Snells Gesetz

Snells Gesetz kann auf verschiedene Arten abgeleitet werden.

Ableitung von Fermat ’s principleEdit

Snell‘ s Gesetz kann von Fermat ‚ s Prinzip abgeleitet werden, die besagt, dass das Licht den Weg reist, die die geringste Zeit in Anspruch nimmt., Durch die Ableitung der optischen Weglänge wird der stationäre Punkt gefunden, der den vom Licht eingeschlagenen Weg angibt. (Es gibt Situationen, in denen Licht das Fermat-Prinzip verletzt, indem es nicht den geringsten Zeitweg einnimmt, wie bei der Reflexion in einem (sphärischen) Spiegel.) In einer klassischen Analogie wird der Bereich mit niedrigerem Brechungsindex durch einen Strand ersetzt, der Bereich mit höherem Brechungsindex durch das Meer, und der schnellste Weg für einen Retter am Strand, um zu einer ertrinkenden Person im Meer zu gelangen, besteht darin, auf einem Pfad zu laufen, der dem Gesetz von Snell folgt.,

Wie in der Abbildung rechts gezeigt, nehmen wir an, dass der Brechungsindex von Medium 1 und medium 2 n 1 {\displaystyle n_{1}} und n 2 {\displaystyle n_{2}} sind. Licht ins medium 2 medium 1 über Punkt O.

Die phase Geschwindigkeiten des Lichts in medium 1 und medium 2

v 1 = c / n 1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} und v 2 = c / n 2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}} respectively.,

c {\displaystyle c} ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Let T be the time required for the light to travel from point Q through point O to point P.

T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + l 2 − 2 l x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}} {v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}} {v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}} {v_{2}}}

wobei a, b, l und x in der rechten Abbildung als variierender Parameter bezeichnet sind.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 sin ⁡ θ 1-K = n 2 sin ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

Ableitung von Huygens“s principleEdit

Alternativ Snell“s Gesetz abgeleitet werden kann mit Störungen aller möglichen Pfade von Licht-Welle von der Quelle zum Beobachter—es führt zu destruktiver Interferenz überall außer in extrema phase (Interferenz Konstruktive)—die tatsächlichen Pfade.,

Ableitung von Maxwells Gleichungen <

Eine andere Möglichkeit, das Snell-Gesetz abzuleiten, beinhaltet die Anwendung der allgemeinen Randbedingungen von Maxwellgleichungen für elektromagnetische Strahlung.,θ 1 = n 2 k 0 sin θ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}

Vektorformedit

cos θ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect}} ={\vec {l}}+2\cos \theta _{1} {\vec {n}}

Dieser reflektierte Richtungsvektor zeigt zurück zur Seite der Oberfläche, von der das Licht kam.,{2}={\sqrt {1 – (\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n 1 n 2 ) l → + ( n 1 n 2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract}} =\links({\frac {n_{1}} {n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}} {n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r l → + ( r c − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {vec {v}}_{\mathrm {refract}} =r {\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right) {\vec {n}}}

Beispiel:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflektieren} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {lichtbrechung} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

Die Kosinuswerte können gespeichert und in den Fresnelgleichungen zur Ermittlung der Intensität der resultierenden Strahlen verwendet werden.