Schwarz Scholes Modell

Was Ist die Schwarz Scholes Modell?

Das Black-Scholes-Modell, auch als Black-Scholes-Merton (BSM) – Modell bekannt, ist ein mathematisches Modell zur Preisgestaltung eines Optionsvertrags. Insbesondere schätzt das Modell die zeitliche Variation von Finanzinstrumenten. Es wird davon ausgegangen, dass diese Instrumente (wie Aktien oder Futures) eine lognormale Verteilung der Preise haben. Mit dieser Annahme und Factoring in anderen wichtigen Variablen leitet die Gleichung den Preis einer Call-Option.,

Die Grundlagen des Black Scholes-Modells

Das Modell geht davon aus, dass der Preis stark gehandelter Vermögenswerte einer geometrischen brownschen Bewegung mit konstanter Drift und Volatilität folgt., Wenn auf eine Aktienoption angewendet, enthält das Modell die konstante Preisschwankung der Aktie, der Zeitwert des Geldes, der Ausübungspreis der Option, und die Zeit bis zum Ablauf der Option.

Auch Black-Scholes-Merton genannt, war es das erste weit verbreitete Modell für Optionspreise. Es wird verwendet, um den theoretischen Wert von Optionen unter Verwendung der aktuellen Aktienkurse zu berechnen, erwartete Dividenden, der Ausübungspreis der Option, erwartete Zinssätze, Zeit bis zum Ablauf und erwartete Volatilität.,

Die Formel, entwickelt von drei Ökonomen-Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton-ist vielleicht die weltweit bekanntesten Optionen Preismodell. Die anfängliche Gleichung wurde 1973 in Black and Scholes“ Papier „The Pricing of Options and Corporate Liabilities“ eingeführt, das im Journal of Political Economy veröffentlicht wurde., Black starb zwei Jahre, bevor Scholes und Merton 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften für ihre Arbeit bei der Suche nach einer neuen Methode, um den Wert von Derivaten zu bestimmen (der Nobelpreis wird nicht posthum gegeben; jedoch, das Nobelkomitee anerkannt Black Rolle im Black-Scholes-Modell).

Das Black-Scholes-Modell macht bestimmte Annahmen:

• Die Option ist europäisch und kann nur nach Ablauf ausgeübt werden.
• Während der Laufzeit der Option werden keine Dividenden ausgezahlt.
• Märkte sind effizient (d.h.,, marktbewegungen nicht vorhergesagt werden können).
• Beim Kauf der Option fallen keine Transaktionskosten an.
• Der risikofreie Kurs und die Volatilität des Basiswerts sind bekannt und konstant.
• Die Renditen des Basiswerts werden normalerweise verteilt.

Während das ursprüngliche Black-Scholes-Modell die Auswirkungen von Dividenden, die während der Laufzeit der Option gezahlt wurden, nicht berücksichtigte, wird das Modell häufig angepasst, um Dividenden zu berücksichtigen, indem der Ex-Dividenden-Datumswert der zugrunde liegenden Aktie bestimmt wird.,

Die Black Scholes-Formel

Die Mathematik, die an der Formel beteiligt ist, ist kompliziert und kann einschüchternd sein. Glücklicherweise müssen Sie nicht wissen, oder sogar die Mathematik verstehen Black-Scholes Modellierung in Ihren eigenen Strategien zu verwenden. Optionshändler haben Zugriff auf eine Vielzahl von Online-Optionen Rechner, und viele der heutigen Handelsplattformen verfügen über robuste Optionen Analyse-Tools, einschließlich Indikatoren und Tabellen, die die Berechnungen durchführen und die Optionen Preiswerte ausgeben.,

Die Black-Scholes-Call-Optionsformel wird berechnet, indem der Aktienkurs mit der kumulativen Standardnormalwahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion multipliziert wird. Danach wird der Barwert (NPV) des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulierten Standardnormalverteilung vom resultierenden Wert der vorherigen Berechnung abgezogen.

In mathematischer Notation:

Was sagt Ihnen das Black-Scholes-Modell?,

Das Black-Scholes-Modell ist eines der wichtigsten Konzepte in der modernen Finanz-Theorie. Es wurde 1973 von Fischer Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelt und ist bis heute weit verbreitet. Es gilt als eine der besten Möglichkeiten, faire Preise für Optionen zu bestimmen. Das Black Scholes-Modell erfordert fünf Eingangsvariablen: den Ausübungspreis einer Option, den aktuellen Aktienkurs, die Zeit bis zum Ablauf, den risikofreien Kurs und die Volatilität.,

Das Modell geht davon aus, dass die Aktienkurse einer lognormalen Verteilung folgen, da die Vermögenspreise nicht negativ sein können (sie sind durch Null begrenzt). Dies wird auch als gaußsche Verteilung bezeichnet. Es wird häufig beobachtet, dass die Vermögenspreise eine signifikante Rechtschärfe und ein gewisses Maß an Kurtose (fette Schwänze) aufweisen. Dies bedeutet, dass Abwärtsbewegungen mit hohem Risiko häufig häufiger auf dem Markt auftreten, als eine normale Verteilung vorhersagt.,

Die Annahme lognormaler Basispreise sollte daher zeigen, dass die impliziten Volatilitäten für jeden Ausübungspreis nach dem Black-Scholes-Modell ähnlich sind. Seit dem Marktcrash von 1987 sind die impliziten Volatilitäten für die Geldoptionen jedoch niedriger als diejenigen, die weiter außerhalb des Geldes oder weit im Geld liegen. Der Grund für dieses Phänomen ist der Markt in einer größeren Wahrscheinlichkeit einer hohen Volatilität nach unten in den Märkten bewegt Preise.

Dies hat zur Anwesenheit der Volatilität skew geführt., Wenn die impliziten Volatilitäten für Optionen mit demselben Verfallsdatum in einem Diagramm abgebildet sind, kann ein Lächeln oder eine schiefe Form angezeigt werden. Daher ist das Black-Scholes-Modell zur Berechnung der impliziten Volatilität nicht effizient.

Einschränkungen des Black Scholes-Modells

Wie bereits erwähnt, wird das Black Scholes-Modell nur zum Preis europäischer Optionen verwendet und berücksichtigt nicht, dass US-Optionen vor dem Ablaufdatum ausgeübt werden könnten. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass Dividenden und risikofreie Zinssätze konstant sind, dies ist jedoch in der Realität möglicherweise nicht der Fall., Das Modell geht auch davon aus, Volatilität über das Leben der Option konstant bleibt, was nicht der Fall ist, weil Volatilität mit dem Niveau von Angebot und Nachfrage schwankt.

Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass es keine Transaktionskosten oder Steuern gibt, dass der risikofreie Zinssatz für alle Laufzeiten konstant ist, dass Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung von Erlösen zulässig sind und dass es keine risikofreien Arbitragemöglichkeiten gibt. Diese Annahmen können zu Preisen führen, die von der realen Welt abweichen, in der diese Faktoren vorhanden sind.

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