Curvatura

intuitivamente, la curvatura describe para cualquier parte de una curva cuánto cambia la dirección de la curva a lo largo de una pequeña distancia recorrida (por ejemplo, ángulo en rad/m), por lo que es una medida de la velocidad instantánea de cambio de dirección de un punto que se mueve en la curva: cuanto mayor es la curvatura, mayor es esta velocidad de cambio. En otras palabras, la curvatura mide qué tan rápido gira el vector tangente unitario a la curva (rápido en términos de posición de la curva). De hecho, se puede probar que esta velocidad instantánea de cambio es exactamente la curvatura., Más precisamente, supongamos que el punto se mueve en la curva a una velocidad constante de una unidad, es decir, la posición del punto P(s) es una función del parámetro s, que puede pensarse como el tiempo o como la longitud del arco de un origen dado. Sea T(s) es una unidad vector tangente de la curva en P(s), que es también la derivada de P(s) con respecto a s. Entonces, la derivada de T(s) con respecto a s es un vector normal a la curva y cuya longitud es la curvatura.,

para ser significativo, la definición de la curvatura y sus diferentes caracterizaciones requieren que la curva sea continuamente diferenciable cerca de P, por tener una tangente que varía continuamente; requiere también que la curva sea dos veces diferenciable en P, para asegurar la existencia de los límites involucrados, y de la derivada de T(s).

la caracterización de la curvatura en términos de la derivada del vector tangente unitario es probablemente menos intuitiva que la definición en términos del círculo osculante, pero las fórmulas para calcular la curvatura son más fáciles de deducir., Por lo tanto, y también debido a su uso en cinemática, esta caracterización se da a menudo como una definición de la curvatura.

círculo Osculadoreditar

históricamente, la curvatura de una curva diferenciable se definió a través del círculo osculador, que es el círculo que mejor se aproxima a la curva en un punto. Más precisamente, dado un punto P en una curva, cada otro punto Q de la curva define un círculo (o a veces una línea) que pasa a través de Q y tangente a la curva en P. El círculo osculante es el límite, si existe, de este círculo cuando Q tiende a P., Entonces el centro y el radio de curvatura de la curva en P son el centro y el radio del círculo osculante. La curvatura es el recíproco del radio de curvatura. Es decir, la curvatura es

κ = 1 R, {\displaystyle \kappa = {\frac {1}{R}},}

donde R es el radio de curvatura (todo el círculo tiene esta curvatura, se puede leer como vuelta 2π sobre la longitud 2nR).

Esta definición es difícil de manipular y expresar en fórmulas. Por consiguiente, se han introducido otras definiciones equivalentes.,

en términos de parametrización de la longitud del arco edit

cada curva diferenciable puede parametrizarse con respecto a la longitud del arco. En el caso de una curva plana, esto significa la existencia de una parametrización γ(s) = (x(S), y(s)), donde x E y son funciones diferenciables de valor real cuyas derivadas satisfacen

γ γ ‘= = x ‘( S ) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}»\|={\sqrt {x»(S)^{2}+y»(s)^{2}}}=1.,}

Esto significa que el vector tangente

T ( s ) = ( x ‘( s ) , y ‘( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x»(s),y»(s){\bigr )}}

tiene una norma igual a uno y es así, una unidad de vector tangente.

si la curva es dos veces diferenciable, es decir, si existen las segundas derivadas de x e Y, entonces existe la derivada de T(s). Este vector es normal a la curva, su norma es la curvatura κ (s), y está orientado hacia el Centro de curvatura.,yle {\begin{aligned}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}»(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\implica \mathbf {T} «(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} «(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}»»(s)\|={\sqrt {x»»(s)^{2}+y»»(s)^{2}}}\\\end{aligned}}}

por otra parte, como el radio de curvatura es

R ( s ) = 1 k ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

y el centro de curvatura está en la normal a la curva, el centro de curvatura es el punto

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‘ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} «(s).}

Si N(s) es el vector normal unitario obtenido de T ( s) por una rotación en sentido antihorario de π/2, entonces

T ‘ (S ) = k ( S ) N(s ) , {\displaystyle \mathbf {T} «(s)=k (s)\mathbf {N} (S),}

con k(s) = ± κ (s). El número real k (s) Se llama curvatura orientada o con signo. Depende tanto de la orientación del plano (definición de sentido antihorario), como de la orientación de la curva proporcionada por la parametrización., De hecho, el cambio de la variable s → –s proporciona otra parametrización de longitud de arco, y cambia el signo de k (s).

en términos de una parametrización generalEditar

sea γ(t) = (x(t), y(t)) una representación paramétrica adecuada de una curva plana dos veces diferenciable. Aquí apropiado significa que en el dominio de definición de la parametrización, el derivado dy/dtis definido, diferenciable y en ninguna parte igual al vector cero.,

Con una parametrización, el firmado con una curvatura

k = x ‘ y «− y ‘ x «( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x»y»»y»x»»}{\left({x»}^{2}+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

donde los números primos se refieren a los derivados con respecto a t. La curvatura κ es así

κ = | x ‘ y «− y ‘ x «| ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x»,»y»y»x»»|}{\left({x»}^{2}+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Estos pueden expresarse de una manera libre de coordenadas como

k = det ( γ’, γ») γ γ ‘3 3 , κ = | det ( γ ‘, γ») | γ γ ‘ 3 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}»,{\boldsymbol {\gamma }}»»)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}»\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}»,{\boldsymbol {\gamma }}»»)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}»\|^{3}}}.}

estas fórmulas se pueden derivar del caso especial de parametrización de longitud de arco de la siguiente manera. La condición anterior en la parametrización implica que la longitud del arco s es una función monótona diferenciable del parámetro t, y a la inversa que t es una función monótona de S., Por otra parte, cambiando, si es necesario, s A –s, uno puede suponer que estas funciones están aumentando y tienen una derivada positiva. Utilizando la notación de la sección anterior, y la regla de la cadena, uno tiene

d γ d t = d s d t T , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

y así, mediante la adopción de la norma de ambos lados

d t d s = 1 ‖ γ ‘ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}»\|}},}

donde el primer denota la derivación con respecto a t.

La curvatura es la norma de la derivada de T con respecto a s., Al usar la fórmula anterior y la regla de la cadena, esta derivada y su norma pueden expresarse en términos de γ’ y γ» solamente, con el parámetro de longitud de Arco S completamente eliminado, dando las fórmulas anteriores para la curvatura.

gráfico de una funcionaeditar

el gráfico de una función y = f(x), es un caso especial de una curva parametrizada, de la forma

x = t y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=f(t).,\end{aligned}}}

Como la primera y la segunda derivadas de x son 1 y 0, fórmulas anteriores para simplificar

κ = | y «| ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y»»|}{\left(1+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

para la curvatura, y

k = y ( 1 + y ‘ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {«y»}{\left(1+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

para el firmado de la curvatura.

en el caso general de una curva, el signo de la curvatura con signo es de alguna manera arbitrario, ya que depende de una orientación de la curva., En el caso de la gráfica de una función, hay una orientación natural al aumentar los valores de x. Esto hace significativo el signo de la curvatura con signo.

El signo de la firma de curvatura es el mismo que el signo de la segunda derivada de f. Si es positiva, entonces la gráfica tiene concavidad hacia arriba, y, si es negativa la gráfica tiene concavidad hacia abajo. Es cero, entonces uno tiene un punto de inflexión o un punto de ondulación.

Cuando la pendiente de la gráfica (que es la derivada de la función) es pequeño, el firmado curvatura es bien aproximada por la segunda derivada., Más precisamente, usando la notación o grande, uno tiene

k ( x ) = y «+ O ( y ‘ 2 ) . {\displaystyle K(x)=y»»+o\left({y»}^{2}\right).}

es común en Física e ingeniería aproximar la curvatura con la segunda derivada, por ejemplo, en la teoría de haces o para derivar la ecuación de onda de una cuerda tensa, y otras aplicaciones donde están involucradas pequeñas pendientes. Esto permite a menudo considerar como sistemas lineales que son no lineales de lo contrario.,

Polar coordinatesEdit

Si una curva está definida en coordenadas polares por la radio expresa como una función del ángulo polar, que es r es una función de q, entonces la curvatura es

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‘2 − r r» | ( r 2 + r ‘ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r}^{2}-r\r»»\derecho|}{\left(r^{2}+{r}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

donde el primer se refiere a la diferenciación con respecto a θ.,

esto resulta de la fórmula para parametrizaciones generales, considerando la parametrización

x = R ( θ ) cos ⁡ θ y = R ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \End{aligned}}}

curva implícitaeditar

κ = | f y 2 F x x − 2 F X F y f x y + f x 2 F y y | ( f x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\derecho|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

la curvatura con signo no está definida, ya que depende de una orientación de la curva que no es proporcionada por la ecuación implícita. Además, cambiar F A-F no cambia la curva, sino que cambia el signo del numerador si el valor absoluto se omite en la fórmula anterior.

un punto de la curva donde Fx = Fy = 0 es un punto singular, lo que significa que la curva no es diferenciable en este punto, y por lo tanto que la curvatura no está definida (la mayoría de las veces, el punto es un punto de cruce o una cúspide).,

la fórmula anterior para la curvatura se puede derivar de la expresión de la curvatura del gráfico de una función mediante el uso del teorema de la función implícita y el hecho de que, en tal curva, uno tiene

d y D x = − F x F y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

puede ser útil verificar en ejemplos simples que las diferentes fórmulas dadas en las secciones anteriores dan el mismo resultado.

CircleEdit

una parametrización común de un círculo de radio r Es γ (t) = (r cos t, r sin t)., La fórmula para la curvatura da

k ( t ) = r 2 sen 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sen 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

se deduce, como se esperaba, que el radio de curvatura es el radio del círculo, y que el Centro de curvatura es el centro del círculo.

el círculo es un caso raro donde la parametrización de la longitud del arco es fácil de calcular , ya que es

γ ( s ) = ( r cos ⁡ s r, R sin ⁡ s r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}}\right).}

es un arco de longitud parametrización, ya que la norma de

γ ‘ ( s ) = ( − pecado ⁡ s r , cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}»(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

es igual a uno. Esta parametrización da el mismo valor para la curvatura, ya que equivale a la división por r3 tanto en el numerador como en el denominador en la fórmula anterior.

el mismo círculo también se puede definir por la ecuación implícita F(x, Y) = 0 con F(x, y) = x2 + y2 – r2., Entonces, la fórmula para la curvatura en este caso da

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F s s | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\derecho|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{aligned}}}

ParabolaEdit

Considere la parábola y = ax2 + bx + c.

es la gráfica de una función con derivadas 2ax + b, y la segunda derivada 2a. Así, el firmado con una curvatura

k ( x ) = 2 ( 1 + ( 2 x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(x)={\frac {2a}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Tiene el signo de a para todos los valores de x., Esto significa que, si a > 0, la concavidad está dirigida hacia arriba en todas partes; si a < 0, la concavidad está dirigida hacia abajo; para a = 0, la curvatura es cero en todas partes, confirmando que la parábola degenera en una línea en este caso.

la curvatura (sin signo) es máxima para x = –b/2a, es decir, en el punto estacionario (derivada cero) de la función, que es el vértice de la parábola.

considere la parametrización γ(t) = (T, at2 + bt + c) = (x, y). La primera derivada de x es 1, y la segunda derivada es cero., Sustituir en la fórmula las parametrizaciones generales da exactamente el mismo resultado que el anterior, con X reemplazado por t. si usamos primos para derivadas con respecto al parámetro t.

la misma parábola también se puede definir por la ecuación implícita F(x, y) = 0 con F(x, y) = ax2 + bx + c – y.como Fy = -1, y Fyy = Fxy = 0, se obtiene exactamente el mismo valor para la curvatura (sin signo). Sin embargo, la curvatura con signo no tiene sentido aquí, ya que –F(x, y) = 0 es una ecuación implícita válida para la misma parábola, que da el signo opuesto para la curvatura.,

fórmulas de Frenet–Serret para curvas planesedit

la expresión de la curvatura en términos de parametrización de la longitud del arco es esencialmente la primera fórmula de Frenet-Serret

T ‘ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} «(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

donde los primos se refieren a las derivadas con respecto a la longitud del arco s, y N(s) es el vector unitario normal en la dirección de T'(S).

como las curvas planas tienen torsión cero, la segunda fórmula de Frenet–Serret proporciona la relación

d N D s = − κ T , = − κ D γ d s., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}

para una parametrización general por un parámetro t, se necesitan expresiones que involucren derivadas con respecto a t. como estas se obtienen multiplicando por ds/dt las derivadas con respecto a s, Se tiene, para cualquier parametrización adecuada

N ‘( t ) = − κ ( t ) γ ‘ ( t ) . {\displaystyle \mathbf {N} » (t) = – \kappa (t) {\boldsymbol {\gamma }}»(t).}

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