La Ley de Snell

como se muestra en la figura de la derecha, supongamos que el índice de refracción del medio 1 y el medio 2 son n 1 {\displaystyle n_{1}} y n 2 {\displaystyle n_{2}} respectivamente. La luz entra en el medio 2 desde el medio 1 a través del punto O.

Las velocidades de fase de la luz en el medio 1 y medio 2 son

v 1 = C / n 1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} y v 2 = c / n 2 {\displaystyle V_{2}=c/n_{2}} respectivamente.,

c {\displaystyle C} es la velocidad de la luz en el vacío.

sea T el tiempo que necesita la luz para viajar de un punto a a Q a través del punto O al punto P.

T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + l 2 − 2 l x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

donde a, b, l y x son como se indica en la mano derecha de la figura, siendo x la variable de parámetros.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 sin ⁡ θ 1 c = n 2 sin ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

derivación del principio de huygenseditar

alternativamente, la ley de Snell se puede derivar usando la interferencia de todos los caminos posibles de onda de luz de la fuente al observador—resulta en interferencia destructiva en todas partes excepto en extremos de fase (donde la interferencia es constructiva)—que se convierten en caminos reales.,

derivación de las ecuaciones de Maxwelleditar

otra forma de derivar la Ley de Snell implica una aplicación de las condiciones generales de contorno de las ecuaciones de Maxwell para la radiación electromagnética.,θ 1 = n 2 k 0 pecado ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 el pecado ⁡ θ 1 = n 2 sen ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}

Vector formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflejar} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Esto se refleja vector de dirección de los puntos de la espalda hacia el lado de la superficie de dónde proviene la luz.,{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\derecho)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n 1 n 2 ) l → + ( n 1 n 2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refractan} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r l → + ( r c − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refractan} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}

Ejemplo:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , i = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflejar} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refractan} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

los valores del coseno se pueden guardar y utilizar en las ecuaciones de Fresnel para calcular la intensidad de los rayos resultantes.