Propiedad asociativa
una operación binaria ∗ {\displaystyle *} en un conjunto S que no satisface la ley asociativa se llama no asociativa. Simbólicamente,
( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) para alguna x , y , z ∈ S . {\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{para algunos }}x,y,z\in S.}
Para este tipo de operación el orden de evaluación no importa., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
tenga en cuenta También que infinitas sumas no son generalmente asociativa, por ejemplo:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\puntos \,=\,0}
mientras que
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\puntos \,=\,1}
El estudio de la no-estructuras asociativas surge de razones algo diferentes de la corriente principal de la clásica álgebra., Un área dentro del álgebra no asociativa que ha crecido muy grande es la de álgebras de Lie. Allí la ley asociativa es reemplazada por la identidad Jacobi. Las álgebras de Lie resumen la naturaleza esencial de las transformaciones infinitesimales, y se han vuelto omnipresentes en las matemáticas.
hay otros tipos específicos de estructuras no asociativas que se han estudiado en profundidad; estas tienden a provenir de algunas aplicaciones específicas o áreas como las matemáticas combinatorias. Otros ejemplos son cuasigrupo, cuasifield, anillo no asociativo, álgebra no asociativa y magmas no asociativos conmutativos.,
Nonassociativity of floating point calculationEdit
en matemáticas, la suma y multiplicación de números reales es asociativa. Por el contrario, en Ciencias de la computación, la suma y multiplicación de números de coma flotante no es asociativa, ya que los errores de redondeo se introducen cuando se unen valores de tamaño diferente.
aunque la mayoría de las computadoras calculan con 24 o 53 bits de mantissa, esta es una fuente importante de error de redondeo, y enfoques como el algoritmo de suma de Kahan son formas de minimizar los errores., Puede ser especialmente problemático en computación paralela.
notación para operaciones no asociativasedit
en general, los paréntesis deben usarse para indicar el orden de evaluación si una operación no asociativa aparece más de una vez en una expresión (a menos que la notación especifique el orden de otra manera, como 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Sin embargo, los matemáticos están de acuerdo en un orden particular de evaluación para varias operaciones no asociativas comunes. Esto es simplemente una convención notacional para evitar paréntesis.,
una operación asociativa izquierda es una operación no asociativa que se evalúa convencionalmente de izquierda a derecha, es decir,
X ∗ Y ∗ z = ( x ∗ Y ) ∗ z W ∗ x ∗ Y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ Y ) ∗ z etc. } para todos w , x , Y, z ∈ s {\displaystyle \left.{\begin{matriz}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\mbox{for all }}w, x, Y, z \ in S}
mientras que una operación asociativa derecha se evalúa convencionalmente de derecha a izquierda:
X ∗ Y ∗ z = x ∗ (Y ∗ z ) w ∗ x ∗ Y ∗ z = W ∗ (x ∗ (Y ∗ z ) ) etc., } para todos w , x , Y, z ∈ s {\displaystyle \left.{\begin{matriz}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}} \ qquad \qquad \ qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\mbox{for all }}w, x,y, z\in S}
se producen las operaciones asociativas izquierda y derecha., A la izquierda asociativa de operación incluyen los siguientes:
- la Resta y la división de números reales:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- Función de la aplicación:
( f x y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y)} Esta notación puede ser motivada por el alarmada isomorfismo.,
Las operaciones asociativas a la derecha incluyen lo siguiente:
- exponenciación de números reales en notación superíndice:
x Y z = x(Y z ) {\displaystyle x^{Y^{z}}=x^{(Y^{z})}} la exponenciación se usa comúnmente con corchetes o asociativamente a la derecha porque una operación repetida de exponenciación asociativa a la izquierda es de poco uso. Los poderes repetidos se reescribirían principalmente con multiplicación: (x Y ) z = x (Y z ) {\displaystyle(x^{Y})^{z}=x^{(yz)}} formateado correctamente, el superíndice se comporta inherentemente como un conjunto de paréntesis; E. G., en la expresión 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x + 3}} la adición se realiza antes de la exponenciación a pesar de que no hay paréntesis explícitos 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} envueltos alrededor de ella. Así, dada una expresión como x y z {\displaystyle x^{y^{z}}} , el pleno del exponente y z {\displaystyle y^{z}} de la base x {\displaystyle x} se evalúa primero., Sin embargo, en algunos contextos, especialmente en la escritura a mano, la diferencia entre x y z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} y x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} puede ser difícil de ver. En tal caso, la derecha-asociatividad suele estar implícita.,
- Definición de función
Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x x Y x x − Y = x x ( Y x x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\Mapsto x-y)} el uso de la notación asociativa derecha para estas operaciones puede estar motivado por la correspondencia curry-Howard y por el isomorfismo currying.
Las operaciones no asociativas para las que no se define una orden de evaluación convencional incluyen las siguientes.,splaystyle un\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}
- se Toma el producto cruzado de tres vectores:
a → × b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → para algunos a → a , b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ para algunos }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}
- se Toma el pares promedio de los números reales:
( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 para todo x , y , z ∈ R con x ≠ z ., {\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{para todo }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ con }}x\neq z.}