Pythagorean Triple (Deutsch)
Less…,
A Pythagorean triple is a triple of positive integers 
, 
, and 
such that a right triangle exists with legs 
and hypotenuse 
., Nach dem Satz von Pythagoras entspricht dies dem Auffinden positiver Ganzzahlen 
, 
und 
 |
(1)
|
Das kleinste und bekannteste pythagoreische Triple ist
. Das rechtwinklige Dreieck mit diesen Seitenlängen wird manchmal als 3, 4, 5 Dreieck bezeichnet.,
Diagramme von Punkten in der 
-Ebene, so dass 
ein pythagoreisches Triple ist, werden oben für nacheinander größere Grenzen angezeigt. Diese Diagramme enthalten negative Werte von 
und 
und sind daher sowohl über die x – als auch über die y-Achse symmetrisch.
In ähnlicher Weise werden Diagramme von Punkten in der 
-Ebene so dargestellt, dass 
ein pythagoreisches Triple für sukzessive größere Grenzen ist.,
Es ist üblich, nur primitive pythagoreische Tripel (auch“reduzierte“Tripel genannt) zu betrachten, bei denen 
und 
relativ Primzahl sind, da andere Lösungen trivial aus den primitiven erzeugt werden können. Die primitiven Tripel sind oben dargestellt, und es kann sofort gesehen werden, dass die radialen Linien, die imprimitiven Tripel im ursprünglichen Plot entsprechen, in dieser Figur fehlen., Für primitive Lösungen muss eine von 
oder 
gerade und die andere ungerade sein (Shanks 1993, S. 141), wobei 
immer ungerade ist. ,=“7a4ddb31b8″>
Hall (1970) and Roberts (1977) prove that 
is a primitive Pythagorean triple iff
 |
(8)
|
where 
is a finite product of the matrices 
, 
, 
.,662c5″>
Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as
 |
(10)
|
for 
, which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case 
, 
).,
The early Greeks gave
 |
(11)
|
where 
and 
are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting 
and 
).
Let 
be a Fibonacci number., Then
 |
(12)
|
generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers 
, 
, and constructing the Fibonacci-like sequence 
with terms 
, 
, 
, 
, 
, …, generates distinct Pythagorean triples
 |
(13)
|
(Horadam 1961), where
 |
(14)
|
where 
is a Lucas number.
For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, die zwei kleineren zahlen) ist immer teilbar durch 12, und das produkt aller drei seiten ist teilbar durch 60. Es ist nicht bekannt, ob es zwei verschiedene Tripel mit demselben Produkt gibt. Die Existenz von zwei derartige Tripel entspricht einer null-Lösung, um die Diophantische Gleichung
 |
(15)
|
(Guy 1994, S. 188).,
For a Pythagorean triple (
, 
, 
),
 |
(16)
|
where 
is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc“>
(Robertson 1996).,
Die Fläche eines Dreiecks, das dem pythagoreischen Dreifach entspricht 
ist
 |
(20)
|
Fermat hat bewiesen, dass eine Zahl dieser Form niemals eine quadratische Zahl sein kann.,td>
The number of such triangles is then
 |
(22)
|
 |
(23)
|
Then
 |
(24)
|
(Beiler 1966, p., 116). Beachten Sie, dass 
iff Primzahl oder zweimal Primzahl ist. Die ersten Zahlen für 
, 2, … sind 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,
Um die Anzahl der Wege zu finden 
in denen eine Zahl 
die Hypotenuse eines primitiven rechtwinkligen Dreiecks sein kann, schreiben Sie ihre Faktorisierung als
 |
(25)
|
wobei die 
s der Form 
und die 
s der Form 
.,> as a hypotenuse is
 |
 |
 |
(29)
|
 |
 |
 |
(30)
|
(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, die besagt, dass diese Formel die Anzahl der nicht-primitiven Lösungen gibt nur), wobei 
ist die Summe der Quadrate Funktion., in dem 
entweder ein Bein oder eine Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks sein kann, wird angegeben durch
 |
(32)
|
Die Anzahl der Tripel mit hypotenuse 
sei bezeichnet 
, die Anzahl der Tripel mit hypotenuse sei bezeichnet 
, und die Anzahl der primitiven Tripel kleiner als 
bezeichnet werden 
., Then the following table summarizes the values for powers of 10.
 |
OEIS |  ,  , … |
 |
A101929 | 1, 50, 878, 12467, … |
 |
A101930 | 2, 52, 881, 12471, … |
 |
A101931 | 1, 16, 158, 1593, ..,. |
Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than 
satisfies
 |
(33)
|
(OEIS A086201).
There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d“>
Then the right triangle generated by each triple (
) has common area
 |
(40)
|
Right triangles whose areas consist of a single digit include 
(area of 6) and 
(area of 666666; Wells 1986, p., 89).
1643 forderte Fermat Mersenne auf, ein pythagoreisches Triplet zu finden, dessen Hypotenuse und Summe der Beine Quadrate waren.,
A related problem is to determine if a specified integer 
can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3 und 4 sind nicht die Bereiche von einseitigen rechtwinkligen Dreiecken, sondern 5 ist (3/2, 20/3, 41/6), ebenso wie 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case
 |
 |
 |
(47)
|
 |
 |
 |
(48)
|
(Koblitz 1993)., Es ist keine allgemeine Methode bekannt, um festzustellen, ob es eine Lösung für beliebige gibt, aber eine 1983 von J. Tunnell entwickelte Technik erlaubt es, bestimmte Werte auszuschließen (Cipra 1996).