Krümmung

Intuitiv beschreibt die Krümmung für jeden Teil einer Kurve, wie stark sich die Kurvenrichtung über eine kleine zurückgelegte Strecke ändert (z. B. Winkel in rad/m), so dass sie ein Maß für die momentane Richtungsänderungsrate eines Punktes ist, der sich auf der Kurve bewegt: Je größer die Krümmung ist, desto größer ist diese Änderungsrate. Mit anderen Worten misst die Krümmung, wie schnell sich der Einheitstangenvektor zur Kurve dreht (schnell in Bezug auf die Kurvenposition). Tatsächlich kann bewiesen werden, dass diese momentane Änderungsrate genau die Krümmung ist., Genauer gesagt, angenommen, der Punkt bewegt sich auf der Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit einer Einheit, dh die Position des Punktes P(s) ist eine Funktion des Parameters s, der als Zeit oder als Bogenlänge von einem bestimmten Ursprung betrachtet werden kann. Sei T(s) ein Einheitstangensvektor der Kurve bei P(s), der auch die Ableitung von P(s) in Bezug auf s. Dann ist die Ableitung von T (s) in Bezug auf s ein Vektor, der normal für die Kurve ist und dessen Länge die Krümmung ist.,

Um aussagekräftig zu sein, erfordert die Definition der Krümmung und ihrer unterschiedlichen Charakterisierungen, dass die Kurve in der Nähe von P kontinuierlich differenzierbar ist, um eine kontinuierlich variierende Tangente zu haben; es erfordert auch, dass die Kurve bei P zweimal differenzierbar ist, um das Vorhandensein der beteiligten Grenzen und der Ableitung von T(s) sicherzustellen.

Die Charakterisierung der Krümmung in Bezug auf die Ableitung des Einheitstangentenvektors ist wahrscheinlich weniger intuitiv als die Definition in Bezug auf den Betriebsskulationskreis, aber Formeln zur Berechnung der Krümmung sind leichter abzuleiten., Daher und auch wegen seiner Verwendung in der Kinematik wird diese Charakterisierung oft als Definition der Krümmung angegeben.

Berechnungskreisedit

Historisch wurde die Krümmung einer differenzierbaren Kurve durch den Berechnungskreis definiert, der der Kreis ist, der sich der Kurve an einem Punkt am besten nähert. Genauer gesagt definiert jeder andere Punkt Q der Kurve bei einem Punkt P auf einer Kurve einen Kreis (oder manchmal eine Linie), der durch Q und Tangente zur Kurve bei P verläuft P. Der Berechnungskreis ist die Grenze, falls vorhanden, dieses Kreises, wenn Q zu P tendiert., Dann sind der Mittelpunkt und der Krümmungsradius der Kurve bei P der Mittelpunkt und der Radius des Berechnungskreises. Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius. Das heißt, die Krümmung ist

κ = 1 R, {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

wobei R der Krümmungsradius ist (der gesamte Kreis hat diese Krümmung, er kann als Umdrehung 2π über die Länge 2nR gelesen werden).

Diese Definition ist schwer zu manipulieren und in Formeln auszudrücken. Daher wurden andere äquivalente Definitionen eingeführt.,

In Bezug auf die Bogenlängenparametrizationedit

kann jede differenzierbare Kurve in Bezug auf die Bogenlänge parametrisiert werden. Im Falle einer Ebenenkurve bedeutet dies die Existenz einer Parametrisierung γ(s) = (x(s), y(s)), wobei x und y realwertige differenzierbare Funktionen sind, deren Ableitungen

‖ γ ‚‖ = x ‚( s ) 2 + y ‚ ( s ) 2 = 1 erfüllen. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}“\|={\sqrt {x“(s)^{2}+y“(s)^{2}}}=1.,}

Dies bedeutet, dass die Tangente Vektor

T ( s ) = ( x ‚( s ) , y ‚( s ) ) {\displaystyle \vec {T} (s)={\bigl (}x(s),y“(s){\bigr )}}

eine norm gleich eins ist und ist somit eine Einheit, Tangente Vektor.

Wenn die Kurve doppelt differenzierbar ist, dh wenn die zweiten Ableitungen von x und y existieren, dann existiert die Ableitung von T(s). Dieser Vektor ist normal für die Kurve, seine Norm ist die Krümmung κ(s) und orientiert sich am Krümmungszentrum.,yle {\begin{t}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}“(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\\\mathbf {T} „(s) \cdot\mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} „(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}““(s)\|={\sqrt {x““(s)^{2}+y““(s)^{2}}}\\\ende{ausgerichtet}}}

Da der Krümmungsradius außerdem

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

und der Krümmungsschwerpunkt auf der normalen zur Kurve liegt, ist der Krümmungsmittelpunkt der Punkt

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‚ ( s ) ., {\displaystyle \frac {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\frac {T} „(s).}

Wenn N (s) der Einheitsnormalvektor ist, der von T(s) durch eine gegenläufige Drehung von π/2 erhalten wird, dann

T ‚ ( s) = k ( s) N ( s), {\displaystyle \mathbf {T} „(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}

mit k(s) = ± κ(s). Die reelle Zahl k (s) wird als orientierte oder vorzeichenbehaftete Krümmung bezeichnet. Es hängt sowohl von der Ausrichtung der Ebene (Definition von gegen den Uhrzeigersinn) als auch von der Ausrichtung der Kurve ab, die durch die Parametrisierung bereitgestellt wird., Tatsächlich liefert die Änderung der Variablen s → – s eine weitere Bogenlängenparametrisierung und ändert das Vorzeichen von k(s).

Im Sinne einer Allgemeinen parametrizationEdit

Lassen Sie γ(t) = (x(t), y(t)) eine ordnungsgemäße parametrischer Darstellung eine zweimal differenzierbare Ebene Kurve. Hier bedeutet es, dass auf dem Definitionsbereich der Parametrisierung die Ableitung dy/dtis definiert, differenzierbar und nirgends gleich dem Nullvektor ist.,

Bei einer solchen Parametrisierung ist die vorzeichenbehaftete Krümmung

k = x ‚ y „- y ‚ x „(x ‚2 + y‘ 2 ) 3 2, {\displaystyle k={\frac {x“y““ – y „x““} {\left ({x“}^{2}+{y“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

wobei Primzahlen sich auf Ableitungen in Bezug auf t beziehen. Die Krümmung κ ist somit

κ = / x ‚ y „- y ‚ x „/ (x ‚2 + y‘ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x“, y““-y“x““|}{\left({x“}^{2}+{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Diese können koordinatenfrei ausgedrückt werden als

k = det ( γ ‚, γ „) ‖ γ ‚‖ 3 , κ = | det (γ ‚, γ „) | ‖ γ ‚ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}“, {\boldsymbol {\gamma }}““)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}“\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {/\det({\boldsymbol {\gamma }}“, {\boldsymbol {\gamma }}““)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}“\|^{3}}}.}

Diese Formeln können auf folgende Weise aus dem Sonderfall der Bogenlängenparametrisierung abgeleitet werden. Die obige Bedingung für die Parametrierung impliziert, dass die Bogenlänge s eine differenzierbare monotone Funktion des Parameters t ist und umgekehrt, dass t eine monotone Funktion von s ist., Darüber hinaus kann man durch Ändern von s zu s bei Bedarf annehmen, dass diese Funktionen zunehmen und eine positive Ableitung haben. Unter Verwendung der Notation des vorhergehenden Abschnitts und der Kettenregel hat man

d γ d t = d s d t T, {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T},}

und somit, indem man die Norm beider Seiten

d t s = 1 γ γ’‖, {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}“\|}},}

wobei die Primzahl die Ableitung in Bezug auf t bezeichnet.

Die Krümmung ist die Norm der Ableitung von T in Bezug auf s., Durch die Verwendung der obigen Formel und der Kettenregel können diese Ableitung und ihre Norm nur in Form von γ‘ und γ“ ausgedrückt werden, wobei der Bogenlängenparameter s vollständig eliminiert wird, wobei die obigen Formeln für die Krümmung angegeben werden.

Graph einer Funktion

Der Graph einer Funktion y = f (x) ist ein Sonderfall einer parametrisierten Kurve der Form

x = t y = f ( t). {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=t\\y – &=f(t).,\end{ausgerichtet}}}

Da die erste und zweite Ableitung von x 1 und 0 sind, vereinfachen sich die vorherigen Formeln auf

κ = / y „| (1 + y ‚2 ) 3 2, {\displaystyle \kappa ={\frac {/y““/} {\left(1+{y“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

für die Krümmung und zu

k = y „(1 + y ‚2 ) 3 2, {\displaystyle k={\frac {y““} {\left(1+{y“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

für die signierte Krümmung.

Im allgemeinen Fall einer Kurve ist das Vorzeichen der vorzeichenbehafteten Krümmung irgendwie willkürlich, wie abhängig von einer Ausrichtung der Kurve., Im Falle des Graphen einer Funktion gibt es eine natürliche Orientierung durch Erhöhen der Werte von x. Dies macht das Vorzeichen der vorzeichenbehafteten Krümmung signifikant.

Das Vorzeichen der vorzeichenbehafteten Krümmung ist das gleiche wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung von f. Wenn es positiv ist, hat der Graph eine Aufwärts-Konkavität, und wenn es negativ ist, hat der Graph eine Abwärts-Konkavität. Es ist Null, dann hat man einen Wendepunkt oder einen Wellungspunkt.

Wenn die Steigung des Graphen (dh die Ableitung der Funktion) klein ist, wird die vorzeichenbehaftete Krümmung durch die zweite Ableitung gut angenähert., Genauer gesagt, mit der Big O-Notation hat man

k ( x ) = y „+ O (y ‚ 2 ) . {\displaystyle k(x)=y“ – „+O\left({y}^{2}\rechts).}

Es ist in der Physik und Technik üblich, die Krümmung mit der zweiten Ableitung anzunähern, beispielsweise in der Strahlentheorie oder zur Ableitung der Wellengleichung einer angespannten Saite, und anderen Anwendungen, bei denen kleine Steigungen beteiligt sind. Dies ermöglicht es, oft als lineare Systeme zu betrachten, die ansonsten nichtlinear sind.,

Polarkoordinatenedit

Wenn eine Kurve in Polarkoordinaten durch den Radius definiert ist, der als Funktion des Polarwinkels ausgedrückt wird, dh r ist eine Funktion von θ,dann ist ihre Krümmung

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‚2 − r r“ | ( r 2 + r ‚2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r“}^{2}-r\, r““\right|}{\left(r^{2}+{r“}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

wobei sich die Primzahl auf die Differenzierung in Bezug auf θ bezieht.,

Dies ergibt sich aus der Formel für die Allgemeine Parametrisierung, indem man die Parametrisierung

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=r(\theta )\cos \theta \\y – &=r(\theta )\sin \theta \end{ausgerichtet}}}

Implizite curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

Die vorzeichenbehaftete Krümmung ist nicht definiert, da sie von einer Ausrichtung der Kurve abhängt, die nicht durch die implizite Gleichung bereitgestellt wird. Das Ändern von F in –F ändert auch nicht die Kurve, sondern ändert das Vorzeichen des Zählers, wenn der absolute Wert in der vorherigen Formel weggelassen wird.

Ein Punkt der Kurve, wobei Fx = Fy = 0 ein singulärer Punkt ist, was bedeutet, dass die Kurve an diesem Punkt nicht unterscheidbar ist und somit die Krümmung nicht definiert ist (meistens ist der Punkt entweder ein Kreuzungspunkt oder ein Höcker).,

Die obige Formel für die Krümmung kann aus dem Ausdruck der Krümmung des Graphen einer Funktion unter Verwendung des impliziten Funktionssatzes und der Tatsache abgeleitet werden, dass man auf einer solchen Kurve

hat > d y d x = − F x F y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

Es kann nützlich sein, anhand einfacher Beispiele zu überprüfen, ob die verschiedenen Formeln in den vorhergehenden Abschnitten dasselbe Ergebnis liefern.

CircleEdit

Eine gemeinsame Parametrisierung eines Kreises mit Radius r ist γ (t) = (r, t, r sin t)., Die Formel für die Krümmung gibt

k ( t ) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k (t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

Es folgt, wie erwartet, dass der Krümmungsradius der Radius des Kreises ist und dass der Krümmungsschwerpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist.

Der Kreis ist ein seltener Fall, in dem die Bogenlängenparametrisierung einfach zu berechnen ist, da sie

γ ( s ) = ( r cos ⁡ s r , r sin ⁡ s r) ist ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}}\rechts).}

Es ist eine arc Länge Parametrierung, da die norm

γ ‚ ( s ) = ( − sin ⁡ s r , cos ⁡ N ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}“(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

ist gleich eins. Diese Parametrisierung ergibt den gleichen Wert für die Krümmung, da sie sowohl im Zähler als auch im Nenner in der vorhergehenden Formel eine Division durch r3 bedeutet.

Derselbe Kreis kann auch durch die implizite Gleichung F(x, y) = 0 mit F(x, y) = x2 + y2 – r2 definiert werden., Dann, die Formel für die Krümmung in diesem Fall gibt

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{y} \ kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx} – 2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|} {\left (F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}} {\left (4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}} {\left (4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{ausgerichtet}}}

ParabolaEdit

Betrachten Sie die Parabel y = ax2 + bx + c.

Es ist der graph einer Funktion mit Ableitung 2ax + b, und zweite Ableitung 2a. So, die unterzeichnet Krümmung ist

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 a x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(x)={\frac {2a}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Es hat das Vorzeichen von a für alle Werte von x., Dies bedeutet, dass, wenn a > 0, die Konkavität überall nach oben gerichtet ist; wenn a < 0, ist die Konkavität nach unten gerichtet; für a = 0 ist die Krümmung überall Null, was bestätigt, dass die Parabel in diesem Fall zu einer Linie degeneriert.

Die (vorzeichenlose) Krümmung ist maximal für x = –b/2a, dh am stationären Punkt (Nullableitung) der Funktion, dem Scheitelpunkt der Parabel.

Betrachten Sie die Parametrisierung γ(t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). Die erste Ableitung von x ist 1, und die zweite Ableitung ist null., Das Ersetzen in die Formel für allgemeine Parametrisierungen ergibt genau das gleiche Ergebnis wie oben, wobei x durch t. Wenn wir Primzahlen für Ableitungen in Bezug auf den Parameter t.

Die gleiche Parabel kann auch durch die implizite Gleichung F(x, y) = 0 mit F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Als Fy = -1 und Fyy = Fxy = 0 erhält man genau den gleichen Wert für die (vorzeichenlose) Krümmung. Die vorzeichenbehaftete Krümmung ist hier jedoch bedeutungslos, da-F (x, y) = 0 eine gültige implizite Gleichung für dieselbe Parabel ist, die das entgegengesetzte Vorzeichen für die Krümmung ergibt.,

Frenet-Serret Formeln für ebene Krümmungenedit

Der Ausdruck der Krümmung In Bezug auf die Bogenlängenparametrisierung ist im Wesentlichen die erste Frenet-Serret–Formel

T ‚ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} „(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

wobei sich die Primzahlen auf die Ableitungen in Bezug auf die Bogenlänge s beziehen und N(s) der normale Einheitsvektor in Richtung der T'(s).

Da planare Kurven keine Torsion aufweisen, liefert die zweite Frenet-Serret-Formel die Beziehung

d N d s = – κ T, = – κ d γ d s., {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d\vec {N} }{ds}}&=-\kappa \frac {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\ end {{}}}}

Für eine allgemeine Parametrisierung durch einen Parameter t benötigt man Ausdrücke mit Derivaten in Bezug auf t. Da diese durch Multiplikation mit ds/dt der Derivate in Bezug auf s erhalten werden, hat man für jede richtige Parametrisierung

N ‚( t ) = − κ ( t ) γ ‚ ( t ) . {\displaystyle \vec {N} „(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}“(t).}

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