The Epsilon Calculus

Overview

By The turn of the century David Hilbert and Henri Poincaré were recognized as the two most important mathematicians of theirgeneration. Hilbert gama de intereses matemáticos era amplia, e incluyó un interés en los fundamentos de las matemáticas: hisFoundations de la geometría se publicó en 1899, y de la lista de cuestiones planteadas al Congreso Internacional de mathematicians en 1900, tres abordaron claramente cuestiones fundamentales.,

tras la publicación de la paradoja de Russell, Hilbertpresentó un discurso en el Tercer Congreso Internacional de matemáticas en 1904, donde, por primera vez, esbozó su plan para proporcionar una base rigurosa para las matemáticas a través de pruebas de coherencia sintáctica. Pero no volvió al tema en serio hasta 1917, cuando comenzó una serie de conferencias sobre los fundamentos de la matemática con la ayuda de Paul Bernays., Aunque Hilbert estaba impresionado por el trabajo de Russell y Whitehead en su PrincipiaMathematica, se convenció de que el intento lógico de reducir las matemáticas a la lógica no podía tener éxito, debido en particular al carácter no lógico de su axioma de reducibilidad. Al mismo tiempo, juzgó el rechazo intuicionista de la ley del medio excluido como inaceptable para las matemáticas. Por lo tanto, para responder a las preocupaciones planteadas por el descubrimiento de las paradojas lógicas y teóricas, se necesitaba un nuevo enfoque para justificar los métodos matemáticos modernos.,

para el verano de 1920, Hilbert había formulado tal enfoque. En primer lugar, los métodos matemáticos modernos debían estar representados en sistemas deductivos formales. En segundo lugar, estos sistemas formales debían demostrarse sintácticamente coherentes, no exhibiendo un modelo o reduciendo su consistencia a otro sistema, sino mediante un argumento metamatemático directo de carácter «finitario». El enfoque se hizo conocido como el programa de Hilbert. El cálculo de epsilon debía proporcionar el primer componente de este programa, mientras que su método de sustitución de epsilon debía proporcionar el segundo.,

el cálculo de epsilon es, en su forma más básica, una extensión de la lógica de predicados de primer orden con una «operación de epsilon»que selecciona, para cualquier fórmula existencial verdadera, un testigo del cuantificador existente. La extensión es conservadora en el sentido de que no añade nuevas consecuencias de primer orden. Pero, a la inversa, los cuantificadores se pueden definir en términos de los epsilons, la lógica de primer orden se puede entender en términos de cuantifier-freereasoning que implica la operación epsilon. Es esta última característica la que hace que el cálculo sea conveniente con el propósito de demostrar la coherencia., Las extensiones adecuadas del cálculo de epsilon hacen posible incrustar teorías cuantificacionales más fuertes de números y conjuntos en cálculos sin cuantificadores. Hilbert esperaba que fuera posible demostrar la coherencia de tales ampliaciones.

el cálculo de Epsilon

en su conferencia de Hamburgo en 1921 (1922), Hilbert presentó por primera vez la idea de utilizar una operación de este tipo para hacer frente al principio de laexclusión medio en un sistema formal para la aritmética., Estas ideas fueron desarrolladas en el cálculo de epsilon y el método de sustitución de epsilon en una serie de cursos de conferencias entre 1921 y 1923, e inHilbert (1923). La presentación final del epsilon-calculuscan se encuentra en la disertación de Wilhelm Ackermann (1924).

esta sección describirá una versión del cálculo correspondiente a la lógica de primer orden, mientras que las extensiones a la aritmética de primer y segundo orden se describirán a continuación.

Let \(L\) be a first-order language, which is to say, a list ofconstant, function, and relation symbols with specified arities., El conjunto de términos epsilon y el conjunto de fórmulas de \(L\) se definen de forma inductiva, simultáneamente, de la siguiente manera:

La sustitución y las nociones de variable libre y enlazada, se definen de la manera habitual; en particular, la variable \(x\) se encuadra en el término \(\varepsilon x a\). La interpretación pretendida es que\(\varepsilon X a\) denota algún \(x\) que satisfaga \(a\), si hay uno., Por lo tanto, los Términos de epsilon se rigen por el axioma siguiente («axioma transfinito» de Hilbert): \ además, el cálculo de epsilon incluye un conjunto completo de axiomas que gobiernan los conectivos de proposición clásica, y axiomas que gobiernan el símbolo de igualdad.Las únicas reglas del cálculo son las siguientes:

• Modus ponens
• sustitución: de \(A(x)\), concluir \(A(t)\), para cualquier término\(T.,\)

formas anteriores del cálculo de epsilon (como la presentada en 1923) utilizan una forma dual del operador de epsilon, en la que\(\varepsilon X a\) devuelve un valor que falsifica \(a(x)\). La versión anterior se utilizó en la disertación de Ackermann (1924), y se ha convertido en estándar.

tenga en cuenta que el cálculo que se acaba de describir no contiene cuantificadores. Los cuantificadores se pueden definir de la siguiente manera: \ los axiomas y reglas usuales de los cuantificadores se pueden derivar de estos, por lo que las definiciones anteriores sirven para incrustar lógica de primer orden en el cálculo de epsilon., Theconverse es, sin embargo, no cierto: no todas las fórmulas en el epsiloncálculo es la imagen de una fórmula cuantificada ordinaria bajo estaembedding. Por lo tanto, el cálculo de epsilon es más expresivo que el cálculo predicado, simplemente porque los Términos de epsilon se pueden combinar de maneras más complejas que los cuantificadores.

los teoremas de Epsilon

El segundo volumen de Hilbert y Bernays’ Grundlagen derMathematik (1939) proporciona una cuenta de los resultados en el cálculo de EPSILON que había sido probado por ese tiempo., Esto incluye una discusión del primer y segundo teoremas de epsilon con aplicaciones a la lógica de primer orden, el método de sustitución de epsilon para aritmética con inducción abierta,y un desarrollo de análisis (es decir, aritmética de segundo orden) con el cálculo de epsilon.

el primer y segundo teoremas de epsilon son los siguientes:

en el primer teorema de epsilon, «predicatelogic sin cuantificador» pretende incluir la regla de sustitución anterior, los axiomas sin cuantificador se comportan como sus cierres universales., Dado que el cálculo de EPSILON incluye la lógica de primer orden, el primer teorema de epsilonimplica que cualquier desvío a través de la lógica de predicados de primer orden utilizada para convertir un teorema libre de cuantificadores de axiomas libres de cuantificadores puede evitarse en última instancia. El segundo teorema de epsilon muestra que anydetour a través del cálculo de epsilon utilizado para derivar un teorema en thelanguage del cálculo del predicado de axiomas en el lenguaje del cálculo del predicado también se puede evitar.,

Más generalmente, el primer teorema de epsilon establece que los cuantificadores y los epsilones siempre pueden eliminarse de una prueba de Fórmula Libre de acuantificadores de otras fórmulas libres de cuantificadores. Esto es de particular importancia para el programa de Hilbert, ya que los epsilons juegan el papel de elementos ideales en las matemáticas. Si las fórmulas libres de quantificadores corresponden a la parte» real » de la teoría matemática, el primer teorema de epsilon muestra que los elementos idealesse pueden eliminar de las pruebas de afirmaciones reales, siempre que los axiomas también sean afirmaciones reales.,

esta idea se hace precisa en un cierto teorema de consistencia general que Hilbert y Bernays derivan del primer teorema de epsilon, que dice lo siguiente: Sea \(F\) cualquier sistema formal que resulte del cálculo de predicados por adición de símbolos constantes, funciones y predicados más axiomas verdaderos que son cuantificadores y libres de EPSILON, y suponga que la verdad de las fórmulas atómicas en el nuevo idioma es decidible. Entonces \(F\) es consistente en el fuerte senso de que cada cuantificador derivable – y fórmula libre de epsilon-es verdadera.,Hilbert y Bernays utilizan este teorema para dar una consistencia finitista a prueba de geometría elemental (1939, Sec 1.4).

la dificultad para dar pruebas de consistencia para la aritmética y el análisis consiste en extender este resultado a los casos donde los axiomas también contienen elementos ideales, es decir, términos epsilon.

Más información. Las fuentes originales sobre el cálculo de epsilon y los teoremas de epsilon (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)permanecen disponibles sólo en alemán. Leisenring 1969 es una introducción relativamente moderna al cálculo épsilon en inglés.,El primer y segundo teorema de epsilon se describen en detalle en Zach2017. Moser & Zach 2006 proporciona un análisis detallado del caso sin igualdad. Las pruebas originales se dan para las presentaciones axiomáticas del cálculo épsilon. Maehara 1955 fue el primer cálculo secuente con Términos epsilon. Mostró cómo provethe segundo teorema de epsilon utilizando la eliminación de corte, y thenstrengthened el teorema para incluir el esquema de extensionalidad (Maehara 1957). Baaz et al. 2018 dar una versión mejorada del teorema de firstepsilon., Las correcciones a errores en la literatura (incluyendo el libro de Leisenring) se pueden encontrar en Flannagan 1975; Ferrari 1987;y Yasuhara 1982. Una variación del cálculo de epsilon basado en Skolemfunctions, y por lo tanto compatible con la lógica de primer orden, se discute en Davis & Fechter 1991.

Teorema de Herbrand

la versión del teorema de Herbrand acaba de describirse inmediatamente a partir del primer teorema de Epsilon extendido de Halbert y Bernays., Sin embargo, usando métodos asociados con la prueba del segundo teorema de epsilon, Hilbert y Bernays derivaron un resultado más fuerte que, al igual que la formulación original de Herbrand,proporciona más información. Para entender las dos partes del teorema a continuación, ayuda a considerar un ejemplo en particular. Sea \(a\) la fórmula

\ donde \(B\) no contiene cuantificadores. La negación de \(A\) es equivalente a \ por Skolemizing, i. e.,, usando símbolos de función para presenciar los cuantificadores existenciales, obtenemos\ tomando la negación de esto, vemos que la forma original es «equivalente» a \

Cuando nos referimos a una instancia de la matriz de \(A^H\), queremos decir una fórmula que se obtiene sustituyendo Términos en el lenguaje expandido en la matriz de \(A^H\). Ahora podemos afirmar que la formulación de Hilbert andBernays de

El teorema de Herbrand también se puede obtener mediante el uso de cuteliminación, a través del «teorema de consecuencia media» de Gentzen.,»Sin embargo, la prueba usando el segundo teorema de epsilon tiene la distinción de ser la primera prueba completa y correcta del teorema de Herbrand. Además, y esto rara vez se reconoce,mientras que la prueba basada en la eliminación de cortes proporciona un límite en la longitud de la disyunción de Herbrand solo en función del rango de corte y la complejidad de las fórmulas de corte en la prueba, la longitud obtenida de la prueba basada en el cálculo de epsilon proporciona un límite como función del número de aplicaciones del axioma transfinito, y el rango y grado de los Términos de epsilon que ocurren en ella., En otras palabras, la longitud de la disyunción de Herbrand depende solo de la complejidad cuantitativa de las sustituciones involucradas,y, por ejemplo, no en absoluto de la estructura proposicional o la longitud de la prueba.

la versión del teorema de Herbrand expuesta al principio de esta sección es esencialmente el caso especial de (2) en el que LaFormula \(a\) es existencial. A la luz de este caso especial, (1) es equivalente a la afirmación de que una fórmula \(A\) es lógica de predicado de orden inferior derivable si y solo si \(A^H\) lo es., La forwarddirection de esta equivalencia es mucho más fácil de probar; de hecho, para cualquier fórmula \(a, a \rightarrow A^H\) es derivable en la lógica de predicados.Probar la dirección inversa implica eliminar los símbolos de función adicionales en \(A^H\), y es mucho más difícil, especialmente en presencia de igualdad. Es aquí donde los métodos epsilon juegan un papel central.

una aplicación sorprendente del teorema de Herbrand y métodos relacionados se encuentra en el análisis de Luckhardt (1989) del teorema de Roth. Para una discusión de extensiones útiles de los métodos de Herbrand, ver Sieg 1991.,Una versión modelo-teórica de esto se discute en Avigad 2002a.

el método de sustitución de Epsilon y aritmética

como se señaló anteriormente, históricamente, el interés principal en el epsiloncálculo fue como un medio para obtener pruebas de consistencia.Las conferencias de Hilbert de 1917-1918 ya señalan que onecan fácilmente probar la consistencia de la lógica proposicional, tomando variables proposicionales y fórmulas para variar sobre los valores de verdad 0 y 1, e interpretando los conectivos lógicos como las operaciones aritméticas correspondientes., Del mismo modo, se puede probar la consistencia de la lógica predicita (o el cálculo épsilon puro), especializándose en interpretaciones donde el universo del discurso tiene un solo elemento.Estas consideraciones sugieren el siguiente programa más general para mejorar la consistencia:

• extender el cálculo de epsilon de tal manera que represente mayores proporciones de las matemáticas.
• mostrar, usando métodos finitistas, que cada prueba en el extendedsystem tiene una interpretación consistente.,

supongamos que queremos mostrar que el sistema anterior es consistente; en otras palabras, queremos mostrar que no hay prueba de la fórmula \(0 =1\). Empujando todas las sustituciones a los axiomas y reemplazando las variables libres por la constante 0, es suficiente para mostrar que hay una prueba noproposicional de \(0 = 1\) de un conjunto finito de instancias cerradas de los axiomas. Para eso, basta con mostrar que, dado cualquier finiteset de instancias cerradas de axiomas, uno puede asignar valores numéricos a los Términos de tal manera que todos los axiomas son verdaderos bajo la interpretación., Dado que las operaciones aritméticas \ ( + \ ) y \(\times\) se pueden interpretar de la manera habitual, la única dificultad radica en asignar valores apropiados a los Términos de epsilon.

el método de sustitución de EPSILON de Hilbert se puede describir, aproximadamente, de la siguiente manera:

una prueba de consistencia finitaria se obtiene una vez que se muestra de manera afinitariamente aceptable que este proceso de»reparaciones» sucesivas termina. Si lo hace, todas las fórmulas críticas son fórmulas verdaderas sin epsilon-términos.,

Esta idea básica (la «Hilbertsche Ansatz») fue establecida por Hilbert en su charla de 1922 (1923), y elaborada en lecturesin 1922-23. Los ejemplos dados allí, sin embargo, solo tratan de pruebas en las que todos los casos del axioma transfinito corresponden a un único término epsilon \(\varepsilon x A(x)\). El desafío era extender el enfoque a más de un término de epsilon, a los epsilonterms anidados, y en última instancia a los epsilons de segundo orden (con el fin de obtener una prueba de consistencia no solo de aritmética, sino de análisis).,

esto es solo un bosquejo de las dificultades involucradas en extender la idea de Wilbert al caso general. Ackermann (1924) proporcionó tal generalización utilizando un procedimiento que «retrocede»cada vez que una nueva interpretación en una etapa dada resulta en la necesidad de corregir una interpretación ya encontrada en una etapa anterior.

el procedimiento de Ackermann se aplicó a un sistema de segundo orden aritmético, en el que, sin embargo, los Términos de segundo orden estaban restringidos soas para excluir la unión cruzada de epsilons de segundo orden., Esto equivale,aproximadamente, a una restricción a la Comprensión aritmética como el principio formador de conjuntos disponible (ver la discusión al final de esta sección). Surgieron más dificultades con los Términos epsilon de segundo orden, y rápidamente se hizo evidente que la prueba, tal como era, era falaz. Sin embargo, nadie en la escuela de Hilbert se dio cuenta de la extensión de la dificultad hasta 1930, cuando Gödel anunció sus resultados de incompletitud., Hasta entonces, se creía que la prueba (al menos con algunas modificaciones introducidas por Ackermann, algunas de las cuales involucraban ideas de la versión de von Neumann (1927) del método de sustitución épsilons) pasaría por lo menos por la parte de primer orden. Hilbert y Bernays (1939) sugieren que los métodos utilizados onlyprovides una prueba de consistencia para la aritmética de primer orden con openinduction. En 1936, Gerhard Gentzen logró dar una prueba de la consistencia de la aritmética de primer orden en una formulación basada en la lógica predicita sin el símbolo de epsilon., Esta prueba utiliza la inducción de transferencia hasta \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) fue más tarde capaz de adaptar las ideas de Gentzen para dar una prueba de coherencia correcta de la aritmética de primer orden utilizando el método de sustitución de EPSILON.

el análisis, o aritmética de segundo orden, es la extensión de la aritmética de primer orden con el esquema de comprensión para las formas arbitrarias de segundo orden. La teoría es impresionante, ya que permite definir conjuntos de números naturales utilizando cuantificadores que abarcan todo el universo de conjuntos, incluyendo, implícitamente, el conjunto que se define., Se pueden obtener fragmentos predicativos de esta teoría restringiendo el tipo de fórmulas permitidas en el axioma de comprensión. Por ejemplo, la restricción discutida en relación conackermann anteriormente corresponde al esquema de Comprensión aritmética, en el que las fórmulas no implican cuantificadores de segundo orden. Existen varias formas de obtener fragmentos más fuertes delanálisis que, sin embargo, están justificadas predictivamente., Por ejemplo,se obtiene un análisis ramificado asociando un rango ordinal a variables de conjunto; aproximadamente, en la definición de un conjunto de un rango dado,los cuantificadores varían solo sobre conjuntos de rango inferior, es decir, aquellas definiciones que son lógicamente anteriores.

Más información. Los earlyproofs de Hilbert y Ackermann se discuten en Zach 2003; 2004. La prueba de Von Neumann es el tema de Bellotti 2016. La prueba de Ackermann de 1940 se discute en Hilbert & Bernays 1970, y Wang 1963. Una presentación moderna isgiven por Moser 2006., Una aplicación temprana de la sustitución de epsilon es la interpretación sin contraejemplo (Kreisel 1951).

desarrollos más recientes

en esta sección discutimos el desarrollo del método de sustitución epsilon para obtener resultados de consistencia para sistemas fuertes; estos resultados son de naturaleza matemática. Desafortunadamente, no podemos discutir los detalles de las pruebas aquí, pero nos gustaría indicar que el método de sustitución de epsilon no murió con el programa de Hilbert, y que una cantidad significativa de la investigación actual se lleva a cabo en epsilon-formalismos.,

Las pruebas de consistencia de Gentzen para la aritmética lanzaron un campo de investigación conocido como análisis ordinal, y el programa de medición de la fuerza de las teorías matemáticas que utilizan notaciones ordinales todavía se lleva a cabo hoy en día. Esto es particularmente relevante para el programa extendido de Hilbert, donde el objetivo es justificar las matemáticas clásicas en relación con los sistemas constructivos, orquasi-constructivos., Los métodos de eliminación de cortes de Gentzen (y las extensiones a la lógica infinitaria desarrolladas por PaulLorentzen, Petr Novikov y Kurt Schütte) han suplantado, en gran parte, los métodos de sustitución de epsilon en estas actividades. Pero los métodos de epsiloncálculo proporcionan un enfoque alternativo, y todavía hay investigación activa sobre formas de extender los métodos de Hilbert-Ackermann a teorías más sólidas. El patrón general sigue siendo el mismo:

1. incrustar la teoría bajo investigación en un epsiloncálculo apropiado.
2. describir un proceso para actualizar las asignaciones a los epsilonterms.,
3. mostrar que el procedimiento se está normalizando, es decir, dado cualquier conjunto de términos, hay una secuencia de actualizaciones que resulta en una asignación que satisface los axiomas.

dado que el último paso garantiza la consistencia de la teoría original,desde un punto de vista fundacional uno está interesado en los métodos utilizados para probar la normalización. Por ejemplo, se obtiene un análisis de orden asignando notaciones ordinales a pasos en el proceso, de tal manera que el valor de una notación disminuye con cada paso.,

en la década de 1960, Tait (1960, 1965, 2010) amplió los métodos deackermann para obtener un análisis ordinal de extensiones de aritmética con principios de inducción transfinita. En Mints2001 y Avigad 2002b se pueden encontrar versiones másreamline y modernas de este enfoque., Más recientemente, Mints, Tupailo y Buchholzhhan considerado fragmentos de análisis más fuertes, pero aún predictivamente justificables, incluyendo teorías de Comprensión aritmética y una regla de comprensión \(\Delta^{1}_1\) (Mints,Tupailo &Buchholz 1996; Mints & Tupailo 1999; Véase también mentas 2016). Arai2002 ha extendido el método de sustitución de epsilon a teorías que permiten iterar la Comprensión aritmética a lo largo de ordenamientos primitivos de pozo cursivo., En particular, su trabajo produce ordinalanalyses para fragmentos predicativos de análisis que involucran transfinitehierarchies e inducción transfinita.

se han dado algunos primeros pasos en el uso del método de sustitución de epsilon en el análisis de teorías impredicativas (ver Arai2003, 2006 y Mints 2015).

una variación en el paso 3 anterior implica mostrar que el proceso de normalización no es sensible a la elección de actualizaciones, es decir,cualquier secuencia de actualizaciones termina. Esto se llama normalización fuerte., Cecas 1996 ha demostrado que muchos de los procedimientos considerados tienen esta propiedad más fuerte.

además de la rama tradicional y fundacional de la teoría de la prueba, hoy en día hay mucho interés en la teoría de la prueba estructural, una rama del sujeto que se centra en los cálculos deductivos lógicos y sus propiedades. Esta investigación está estrechamente relacionada con temas relevantes para las ciencias de la computación, que tienen que ver con la educación automática, la programación funcional y la verificación asistida por computadora.Aquí, también, los métodos de estilo Gentzen tienden a dominar (ver de nuevo la entrada en la teoría de la prueba)., Pero el cálculo de epsilon también puede proporcionar información valiosa; cf. por ejemplo, Aguilera & Baaz 2019, o la discusión del teorema de Herbrand anterior.

aparte de las investigaciones del cálculo de epsilon en la teoría de la prueba,dos aplicaciones deben ser mencionadas. Uno es el uso de la epsilonnotation en la teoría de los conjuntos de Bourbaki (1958).El segundo, de quizás mayor interés actual, es el uso del operador EPSILON en los sistemas de demostración de teoremas HOL e Isabelle, donde el poder expresivo de los Términos epsilon produce ventajas prácticas significativas.,

operadores de Epsilon en Lingüística, Filosofía y lógicas no clásicas

Leer el operador de epsilon como un operador de elección indefinida(«an \(x\) such that \(a(x)\)») sugiere que podría ser una herramienta útil en el análisis de frases de sustantivos indefinidas y definidas en la semántica formal. La notación epsilon de hecho ha sido tan utilizado, y esta aplicación ha demostrado ser útil en particular en el tratamiento de referencia anafórica.

Considere el ejemplo familiar

1. Cada agricultor que posee un burro trilla.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

el inconveniente es que «un burro» sugiere un cuantificador existencial, y por lo tanto el análisis debe, de alguna manera, paralelo en la forma el análisis de la oración 3 dada por 4:

pero la formalización más cercana posible,

1. \(\forall x ((\mathrm{Farmer}(x) \wedge \exists y(\mathrm{donkey}(y) \Wedge \mathrm{owns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(X, Y))\)

Como señaló von Heusinger (1994), esto sugiere que Neale está comprometido a que los pronombres sean ambiguos entre descripciones definidas\((\IOTA\)-expresiones) y expresiones whe., Heusinger sugiere en lugar de utilizar operadores epsilon indexados por funciones de elección (que dependen del contexto). De acuerdo con este enfoque, el análisis de(1) es

Este enfoque para tratar con pronombres usando operadores de epsilon indexados por funciones de elección permiten a von Heusinger lidiar con una amplia variedad de circunstancias (ver Egli y von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).

Las aplicaciones del operador epsilon en la semántica formal, y las funciones de elección en general, han recibido un interés significativo en los últimos años., Von Heusinger y Egli (2000A) enumeran, entre otros, los siguientes: representaciones de preguntas (Reinhart, 1992), definiciones específicas (Reinhart 1992; 1997; invierno 1997), pronombres de tipo E(Hintikka y Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli y vonHeusinger 1995) y frases nominales definidas (von Heusinger 1997,2004).

para la discusión de los problemas y aplicaciones del epsilon operatorin linguistics and philosophy of language, véase B. H., El artículo de Slater sobre cálculos epsilon (citado en la sección Other Internet Resourcessection a continuación), y las colecciones von Heusinger y Egli 2000 Yvon Heusinger y Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) contiene más estudios teóricos de prueba y modelo del cálculo epsilon; específicamente epsiloncalculi intuicionista. Aquí, los teoremas de epsilon ya no se sostienen, es decir, la introducción de términos de epsilon produce extensiones no conservadoras de la lógica intuicionista. Otras investigaciones de operadores epsilon en lógica intuicionista se pueden encontrar en Shirai (1971), Bell (1993a, 1993b) y DeVidi (1995)., Para los operadores de epsilon en lógicas de muchos valores,véase Mostowski (1963), para el cálculo modal de epsilon, ajuste (1975).

Más información. La siguiente es una lista de algunas publicaciones en el área de la lengua y la lingüística de relevancia para el epsiloncálculo y sus aplicaciones. El lector se dirige en particular a las colecciones von Heusinger & Egli (eds.) 2000 and von Heusinger& Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

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