Pythagorean Triple (Español)
Less…,
A Pythagorean triple is a triple of positive integers 
, 
, and 
such that a right triangle exists with legs 
and hypotenuse 
., Por el teorema de Pitágoras, esto es equivalente a encontrar los enteros positivos 
, 
, y 
satisfactorio
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El más pequeño y mejor conocido de la terna Pitagórica es 
. El triángulo rectángulo que tiene estas longitudes laterales a veces se llama el triángulo 3, 4, 5.,
Las gráficas de puntos en el plano
tal que
es un Triple pitagórico se muestran arriba para Límites sucesivamente más grandes. Estos gráficos incluyen valores negativos de 
y 
, y por lo tanto son simétricos sobre los ejes x E y.
de manera similar, las gráficas de puntos en el plano 
de tal manera que 
es un Triple pitagórico se muestran arriba para Límites sucesivamente más grandes.,
es habitual considerar solo triples pitagóricos primitivos (también llamados triples «reducidos») en los que 
y 
son primos relativos, ya que otras soluciones pueden generarse trivialmente a partir de las primitivas. Los triples primitivos se ilustran arriba, y se puede ver inmediatamente que las líneas radiales correspondientes a los triples imprimitivos en la gráfica original están ausentes en esta figura., Para soluciones primitivas, una de 
o 
debe ser par, y la otra impar (Shanks 1993, p. 141), con 
siempre impar. ,=»7a4ddb31b8″>
Hall (1970) and Roberts (1977) prove that 
is a primitive Pythagorean triple iff
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where 
is a finite product of the matrices 
, 
, 
.,662c5″>
Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as
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for 
, which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case 
, 
).,
The early Greeks gave
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where 
and 
are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting 
and 
).
Let 
be a Fibonacci number., Then
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generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers 
, 
, and constructing the Fibonacci-like sequence 
with terms 
, 
, 
, 
, 
, …, generates distinct Pythagorean triples
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(Horadam 1961), where
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where 
is a Lucas number.
For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, los dos números más pequeños) es siempre divisible por 12, y el producto de los tres lados es divisible por 60. No se sabe si hay dos triples tener el mismo producto. La existencia de estos dos triples corresponde a un valor distinto de cero de la solución a la ecuación de Diophantine
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(Guy, 1994, pág. 188).,
For a Pythagorean triple (
, 
, 
),
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where 
is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc»>
(Robertson 1996).,
El área de un triángulo correspondiente a la terna Pitagórica 
es
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Fermat demostró que una serie de este formulario no puede ser nunca una squarenumber.,td>
The number of such triangles is then
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(23)
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Then
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(Beiler 1966, p., 116). Tenga en cuenta que 
iff 
es primo o dos veces primo. Los primeros números para 
, 2, … son 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,
Para encontrar el número de maneras 
en el que un número 
puede ser la hipotenusa de un primitivo derecho triángulo, escribir su factorización como
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donde 
s son de la forma 
y el 
s son de la forma 
.,> as a hypotenuse is
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(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, que establece que esta fórmula da el número de soluciones no primitivas solamente), donde 
es la función suma de cuadrados., en la cual 
puede ser una pierna o la hipotenusa de un triángulo está dada por
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Deje que el número de tripletas con hipotenusa 
denotarse 
, el número de tripletas con hipotenusa 
denotarse 
, y el número de primitivas triples menos de 
denotarse 
., Then the following table summarizes the values for powers of 10.
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OEIS |  ,  , … |
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A101929 | 1, 50, 878, 12467, … |
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A101930 | 2, 52, 881, 12471, … |
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A101931 | 1, 16, 158, 1593, ..,. |
Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than 
satisfies
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(OEIS A086201).
There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d»>
Then the right triangle generated by each triple (
) has common area
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Right triangles whose areas consist of a single digit include 
(area of 6) and 
(area of 666666; Wells 1986, p., 89).
en 1643, Fermat desafió a Mersenne a encontrar un triplete pitagórico cuya hipotenusa y la suma de las piernas eran cuadrados.,
A related problem is to determine if a specified integer 
can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3 y 4 no son las áreas de ningún triángulo recto de lados racionales, pero 5 es (3/2, 20/3, 41/6), al igual que 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case
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(Koblitz 1993)., No hay un método general conocido para determinar si hay una solución para arbitrario 
, pero una técnica ideada por J. Tunnell en 1983 permite descartar ciertos valores (Cipra 1996).