Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
von Marco Taboga, PhD
Die Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen kann durch ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) charakterisiert werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable in einem gegebenen Intervall einen Wert annimmt, ist gleich dem Integral ihrer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über diesem Intervall, das wiederum gleich der Fläche des Bereichs in der xy-Ebene ist, die durch die x-Achse, die vertikale und die vertikalen Linien begrenzt wird, die den Grenzen des Intervalls entsprechen.,
Im Bild unterhalb der blauen Linie ist beispielsweise die Fläche einer normalen Zufallsvariablen und die Fläche des roten Bereichs gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert zwischen -2 und 2 annimmt.
Definition
Die folgende formale definition.
Definition Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen 
ist eine Funktion 
, so dass
für jedes Intervall .,
Der Wertesatz für den als Unterstützung von bezeichnet wird.,um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über dieses Intervall zu integrieren:
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist keine Wahrscheinlichkeit
Es ist wichtig, einen grundlegenden Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die die Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen charakterisiert, und der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zu verstehen, die die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen charakterisiert (denken Sie daran: Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn die Anzahl der Werte, die sie annehmen kann, zählbar ist, während die Anzahl der Werte, die eine kontinuierliche Zufallsvariable annehmen kann, unzählig ist)., Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer diskreten Variablen ist eine Funktion , die Ihnen für jede reelle Zahl die Wahrscheinlichkeit gibt, dass gleich . Im Gegenteil, wenn eine kontinuierliche Variable ist, wird ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion an einem bestimmten Punkt ausgewertet ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass gleich ., Tatsächlich ist diese Wahrscheinlichkeit für jede gleich Null, da
wobei jedes primitive (oder unbestimmte Integral) von .
Wenn Sie von letzterem Ergebnis verwirrt sind, sollten Sie die Vorlesung über Ereignisse mit Null Wahrscheinlichkeit lesen.
Obwohl es keine Wahrscheinlichkeit ist, kann der Wert des PDF an einem bestimmten Punkt eine einfache Interpretation erhalten:
wobei ein kleines Inkrement ist.,
Der Beweis, den wir geben werden, ist nicht streng. Vielmehr konzentrieren wir uns auf die intuition. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das PDF eine kontinuierliche Funktion ist. Streng genommen ist dies nicht erforderlich, obwohl die meisten PDFs, auf die in der Praxis gestoßen wird, kontinuierlich sind (per Definition muss eine PDF-Datei integrierbar sein; Während jedoch alle kontinuierlichen Funktionen integrierbar sind, sind nicht alle integrierbaren Funktionen kontinuierlich)., Wenn das pdf kontinuierlich ist und klein ist, wird durch für jede , die zum Intervall 
. Daraus folgt, dass 
In der obigen ungefähren Gleichheit betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass gleich ist oder zu einem Wert, der zu einem kleinen Intervall in der Nähe von gehört. Insbesondere betrachten wir das Intervall ., Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Länge des kleinen Intervalls, das wir in Betracht ziehen. Die Proportionalitätskonstante ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von ausgewertet bei . Je höher also das pdf an einem bestimmten Punkt ist , desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass einen Wert in der Nähe von annimmt.,
Verwandte Konzepte
Verwandte Konzepte sind solche von:
-
die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die die Verteilung eines kontinuierlichen Zufallsvektors charakterisiert;
-
marginale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die die Verteilung einer Teilmenge von Einträgen eines Zufallsvektors charakterisiert;
-
bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die durch Konditionierung auf die Realisierung einer anderen Zufallsvariablen erhalten wird.,
Weitere Details
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen werden in der Vorlesung mit dem Titel Random variables näher erläutert.
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