Ackermanns Dissertation (1924) verwendet undhat Standard geworden.

Beachten Sie, dass der gerade beschriebene Kalkül quantifizierungsfrei ist. Quantifikatorenkann wie folgt definiert werden: \ Die üblichen Quantifikatoraxiome und Regeln können daraus abgeleitet werden, so dass die Definitionenoben dazu dienen, Logik erster Ordnung in die Epsilonrechnung einzubetten., Das Gegenteil ist jedoch nicht wahr: Nicht jede Formel im Epsiloncalculus ist das Bild einer gewöhnlichen quantifizierten Formel unter diesem Begriff. Daher ist die Epsilonrechnung expressiver als die Prädikatrechnung, einfach weil Epsilonbegriffe auf komplexere Weise als Quantifizierer kombiniert werden können.

Der Epsilon Theoreme

Die zweite volume of Hilbert and Bernays‘ Grundlagen derMathematik (1939) gibt einen überblick der Ergebnisse auf theepsilon-Kalkül, hatte gezeigt, dass Zeit., Dazu gehören die Erörterung des ersten und zweiten Epsilon-Satzes mit Anwendungenzu Logik erster Ordnung, die Epsilon-Substitutionsmethode für Arithmetikmit offener Induktion und eine Entwicklung der Analyse (dh Arithmetik zweiter Ordnung) mit dem Epsilon-Kalkül.

Der erste und der zweite Epsilonsatz lauten wie folgt:

Im ersten Epsilonsatz soll „quantifier-free predicatelogic“ die obige Substitutionsregel enthalten, soquantifier-freie Axiome verhalten sich wie ihre universellen Verschlüsse., Da der Epsilon-Kalkül Logik erster Ordnung umfasst, Der erste Epsilon-Theoremimpliziert, dass jeder Umweg durch Prädikatenlogik erster Ordnung, der verwendet wird, um einen quantifikatorfreien Satz aus quantifikatorfreien Axiomen zu erhalten, zeitweise vermieden werden kann. Der zweite Epsilon-Satz zeigt, dass jedochdurchlaufen des Epsilon-Kalküls, der verwendet wird, um einen Satz in derSprache des Prädikat-Kalküls aus Axiomen in der Sprache des Prädikat-Kalküls abzuleiten, kann ebenfalls vermieden werden.,

Im Allgemeinen legt der erste Epsilon-Satz fest, dass Quantifizierer und Epsilone immer aus einer Proof of aquantifier-Free-Formel aus anderen Quantifier-Free-Formeln eliminiert werden können. Dies ist von besonderer Bedeutung für Hilberts Programm, da die Epsilone die Rolle idealer Elemente in der Mathematik spielen. Wenn quantifikationsfreie Formeln dem „realen“ Teil der mathematischen Theorie entsprechen, zeigt der erste Epsilon-Satz, dass ideale Elemente aus Beweisen realer Aussagen eliminiert werden können, vorausgesetzt, die Axiome sind auch reale Aussagen.,

Diese Idee wird in einem bestimmten allgemeinen Konsistenzsatz präzisiert, den Hilbert und Bernays aus dem ersten Epsilon-Theorem ableiten, das Folgendes sagt: Sei \(F\) ein formales System, das sich aus der Prädikatsrechnung durch Addition von Konstanten, Funktions – und Prädikatssymbolen plus wahren Axiomen ergibt, die Quantifizierer-und epsilonfrei sind, und angenommen, die Wahrheit atomarer Formeln in der neuen Sprache ist entscheidbar. Dann ist \(F\) konsistent im starken Sinndass jede ableitbare Quantifizierer – und epsilonfreie Formel wahr ist.,Hilbert und Bernays verwenden diesen Satz, um eine endliche Konsistenzproof der elementaren Geometrie zu geben (1939, Sec 1.4).

Die Schwierigkeit, Konsistenznachweise für Arithmetik und Analyse zu liefern, besteht darin, dieses Ergebnis auf Fälle auszudehnen, in denen die Axiome auch ideale Elemente enthalten, d. H. Epsilon-Terme.

Weitere Lektüre. Die ursprünglichen Quellen zur Epsilon-Berechnung und die Epsilon-Theoreme (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)bleiben nur in deutscher Sprache verfügbar. Leisenring 1969 ist ein relativmoderne buchlange Einführung in die Epsilonrechnung in englischer Sprache.,Der erste und der zweite Epsilon-Satz werden in Zach2017 ausführlich beschrieben. Moser & Zach 2006 geben Sie eine detaillierte Analyse für den Fall ohne Gleichheit. Die ursprünglichen Beweise sind für Axiomatikpräsentationen des Epsilon-Kalküls. Maehara 1955 war der erste, der sequentielle Kalkül mit Epsilon-Begriffen überdenkte. Er zeigte, wie man den zweiten Epsilon-Satz unter Verwendung der Cut-Elimination beweist, und stärkte dann den Satz, um das Schema der Extensionalität einzuschließen(Maehara 1957). Baaz et al. 2018 geben Sie eine verbesserte Version des erstenepsilon-Theorems., Korrekturen an Fehlern in der Literatur (einschließlichleisenrings Buch) finden Sie in Flannagan 1975; Ferrari 1987;und Yasuhara 1982. Eine variation des epsilon calculus basierte auf Skolemfunctions, und daher kompatibel mit first-order logic, isdiscussed in Davis & Fechter 1991.

Herbrands Theorem

Die soeben beschriebene Version von Herbrands Theorem folgt unmittelbar aus dem erweiterten Ersten Epsilon-Theorem von Hilbert und Bernays., Mit Methoden, die mit dem Beweis dieses zweiten Epsilon-Theorems verbunden sind, Hilbert und Bernays leiteten jedoch Astronger-Ergebnisse ab,die wie Herbrands ursprüngliche Formulierung mehr Informationen liefern. Um die beiden Teile des Satzes zu verstehenbelow, hilft es, ein bestimmtes Beispiel zu betrachten. Sei \(A\) die Formel

\ wobei \(B\) quantifizierungsfrei ist. Die Negation von \(A\) entspricht \ Durch Skolemizing, d.h.,, usingfunction Symbole, um die existenziellen Quantifizierer zu bezeugen, erhalten wir\ Wenn wir die Negation davon nehmen, sehen wir, dass die Originalformula“ äquivalent “ zu \

ist, wenn wir auf eine Instanz der Matrix von \(A^H\) verweisen, wirbedeutet eine Formel, die durch Ersetzen von Begriffen in der Erweitertensprache in der Matrix von \(A^H\) erhalten wird. Wir können jetzt Hilbert andBernays ‚ Formulierung von

Herbrands Theorem kann auch unter Verwendung von Cutelimination über Gentzens „midsequent theorem“ erhalten werden.,“Der Beweis, der den zweiten Epsilon-Satz verwendet, hat jedoch diedistinktion, der erste vollständige und korrekte Beweis Vonherbrands Theorem zu sein. Darüber hinaus,und dies wird selten anerkannt, während der auf der Cut-Elimination beruhende Beweis eine Bindung an die Länge der Herbrand-Disjunktion nur als Funktion des Cut-Rankings und der Komplexität der Cut-Formeln im Beweis liefert, liefert die Länge, die aus dem Beweis auf der Grundlage des Epsilon-Kalküls erhalten wird, eine Bindung als Folge der Anzahl der Anwendungen des transfiniten Axioms und des Ranges und Grades der darin vorkommenden Epsilon-Terme., Mit anderen Worten, die Länge der Herbrand-Disjunktion hängt nur von der quantitativen Komplexität der beteiligten Substitutionen ab und z. B. überhaupt nicht von der Satzstruktur oder der Länge der Substitution.

Die am Anfang dieses Abschnitts angegebene Version des Herbrand-Satzes ist im Wesentlichen der Sonderfall von (2), in dem die Formel \(A\) existenziell ist. In Anbetracht dieses Sonderfalls ist (1) gleichbedeutend mit der Behauptung, dass eine Formel \(A\) genau dann ableitbar ist, wenn \(A^H\) eine Prädikatslogik erster Ordnung ist., Die forwarddirection dieser Äquivalenz ist viel einfacher zu beweisen; Tatsächlich ist forany formula \(A, A \rightarrow A^H\) in der Prädikatenlogik ableitbar.Der Nachweis der umgekehrten Richtung beinhaltet die Beseitigung der Zusätzlichenfunktionssymbole in \(A^H\) und ist viel schwieriger, besonders indie Anwesenheit von Gleichheit. Hier spielen Epsilon-Methoden eine zentrale Rolle.

Eine auffallende Anwendung von Herbrand“s theorem und Verwandte Methoden isfound in Luckhardt“s (1989) Analyse von Roth“s theorem. Für eine Beschreibung nützlicher Erweiterungen der Herbrand-Methoden siehe Sieg 1991.,Eine Modell-theoretische version wird diskutiert in Avigad 2002a.

Der Epsilon-Substitution-Methode und rechnen

Wie oben erwähnt, historisch, das primäre Interesse in der epsiloncalculus wurde als ein Mittel zur Erlangung von Konsistenz beweisen.Hilberts Vorlesungen von 1917-1918 weisen bereits darauf hin, dass einekann leicht die Konsistenz der Propositionslogik beweisen, indem Manvorschlagsvariablen und Formeln auf die Wahrheitswerte 0 und 1 anwendet und die logischen Verknüpfungen als entsprechende arithmetische Operationen interpretiert., In ähnlicher Weise kann man die Konsistenz von beweisen Prädikatlogik (oder die reine Epsilonrechnung), indem man sich spezialisiertinterpretationen, bei denen das Universum des Diskurses ein einzelnes Element hat.Diese Überlegungen schlagen das folgende allgemeinere Programm vor, um die Konsistenz zu verbessern:

• Erweitern Sie die Epsilon-Berechnung so, dass sie größere Teile der Mathematik darstellen.
• Zeigen Sie mithilfe von finitären Methoden, dass jeder Beweis im erweiterten System eine konsistente Interpretation hat.,

Angenommen, wir möchten zeigen, dass das obige System konsistent ist; Mit anderen Worten, wir möchten zeigen, dass es keinen Beweis für die Formel \(0 =1\) gibt. Indem alle Substitutionen in die Axiome verschoben und freevariables durch die Konstante 0 ersetzt werden, genügt es zu zeigen, dass es keinen kompositionellen Beweis für \(0 = 1\) aus einer endlichen Menge geschlossener Instanzender Axiome gibt. Dazu genügt es zu zeigen, dass man bei jedem endlichen Satz geschlossener Instanzen von Axiomen numerische Werte zuweisen kannterms so, dass alle Axiome unter Derinterpretation wahr sind., Da die arithmetischen Operationen \ ( + \ ) und \(\times\) auf die übliche Weise interpretiert werden können, liegt die einzige Schwierigkeit darin, den Epsilon-Termen geeignete Werte zuzuweisen.

Hilberts Epsilon-Substitutionsmethode kann grob wie folgt beschrieben werden:

Ein endlicher Konsistenznachweis wird erhalten, sobald in einer vorläufig akzeptablen Weise gezeigt wird, dass dieser Prozess aufeinanderfolgender“Reparaturen“ endet. Wenn ja, sind alle kritischen Formeln wahre Formeln ohne Epsilon-Begriffe.,

Diese Grundidee (der „Hilbertsche Ansatz“) wurde zuerst von Hilbert in seinem Vortrag von 1922 (1923) dargelegt und 1922-23 in Vorträgen erarbeitet. Die dort angegebenen Beispiele befassen sich jedoch nur mitproofs, bei denen alle Instanzen des Transfinit-Axioms dem Asingle-Epsilon-Term \(\varepsilon x A(x)\) entsprechen. Die Herausforderung bestand darin, den Ansatz auf mehr als einen Epsilon-Term, auf verschachtelte Epsilonterme und letztendlich auf Epsilone zweiter Ordnung auszudehnen (um einen Konsistenznachweis nicht nur für die Arithmetik, sondern auch für die Analyse zu erhalten).,

Dies ist nur eine Skizze der Schwierigkeiten, die damit verbunden sind, Hilberts Idee auf den allgemeinen Fall auszudehnen. Ackermann (1924) lieferte eine solche Verallgemeinerung mit einem Verfahren, das „zurückverfolgt“, wenn eine neue Interpretation zu einem bestimmten Zeitpunkt dazu führt, dass eine Interpretation, die bereits in einer früheren Phase gefunden wurde, korrigiert werden muss.

Ackermanns Verfahren bezog sich auf ein System der Arithmetik zweiter Ordnung, in dem jedoch Begriffe zweiter Ordnung eingeschränkt wurden, um die Kreuzbindung von Epsilonen zweiter Ordnung auszuschließen., Dies entspricht in etwa einer Einschränkung des arithmetischen Verständnisses als dem vorliegenden satzbildenden Prinzip (siehe die Diskussion am Ende dieses Abschnitts). Weitere Schwierigkeiten mit Epsilon-Termen zweiter Ordnung schlugen fehl, und es zeigte sich schnell, dass der Beweis, wie er stand, trügerisch war. Doch niemand in Hilberts Schule erkannte die Ausdehnung der Schwierigkeit bis 1930, als Gödel seine vollständigen Ergebnisse ankündigte., Bis dahin glaubte man, dass der Beweis (zumindest mit einigen von Ackermann eingeführten Modifikationen, von denen einige Ideen aus von Neumanns (1927) Version der Epsilonsubstitutionsmethode beinhalteten) zumindest für den ersten Teil durchgehen würde. Hilbert und Bernays (1939) schlagen vor, dass die verwendeten Methoden nur einen Konsistenznachweis für Arithmetik erster Ordnung mit Openinduktion liefern. Im Jahr 1936 gelang es Gerhard Gentzen, einen Beweis für Diekonsistenz der Arithmetik erster Ordnung in einer Formulierung basierend Aufprädikatslogik ohne das Epsilon-Symbol., Dieser Beweis usestransfinite Induktion bis zu \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) war in der Lage, Gentzens Ideen anzupassen, um mit der Epsilon-Substitutionsmethode einen korrekten Konsistenznachweis für Arithmetik erster Ordnung zu liefern.

Die Analyse oder Arithmetik zweiter Ordnung ist die Erweiterung der Arithmetik erster Ordnung um das Verständnisschema für beliebige Formeln zweiter Ordnung. Die Theorie ist insofern improvidierend, als sie es erlaubt, Mengen natürlicher Zahlen unter Verwendung von Quantifizierern zu definieren, die sich über das gesamte Universum von Mengen erstrecken, einschließlich implizit der Menge, die definiert wird., Man kann prädikative Fragmente dieser Theorie erhalten, indem man die Art der im Comprehensionaxiom erlaubten Formeln einschränkt. Zum Beispiel entspricht die Einschränkung, die im Zusammenhang mitackermann oben diskutiert wurde, dem arithmetischen Verständnisschema, in dem Formeln keine Quantifikatoren zweiter Ordnung beinhalten. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, stärkere Fragmente vonanalyse, die dennoch prädikativ gerechtfertigt sind., Zum Beispiel erhält man eine verzweigte Analyse, indem man einen ordinalen Rang bestimmten Variablen zuordnet; grob gesagt,in der Definition einer Menge eines gegebenen Ranges, Quantifizierer reichen nur über Sätze von niedrigerem Rang, dh diejenigen, Diedefinitionen sind logisch vorher.

Weitere Lektüre. Hilberts und Ackermanns Frühjahrsprognosen werden in Zach 2003; 2004 diskutiert. Von Neumanns Beweis istdas Thema Bellotti 2016. Ackermanns 1940er Beweis wird erörtertin Hilbert & Bernays 1970 und Wang 1963. Eine moderne Präsentation gibt es von Moser 2006., Eine frühe Anwendung der Epsilon-Substitution istdie No-counterexample Interpretation (Kreisel 1951).

Neuere Entwicklungen

In diesem Abschnitt diskutieren wir die Entwicklung der Epsilon-Substitutionsmethode zur Erzielung konsistenter Ergebnisse für starke Systeme; diese Ergebnisse sind mathematischer Natur. Wir können hier leider nicht auf die Einzelheiten der Beweise eingehen, möchten aber darauf hinweisen, dass die Epsilon-Substitutionsmethode mit Hilberts Programm nicht gestorben ist und dass ein erheblicher Teil der gegenwärtigen Forschung in Epsilon-Formalismen durchgeführt wird.,

Gentzen ‚ s consistency proofs für arithmetische startete ein Fachgebiet bekannt als ordinalen Analyse, unddie Programm zur Messung der Stärke von mathematischen Theorien usingordinal Notationen ist heute noch verfolgt. Dies ist besonders wichtig für das erweiterte Hilberts-Programm, in dem das Ziel darin besteht, die klassische Mathematik in Bezug auf konstruktive oder quasi-konstruktive Systeme zu rechtfertigen., Gentzens Methoden der Selbstelimination (und Erweiterungen der infinitären Logik, die von Paul Gentzen, Petr Novikov und Kurt Schütte entwickelt wurden) haben Epsilon-Substitutionsmethoden in diesen Bestrebungen weitgehend verdrängt. Aber Epsiloncalculus-Methoden bieten einen alternativen Ansatz, und es gibt immer noch aktive Forschung über Möglichkeiten, Hilbert-Ackermann-Methoden zu erweitern, um Theorien zu verbessern. Das allgemeine Muster bleibt gleich:

1. Einbetten der untersuchten Theorie in einen geeigneten Epsiloncalculus.
2. Beschreiben Sie einen Prozess zum Aktualisieren von Zuweisungen zu den epsilonterms.,
3. Zeigt an, dass sich die Prozedur normalisiert, d. H. Bei einer Reihe von Terminen gibt es eine Folge von Aktualisierungen, die zu einer Zuweisung führen, die den Axiomen entspricht.

Da der letzte Schritt die Konsistenz der ursprünglichen Theorie garantiert, ist man aus fundamentaler Sicht an den Methoden interessiertverwendet, um Normalisierung zu beweisen. Zum Beispiel erhält man eine ordinale Analyse, indem man ordinale Notationen Schritten in Derprozedur zuweist, so dass der Wert einer Notation mit jedem Schritt abnimmt.,

In den 1960er Jahren erweiterte Tait (1960, 1965, 2010) Wackermanns Methoden, um eine ordinale Analyse von Erweiterungen der Arithmetik mit Prinzipien der Transfinitinduktion zu erhalten. Mehrvorgestellte und moderne Versionen dieses Ansatzes finden Sie in Mints2001 und Avigad 2002b., In jüngerer Zeit betrachteten Münzstätten, Tupailo und Buchholz stärkere, aber immer noch prädikativ vertretbare Analysefragmente, einschließlich Theorien des arithmetischen Verständnisses und einer \(\Delta^{1}_1\)-Verständnisregel (Münzstätten, Tupailo &Buchholz 1996; Münzstätten & Tupailo 1999; siehe auch Münzstätten 2016). Arai2002 hat die Epsilon-Substitutionsmethode auf Theorien ausgedehnt, die es erlauben, arithmetisches Verständnis entlang primitiverkursiver Gutordnungen zu iterieren., Insbesondere liefert seine Arbeit Ordinalanalysen für prädikative Analysefragmente mit Transfinitehierarchien und Transfinitinduktion.

Einige erste Schritte wurden unternommen, um die Epsilon-Substitutionsmethode bei der Analyse impredikativer Theorien zu verwenden (siehe Arai2003, 2006 und Mints 2015).

Bei einer Variation von Schritt 3 oben wird gezeigt, dass das Normalisierungsprozess nicht empfindlich auf die Auswahl von Updates reagiert,dh jede Folge von Updates wird beendet. Dies wird Strongnormalisierung genannt., Mints 1996 hat gezeigt, dass viele der in Betracht gezogenen Verfahren diese stärkere Eigenschaft haben.

Neben dem traditionellen, grundlegenden Zweig der Beweistheorie gibt es heute ein großes Interesse an der strukturellen Beweistheorie, einem Zweig des Faches, der sich auf logische Deduktivenkalkulationen und ihre Eigenschaften konzentriert. Diese Forschung steht in engem Zusammenhang mit Fragen der Informatik, die mit automatisierter Produktion, funktionaler Programmierung und computergestützter Verifizierung zu tun haben.Auch hier dominieren Gentzen-Methoden (siehe auch hier den Eintrag zur Beweistheorie)., Der Epsilon-Kalkül kann aber auch wertvolle Erkenntnisse liefern; vgl. forexample Aguilera & Baaz 2019 oder die Diskussion ofHerbrand theorem oben.

Abgesehen von den Untersuchungen des Epsilon-Kalküls in der Beweistheorie sollten zwei Anwendungen erwähnt werden. Eine davon ist die Verwendung von Epsilonnotation in Bourbakis Theorie des Ensembles (1958).Die zweite, von vielleicht größerem aktuellem Interesse, ist die Verwendung des Epsilon-Operators in den theorembeweisenden Systemen HOL und Isabelle, wo die Ausdruckskraft von Epsilon-Begriffen erhebliche praktische Vorteile bietet.,

Epsilonoperatoren in Linguistik, Philosophie und nicht-klassischer Logik

Das Lesen des Epsilonoperators als Operator unbestimmter Wahl(„ein \(x\), so dass \(A(x)\)“) deutet darauf hin, dass dies sein könntein nützliches Werkzeug bei der Analyse unbestimmter und bestimmter Nominalphrasenin formaler Semantik. Die Epsilon-Notation wurde in der Tat so verwendet, und diese Anwendung hat sich insbesondere im Umgang mitanaphorischen Referenz nützlich erwiesen.

Betrachten Sie das bekannte Beispiel

1. Jeder Bauer, der einen Esel besitzt, schlägt es.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

Der Nachteil ist, dass „ein Esel“ einen existentialquantifier vorschlägt, und daher sollte die Analyse irgendwie parallel seindie Analyse von Satz 3 gegeben durch 4:

aber die nächstmögliche Formalisierung,

1. \(\forall x ((\mathrm{Beats}(x) \wedge \exists y(\mathrm{Esel}(y) \wedge \mathrm{Beats}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

Wie von Heusinger (1994) dargelegt, deutet dies darauf hin, dass Neale an Pronomen gebunden ist, die zwischen bestimmten Beschreibungen\((\iota\)-Ausdrücken) und whe-Ausdrücken mehrdeutig sind., Heusinger schlägt vor, stattdessen Epsilon-Operatoren zu verwenden, die durch Auswahlfunktionen indiziert sind (die vom Kontext abhängen). Nach diesem Ansatz ist die Analyse von(1)

Dieser Ansatz zum Umgang mit Pronomen unter Verwendung von Epsilonoperatoren, die durch Auswahlfunktionen indiziert sind,ermöglicht es von Heusinger, mit einer Vielzahl von Umständen umzugehen (siehe Egli und von Heusinger, 1995; von Heusinger, 2000).

Anwendungen des Epsilon-Operators in formaler Semantik und Auswahlfunktionen im Allgemeinen haben in den letzten Jahren großes Interesse gefunden., Von Heusinger und Egli (2000a) führen unter anderem Folgendes auf: Repräsentationen von Fragen (Reinhart, 1992), spezifische Definitionen (Reinhart 1992; 1997; Winter 1997), E-Typpronomen(Hintikka und Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli und vonHeusinger 1995) und bestimmte Nominalphrasen (von Heusinger 1997,2004).

Zur Erörterung der Fragestellungen und Anwendungen des Epsilon-Operators für Linguistik und Sprachphilosophie siehe B. H., Slater ‚ sartikel über Epsilon-Kalküle (zitiert in der anderen Internet Resourcessection unten), und die Sammlungen von Heusinger und Egli 2000 andvon Heusinger und Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) enthält weitere proof – und modelltheoretische Studien der Epsilonrechnung; speziell intuitionistische epsiloncalculi. Hier halten die Epsilon-Theoreme nicht mehr, d. H. Die Einführung von Epsilon-Begriffen erzeugt nicht-konservative Erweiterungen derintuitionistischen Logik. Weitere Untersuchungen von Epsilon-Operatoren inintuitionistischer Logik finden sich in Shirai (1971), Bell (1993a, 1993b) und DeVidi (1995)., Für Epsilonoperatoren in vielwertigen Logiken siehe Mostowski (1963), für modale Epsilonrechnung, Fitting (1975).

Weitere Lektüre. Im Folgenden finden Sie eine Liste einiger Veröffentlichungenauf dem Gebiet der Sprache und Linguistik, die für den Epsiloncalculus und seine Anwendungen relevant sind. Der Leser richtet sich insbesondere andie Sammlungen von Heusinger & Egli (hrsg. 2000 und von Heusinger& Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

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