Vereinfachung / Multiplikation Radikale
IntroSimplify / MultiplyAdd / SubtractConjugates / DividingRationalizingHigher IndicesEt cetera
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Bei der Vereinfachung, Sie gewann“t haben Sie immer nur Zahlen im Radikal; Sie müssen auch mit Variablen arbeiten. Variablen in einem radikalen Argument werden auf die gleiche Weise wie reguläre Zahlen vereinfacht. Sie Faktor Dinge, und was auch immer Sie“ve bekam ein Paar kann „out front“genommen werden.,
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Ich weiß bereits, dass 16 42 ist, also weiß ich, dass ich eine 4 aus dem Radikal nehmen werde. Wenn ich mir dann den variablen Teil ansehe, sehe ich, dass ich zwei Paare von x habe, damit ich aus jedem Paar ein x herausnehmen kann. Dann:
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Wie Sie sehen, funktioniert die Vereinfachung von Radikalen, die Variablen enthalten, genauso wie die Vereinfachung von Radikalen, die nur Zahlen enthalten. Wir faktorisieren, finden Dinge, die Quadrate sind (oder, was dasselbe ist, Faktoren, die paarweise auftreten), und dann ziehen wir eine Kopie von dem heraus, was quadratisch war (oder von dem, was wir gefunden haben) ein Paar).,
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Wenn ich den numerischen Teil des Radikanden betrachte, sehe ich, dass die 12 das Produkt von 3 und 4 ist, also habe ich ein Paar von 2″s (damit ich eine 2 nach vorne nehmen kann), aber eine 3 übrig (die im Radikal zurückbleibt).
Wenn ich mir den Variablenteil ansehe, habe ich zwei Paare von a“s; Ich habe drei Paare von b“s, wobei ein b übrig ist; und ich habe ein Paar von c“s, wobei ein c übrig ist., Die Wurzel vereinfacht sich also wie folgt:
Sie sind es gewohnt, die Zahlen zuerst in eine algebraischer Ausdruck, gefolgt von beliebigen Variablen. Aber für radikale Ausdrücke sollten alle Variablen außerhalb des Radikals vor das Radikal gehen, wie oben gezeigt. Stellen Sie immer alles, was Sie aus dem Radikal herausnehmen, vor dieses Radikal (wenn etwas darin verbleibt).,
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Das Ausschreiben der vollständigen Faktorisierung wäre langweilig, also werde ich einfach das verwenden, was ich über powers weiß. Die 20 Faktoren als 4 × 5, wobei die 4 ein perfektes Quadrat ist. Das r18 hat neun Paare von r „s; das s ist ungepaart; und das t21 hat zehn Paare von t“ s, mit einem t übrig., Dann:
Technischer Punkt: Ihr Lehrbuch weist Sie möglicherweise an,“ davon auszugehen, dass alle Variablen positiv sind“, wenn Sie vereinfachen. Warum? Weil die Quadratwurzel des Quadrats einer negativen Zahl nicht die ursprüngliche Zahl ist.
Zum Beispiel könnten Sie mit -2 beginnen, es quadrieren, um +4 zu erhalten, und dann die Quadratwurzel von +4 (die als positive Wurzel definiert ist) nehmen, um +2 zu erhalten. Sie steckten ein Negativ ein und landeten mit einem Positiven.,
Wir wenden einen Prozess an, der dazu führt, dass wir denselben numerischen Wert erhalten, aber er ist immer positiv (oder zumindest nicht negativ). Klingt vertraut? Es sollte: es ist, wie der absolute Wert funktioniert: / -2 / = +2. Die Quadratwurzel des Quadrats ist in der Tat die technische Definition des absoluten Wertes.
Aber diese Technik kann Schwierigkeiten verursachen, wenn Sie mit Werten unbekannter Vorzeichen arbeiten; das heißt, mit Variablen. Das |-2 / ist +2, aber was ist das Zeichen auf / x/?, Sie können nicht wissen, weil Sie das Vorzeichen von x selbst nicht kennen — es sei denn, sie geben an, dass Sie“annehmen sollten, dass alle Variablen positiv „oder zumindest nicht negativ sind (was“ positiv oder Null „bedeutet).
Multiplizieren von Quadratwurzeln
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Das erste, was Sie“ll lernen, mit Quadratwurzeln zu tun ist „vereinfachen“ Begriffe, die hinzufügen oder Wurzeln vermehren.,
Die Vereinfachung multiplizierter Radikale ist ziemlich einfach und unterscheidet sich kaum von den Vereinfachungen, die wir bereits durchgeführt haben. Wir verwenden die Tatsache, dass das Produkt zweier Radikale dasselbe ist wie das Radikal des Produkts und umgekehrt.
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Schreiben Sie als Produkt von zwei Radikalen:
Da 6 Faktoren als 2 × 3, kann ich dieses Radikal in ein Produkt von zwei Radikalen unter Verwendung der Faktorisierung aufteilen. (Ja, ich könnte auch als 1 × 6 faktorisieren, aber sie erwarten wahrscheinlich die Primfaktorisierung.,)
Ja, diese Manipulation war ziemlich simpel und war nicht sehr nützlich, aber es zeigt, wie wir Radikale manipulieren können. Und die Verwendung dieser Manipulation bei der Arbeit in die andere Richtung kann sehr hilfreich sein. Zum Beispiel:
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Vereinfachen Sie, indem Sie mit nicht mehr als einem Radikal schreiben:
Wenn Sie Radikale multiplizieren, setzt man wie bei dieser Übung im Allgemeinen kein “ Mal “ – Symbol zwischen die Radikale., Die Multiplikation wird als „Nebeneinander“ verstanden, daher ist technisch nichts weiter erforderlich.
Um diese Vereinfachung durchzuführen, multipliziere ich zuerst die beiden Radikale miteinander. Dies gibt mir 2 × 8 = 16 innerhalb des Radikals, von dem ich weiß, dass es ein perfektes Quadrat ist.
Übrigens hätte ich die Vereinfachung jedes Radikals zuerst durchführen und dann multiplizieren und dann eine weitere Vereinfachung durchführen können., Die Arbeit wäre ein bisschen länger, aber das Ergebnis wäre das gleiche:
Affiliate
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Vereinfachen Sie durch das schreiben mit nicht mehr als einem radikalen:
Weder die radikalen, die Sie“ve mir enthält Quadrate, so kann ich“t nehmen nichts vor — noch nicht. Was passiert, wenn ich diese zusammen multipliziere?,
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Vereinfachen Sie das Schreiben mit nicht mehr als einem Radikal:
Da diese Radikale stehen, vereinfacht sich nichts.,
= 2 × 3 × 2 × 5 × 5 × 3
Also kann ich eine 2, eine 3 und eine 5 herausnehmen:
Der Prozess funktioniert auf die gleiche Weise, wenn Variablen enthalten sind:
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Vereinfachen Sie, indem Sie mit nicht mehr als einem Radikal schreiben:
Die 4 im ersten Radikal ist ein Quadrat, so dass ich in der Lage sein werde, seine Quadratwurzel, 2, nach vorne zu nehmen; Ich werde mit den 5 innen der Radikale., Durch Multiplikation der variablen Teile der beiden Radikale zusammen, Ich werde x4 bekommen, das ist das Quadrat von x2, so dass ich in der Lage sein, x2 vorne zu nehmen, auch.
Sie können das Mathway-Widget unten verwenden, um die Vereinfachung von Radikal-Produkten zu üben. Probieren Sie die eingegebene Übung aus oder geben Sie Ihre eigene Übung ein. Dann klicken Sie auf die Schaltfläche, um Ihre Antwort auf Mathway zu vergleichen.,
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