Función de densidad de probabilidad
por Marco Taboga, PhD
la distribución de una variable aleatoria continua se puede caracterizar a través de su función de densidad de probabilidad (pdf). La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor en un intervalo dado es igual a la integral de su función de densidad de probabilidad sobre ese intervalo, que a su vez es igual al área de la región en el plano xy limitado por el eje x, el pdf y las líneas verticales correspondientes a los límites del intervalo.,
por ejemplo, en la imagen debajo de la línea azul es el pdf de una variable aleatoria normal y el área de la región roja es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor comprendido entre -2 y 2.
Definición
La siguiente es una definición formal.
definición la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua 
es una función 
tal que
para cualquier intervalo .,
El conjunto de valores para que se llama el apoyo de .,para integrar la función de densidad de probabilidad en ese intervalo:
La densidad de probabilidad no es una probabilidad
es importante entender una diferencia fundamental entre la función de densidad de probabilidad, que caracteriza la distribución de una variable aleatoria continua, y la función de masa de probabilidad, que caracteriza la distribución de una variable aleatoria discreta (recuerde: una variable aleatoria es discreta si el número de valores que puede tomar es contable, mientras que el número de valores que tomar es incontable)., La función de masa de probabilidad de una variable discreta es una función que le da a usted, para cualquier número real , la probabilidad de que será igual a . Por el contrario, si es una variable continua, su función de densidad de probabilidad evaluado en un punto dado no es la probabilidad de que será igual a ., Como cuestión de hecho, esta probabilidad es igual a cero para cualquier porque
donde es cualquier primitiva (o integral indefinida) de .
si está desconcertado por el último resultado, se le aconseja leer la conferencia sobre eventos de probabilidad cero.
aunque no es una probabilidad, el valor del pdf en un punto dado se puede dar una interpretación directa:
donde es un pequeño incremento.,
La prueba de que nosotros vamos a dar no es riguroso. Más bien, nos estamos centrando en la intuición. En aras de la simplicidad, asumimos que el pdf es una función continua. Estrictamente hablando, esto no es necesario, aunque la mayoría de los PDF que se encuentran en la práctica son continuos (por definición, un pdf debe ser integrable; sin embargo, mientras que todas las funciones continuas son integrables, no todas las funciones integrables son continuas)., Si el pdf es continua y es pequeño, entonces está bien aproximada por cualquier perteneciente al intervalo 
. Se deduce que 
en la igualdad aproximada anterior, consideramos la probabilidad de queserá igual ao a un valor perteneciente a un intervalo pequeño cerca de. En particular, consideramos el intervalo ., La probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo pequeño que estamos considerando. La constante de proporcionalidad es la función de densidad de probabilidad de evaluados en el . Por lo tanto, cuanto mayor sea el pdf en un punto dado , mayor será la probabilidad de que tome un valor cercano a .,
conceptos relacionados
los conceptos relacionados son los de:
-
función de densidad de probabilidad conjunta, que caracteriza la distribución de un vector aleatorio continuo;
-
función de densidad de probabilidad marginal, que caracteriza la distribución de un subconjunto de entradas de un vector Aleatorio;
-
función de densidad de probabilidad condicional, que es un pdf obtenido condicionando la realización de otra variable aleatoria.,
más detalles
las funciones de densidad de probabilidad se discuten con más detalle en la conferencia titulada variables aleatorias.
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