Ganzzahl

Im Grundschulunterricht werden Ganzzahlen oft intuitiv als (positive) natürliche Zahlen, Null und Negationen der natürlichen Zahlen definiert., Dieser Definitionsstil führt jedoch zu vielen verschiedenen Fällen (jede arithmetische Operation muss für jede Kombination von ganzzahligen Typen definiert werden) und macht es mühsam zu beweisen, dass Ganzzahlen den verschiedenen Gesetzen der Arithmetik gehorchen. Daher wird in der modernen mengentheoretischen Mathematik häufig eine abstraktere Konstruktion verwendet, die es erlaubt, arithmetische Operationen ohne Fallunterscheidung zu definieren. Die ganzen Zahlen können somit formell als Äquivalenzklassen geordneter Paare natürlicher Zahlen (a,b) konstruiert werden.,

Die Intuition ist, dass (a, b) für das Ergebnis der Subtraktion von b von a steht. Um unsere Erwartung zu bestätigen, dass 1 − 2 und 4 − 5 dieselbe Zahl bezeichnen , definieren wir eine Äquivalenzbeziehung ~ für diese Paare mit der folgenden Regel:

( a , b) ∼ (c,d) {\displaystyle (a,b)\sim (c, d)}

genau dann, wenn

a + d = b + c. {\displaystyle a+d=b+c.}

Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen können in Bezug auf die äquivalenten Operationen an den natürlichen Zahlen definiert werden; indem man die Äquivalenzklasse mit (a,b) als Mitglied bezeichnet, hat man:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \cdot :=.}

Die Negation (oder additive Inverse) einer Ganzzahl wird durch Umkehren der Reihenfolge des Paares erhalten:

− := . {\displaystyle -:=.}

Daher kann die Subtraktion als Addition des Additivs invers definiert werden:

−:=. {\displaystyle -:=.}

Die Standardreihenfolge für die Ganzzahlen ist gegeben durch:

< {\displaystyle <} wenn und nur wenn a + d < b + c. {\displaystyle a+d<b+c.,}

Es ist leicht nachzuweisen, dass diese Definitionen unabhängig von der Wahl der Vertreter der Äquivalenzklassen sind.

wird also mit

{ a − b bezeichnet, wenn a ≥ b – (b − a ) , wenn a < b. {\displaystyle {\begin{Fälle}a-b,&{\mbox{wenn }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}<b.\end{Fälle}}}

Wenn die natürlichen zahlen sind ermittelt mit der entsprechenden ganzen zahlen (mithilfe der Einbettung oben), dieses übereinkommen schafft keine Zweideutigkeit.,

Diese Notation stellt die vertraute Darstellung der ganzen Zahlen wieder her als {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Einige Beispiele sind:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end {{}}}}

In der theoretischen Informatik werden andere Ansätze für die Konstruktion von ganzen Zahlen von automatisierten Theorembeweisern und Term Rewrite Engines verwendet.Ganzzahlen werden als algebraische Begriffe dargestellt, die unter Verwendung einiger grundlegender Operationen (z. B. Null, succ, pred) und möglicherweise unter Verwendung natürlicher Zahlen erstellt wurden, von denen angenommen wird, dass sie bereits konstruiert sind (z. B. mit dem Peano-Ansatz).

Es gibt mindestens zehn solcher Konstruktionen von vorzeichenbehafteten ganzen Zahlen., Diese Konstruktionen unterscheiden sich auf verschiedene Arten: die Anzahl der grundlegenden Operationen, die für die Konstruktion verwendet werden, die Anzahl (normalerweise zwischen 0 und 2) und die Arten von Argumenten, die von diesen Operationen akzeptiert werden; das Vorhandensein oder Fehlen natürlicher Zahlen als Argumente einiger dieser Operationen und die Tatsache, dass diese Operationen freie Konstruktoren sind oder nicht, dh dass dieselbe Ganzzahl nur mit einem oder mehreren algebraischen Begriffen dargestellt werden kann.,

Die oben in diesem Abschnitt vorgestellte Technik zum Erstellen von Ganzzahlen entspricht dem speziellen Fall, in dem es ein einzelnes grundlegendes Operationspaar (x, y) {\displaystyle (x,y)} gibt , das zwei natürliche Zahlen x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} als Argumente verwendet und eine Ganzzahl (gleich x − y {\displaystyle x-y}) zurückgibt. Diese Operation ist nicht frei, da die ganze Zahl 0 geschrieben werden kann Paar(0,0) oder Paar(1,1) oder Paar (2,2) usw., Diese Konstruktionstechnik wird von der Korrekturassistentin Isabelle verwendet; Viele andere Werkzeuge verwenden jedoch alternative Konstruktionstechniken, insbesondere solche, die auf freien Konstruktoren basieren, die einfacher sind und effizienter in Computern implementiert werden können.

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