El Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras
el Objetivo de Aprendizaje(s)
· Utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo.
· resolver problemas de aplicación que involucran el Teorema de Pitágoras.,
Introducción
hace mucho tiempo, un matemático griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante sobre los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de las longitudes de cada una de las piernas del triángulo es la misma que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo. Esta propiedad-que tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura—ahora se llama el Teorema de Pitágoras.
echemos un vistazo a cómo este teorema puede ayudarte a aprender más sobre la construcción de triángulos., Y la mejor parte – ni siquiera tienes que hablar griego para aplicar el descubrimiento de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras
Pitágoras estudió derecho triángulos, y las relaciones entre las piernas y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, antes de derivar su teoría.,
El Teorema de Pitágoras
Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
esta relación está representada por la fórmula: 
en el cuadro de arriba, puede haber notado la palabra» cuadrado», así como los pequeños 2s en la parte superior derecha de las letras en ., Cuadrar un número significa multiplicarlo por sí mismo. Así, por ejemplo, para cuadrar el número 5 multiplicas 5 * 5 • y para cuadrar el número 12, multiplicas 12 * 12. Algunos cuadrados comunes se muestran en la siguiente tabla.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Cuando vea la ecuación , usted puede pensar en esto como «la longitud del lado de un momento a sí mismo, además de la longitud del lado b veces sí es la misma que la longitud del lado c veces sí.,»
probemos todo el Teorema de Pitágoras con un triángulo rectángulo real.
este teorema es válido para este triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de las longitudes de ambas piernas es la misma que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Y, de hecho, es cierto para todos los triángulos rectángulos.
el Teorema de Pitágoras también se puede representar en términos de área. En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado extraído de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados que se extraen de las dos piernas., Puede ver esto ilustrado a continuación en el mismo triángulo rectángulo 3-4-5.
tenga en cuenta que el Teorema de Pitágoras sólo funciona con los triángulos rectángulos.
Encontrar la Longitud de la Hipotenusa
puede utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo si se conocen la longitud del triángulo de los otros dos lados, llamado las piernas. Dicho de otra manera, si conoces las longitudes de A y b, puedes encontrar C.,
en el triángulo anterior, se le dan medidas para las piernas a y b: 5 y 12, respectivamente. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar un valor para la longitud de c, la hipotenusa.
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El Teorema de Pitágoras. |
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Sustituir los valores conocidos de a y b., |
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Evaluar. |
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Simplificar. Para encontrar el valor de c, piense en un número que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual a 169. ¿10 funciona? ¿Qué tal 11? 12? 13? (Puede usar una calculadora para multiplicar si los números no son familiares.) |
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13 = c |
La raíz cuadrada de 169 es de 13., |
Usando la fórmula, usted encuentra que la longitud de c, la hipotenusa, es 13.
en este caso, usted no sabía el valor de c-se le dio el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, y tuvo que averiguarlo a partir de ahí. Cuando se le da una ecuación como y se le pide que encuentre el valor de c, esto se llama encontrar la raíz cuadrada de un número. (Observe que encontró un número, c, cuyo cuadrado era 169.,)
Encontrar una raíz cuadrada requiere algo de práctica, pero también requiere conocimiento de multiplicación, división y un poco de ensayo y error. Mira la tabla de abajo.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Si puedes recordar esos números cuadrados—o si puedes usar una calculadora para encontrarlos-entonces encontrar muchas raíces cuadradas comunes será solo cuestión de recordar.
¿para cuál de estos triángulos es 
?,
A)
B)
C)
D)
Encontrar la Longitud de una Pierna.
Puede utilizar la misma fórmula para encontrar la longitud de un triángulo recto de la pierna si se dan las medidas de las longitudes de la hipotenusa y el otro cateto. Considere el siguiente ejemplo.,
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Example |
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Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
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a = ?, b = 6 c = 7 |
En este triángulo rectángulo, se le da las medidas de la hipotenusa, c, y una pierna, b. La hipotenusa es siempre opuesto al ángulo derecho y siempre es el lado más largo del triángulo. |
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Para encontrar la longitud de la pierna, sustituya los valores conocidos en el Teorema de Pitágoras., |
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Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
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Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, que puedes redondear a 3.6. (Ya que está aproximando, utiliza el símbolo |
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Respuesta |
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.)
cuál de las siguientes utiliza correctamente el Teorema de Pitágoras para encontrar a los desaparecidos lado, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
D) 
Usando el Teorema para Resolver Problemas del Mundo Real
El Teorema de Pitágoras es quizás uno de los más útiles las fórmulas que aprenderá en matemáticas, debido a que hay muchas aplicaciones en el mundo real la configuración., Los arquitectos e ingenieros utilizan esta fórmula ampliamente al construir rampas, puentes y edificios. Mira los siguientes ejemplos.
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Ejemplo |
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Problema |
Los propietarios de una casa que desea convertir una escalera que conduce desde el suelo hasta su porche de atrás en una rampa. El porche está a 3 pies del suelo, y debido a las regulaciones de construcción, la rampa debe comenzar a 12 pies de distancia de la base del porche. ¿Cuánto durará la rampa?, Use una calculadora para encontrar la raíz cuadrada y redondee la respuesta a la décima más cercana. |
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Para resolver un problema como este, que a menudo tiene sentido dibujar un diagrama que muestra en la que las piernas y la hipotenusa del triángulo mentira., |
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a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Usted sabe que el triángulo es un triángulo rectángulo ya que el suelo y la porción elevada del porche son perpendiculares – esto significa que se puede utilizar el Teorema de Pitágoras para resolver este problema. Identificar a, b, y c de. |
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Utilice el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de c., |
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12.4 = c |
Utilizar una calculadora para hallar c. La raíz cuadrada de 153 es 12.369…, así que usted puede redondo que a 12.4. |
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Respuesta |
La rampa será de 12,4 metros de largo., |
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Ejemplo |
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Problema |
Un velero tiene una gran vela en la forma de un triángulo rectángulo. El borde más largo de la vela mide 17 yardas, y el borde inferior de la vela es de 8 yardas. ¿Qué altura tiene la vela?, |
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Dibujar una imagen para ayudarle a visualizar el problema. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre será el lado más largo, así que aquí debe ser 17 yardas. El problema también te dice que el borde inferior del triángulo es de 8 yardas., |
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Setup the Pythagorean Theorem. |
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a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
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Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
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Resumen
El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de un triángulo de piernas es el mismo que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo. Este teorema está representado por la fórmula . En pocas palabras, si conoces las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, puedes aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado. Recuerde, este teorema sólo funciona para triángulos rectángulos.