Integer (Español)
puntos Rojos representan los pares ordenados de números naturales. Los puntos rojos vinculados son clases de equivalencia que representan los enteros azules al final de la línea.
en la enseñanza de la escuela primaria, los enteros a menudo se definen intuitivamente como los números naturales (positivos), cero, y las negaciones de los números naturales., Sin embargo, este estilo de definición conduce a muchos casos diferentes (cada operación aritmética necesita ser definida en cada combinación de tipos de enteros) y hace tedioso probar que los enteros obedecen las diversas leyes de la aritmética. Por lo tanto, en las matemáticas modernas de teoría de conjuntos, a menudo se usa una construcción más abstracta que permite definir operaciones aritméticas sin distinción de casos. Los enteros pueden ser construidos formalmente como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales (a,b).,
la intuición es que (a,b) representa el resultado de restar b de A. para confirmar nuestra expectativa de que 1 − 2 y 4 − 5 denotan el mismo número, definimos una relación de equivalencia ~ en estos pares con la siguiente regla:
( a , b) {(c , d) {\displaystyle (A,b)\sim (c,d)}
precisamente cuando
A + d = b + C. {\displaystyle A + d = b + C.}
La Suma y multiplicación de enteros se pueden definir en términos de las operaciones equivalentes en los números naturales; usando para denotar la clase de equivalencia que tiene (a, b) como miembro, uno tiene:
+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \cdot :=.}
la negación (o inversa aditiva) de un entero se obtiene invirtiendo el orden del par:
− := . {\displaystyle -:=.}
Por lo tanto, la resta se puede definir como la adición del inverso aditivo:
− := . {\displaystyle -:=.}
El estándar de la ordenación de los números enteros está dada por:
< {\displaystyle <} si y sólo si a + d < b + c . {\displaystyle A + D< b + c.,}
se verifica fácilmente que estas definiciones son independientes de la elección de los representantes de las clases de equivalencia.
Por lo tanto, se denota por
{a − b , si a ≥ b − ( b − a ) , si a < b . {\displaystyle {\begin{casos}a-b&{\mbox{si }}a\geq b\\-(b-a)&{\mbox{si }}<b.\end{casos}}}
Si los números naturales se identifican con los correspondientes números enteros (mediante la incrustación se mencionó anteriormente), esta convención no crea ambigüedad.,
esta notación recupera la representación familiar de los enteros como {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Algunos ejemplos son:
0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}
en informática teórica, otros enfoques para la construcción de enteros son utilizados por probadores de teoremas automatizados y motores de reescritura de términos.Los enteros se representan como términos algebraicos construidos usando algunas operaciones básicas (por ejemplo, cero, succ, pred) y, posiblemente, usando números naturales, que se supone que ya están construidos (usando, digamos, el enfoque de Peano).
Existen al menos diez construcciones de enteros con signo., Estas construcciones difieren de varias maneras: el número de operaciones básicas utilizadas para la construcción, el número (generalmente, entre 0 y 2) y los tipos de argumentos aceptados por estas operaciones; la presencia o ausencia de números naturales como argumentos de algunas de estas operaciones, y el hecho de que estas operaciones son constructores libres o no, es decir, que el mismo entero puede representarse utilizando solo uno o varios términos algebraicos.,
la técnica para la construcción de enteros presentada anteriormente en esta sección corresponde al caso particular donde hay un solo par de operaciones básicas (x, y) {\displaystyle (x,y)} que toma como argumentos dos números naturales x {\displaystyle x} E y {\displaystyle Y} , y devuelve un entero (igual a x − y {\displaystyle x-y} ). Esta operación no es libre ya que el entero 0 se puede escribir par(0,0), o par(1,1), o par(2,2), etc., Esta técnica de construcción es utilizada por la asistente de pruebas Isabelle; sin embargo, muchas otras herramientas utilizan técnicas de construcción alternativas, notables las basadas en Constructores libres, que son más simples y se pueden implementar de manera más eficiente en computadoras.