Epsilon Calculus (Suomi)

Yleistä

Mennessä vuosisadan vaihteessa David Hilbert ja Henri Poincaréwere tunnustettu kaksi tärkeintä matemaatikot theirgeneration. Hilbert on erilaisia matemaattisia etuja oli laaja,ja mukana on kiinnostusta matematiikan: hisFoundations Geometria julkaistiin vuonna 1899, ja osan kysymyksiin Kansainvälisen Kongressin ofMathematicians vuonna 1900, kolme osoitettu selvästi foundationalissues.,

julkaisemisen Jälkeen Russellin paradoksi, Hilbertpresented osoitteen Kolmas Kansainvälinen Kongressi ofMathematicians vuonna 1904, jossa ensimmäistä kertaa, hän luonnosteli hisplan tarjota tiukkaa perustan matematiikan kautta syntacticconsistency todisteita. Mutta hän ei palannut aiheeseen earnestuntil 1917, kun hän aloitti sarjan luentoja perustan ofmathematics avustuksella Paul Bernays., Vaikka Hilbert wasimpressed työn Russell ja Whitehead niiden PrincipiaMathematica, hän tuli vakuuttunut siitä, että logicist yritys vähentämiseksi matematiikan logiikka ei voinut menestyä, koska erityisesti tothe ei-looginen luonne niiden axiom-reducibility. Sametime, hän arvosteli intuitionistic hylkääminen lain theexcluded lähi-kuin hyväksyä matematiikka. Siksi, jotta määräysten soveltamista huolenaiheet löytö looginen jaaseta-theoretic paradokseja, uusi lähestymistapa oli tarpeen perustella modernmathematical menetelmiä.,

kesään 1920 mennessä Hilbert oli muotoillut tällaisen lähestymistavan. Ensimmäinen, moderni matemaattisia menetelmiä oli edustettava muodollinen deduktiivisysteemit. Toiseksi, nämä muodolliset järjestelmät olivat osoittautuneet syntacticallyconsistent, ei esillä malli, tai vähentää niiden johdonmukaisuus toiseen järjestelmään, mutta suora metamathematical argumentti anexplicit, ”finitary” merkki. Lähestymistapa tuli knownas Hilbert ” s ohjelma. Epsilon calculus oli tarjota ensimmäinen osa thisprogram, kun hänen epsilon korvaaminen menetelmä oli tarjota toisen.,

epsilon calculus on, sen alkeellisinta muodossa, laajennus ensimmäisen kertaluvun predikaatti-logiikan kanssa ”epsilon-operaatio”, joka poimii ulos tahansa true eksistentiaalinen kaava, todistaja theexistential kvantisointi. Laajennus on sensetisti konservatiivinen, sillä se ei lisää uusia ensimmäisen kertaluvun seurauksia. Mutta,toisaalta, kvanttorit voidaan määritellä ehdot epsilons, sofirst kertaluvun logiikka voidaan ymmärtää kannalta kvantisointi-freereasoning, joihin liittyy epsilon toimintaa. Se on tämä jälkimmäinen ominaisuus, joka tekee calculus kätevä varten provingconsistency., Sopivia laajennuksia epsilon calculus, jotta voimme upottaa vahvempi, quantificational teorioita numerot andsets vuonna kvantisointi-ilmainen calculi. Hilbert odotti, että olisi mahdollista osoittaa johdonmukaisuutta tällaisten laajennusten.

Epsilon Calculus

hänen Hampuri luento vuonna 1921 (1922), Hilbert esiteltiin ensimmäisen theidea käyttää tällaisen toiminnan käsitellä periaatetta theexcluded lähi virallisen järjestelmän aritmeettinen., Nämä ajatukset olikehittyi osaksi epsilon calculus ja epsilon substitutionmethod sarjan luento kursseja välillä 1921 ja 1923, ja inHilbert on (1923). Epsilon-calculuscan viimeinen esitys löytyy Wilhelm Ackermannin väitöskirjasta (1924).

tässä jaksossa kuvataan first-order – logiikkaa vastaava Calculus-versio, kun taas ensimmäisen ja toisen-orderaritmetiikan laajennukset kuvataan alla.

Let \(l\) on ensimmäisen kertaluvun kieli, toisin sanoen luettelo funktioista ja relaatiosymboleista, joilla on määritelty ariteetti., Theset epsilon ehdot ja joukko kaavoja \(L\) ovat definedinductively, samanaikaisesti, seuraavasti:

Korvaaminen ja käsitteet vapaa ja sidottu muuttuja on määritelty tavalliseen tapaan; erityisesti muuttujan \(x\) on sidottu inthe termi \(\varepsilon x\). Tarkoitettu tulkinta on, että\(\varepsilon x\) tarkoittaa joidenkin \(x\) tyydyttävä \(A\), jos hän on yksi., Näin ollen epsilon ehdot määräytyvät followingaxiom (Hilbert on ”transfinite axiom”): \ lisäksi epsilon calculus sisältää täydellisen valikoiman aksioomat: n classicalpropositional connectives, ja aksioomat koskevat tasa-arvon symboli.Ainoat säännöt, calculus, ovat seuraavat:

• Modus ponens, lambda
• Korvaaminen: valitse \(A(x)\), päätellä, \(A(t)\), sillä mitä tahansa aikavälillä\(t.,\)

Aiemmin muotoja epsilon calculus (kuten esitetty inHilbert 1923) käyttää dual muodossa epsilon-operaattori, jossa\(\varepsilon x\) palauttaa arvon väärentäminen \(A(x)\). Edellä olevaa muunnosta käytettiin Ackermannin väitöskirjassa (1924), ja siitä on tullut standardi.

huomaa, että juuri kuvattu calculus on kvantifieriton. Quantifierscan määritellään seuraavasti: \ tavallinen quantifier aksioomat ja säännöt voidaan johtaa näistä, joten määritelmät palvelevat upottaa ensimmäisen kertaluvun logiikan epsilon calculus., Theconverse ei kuitenkaan pidä paikkaansa: jokainen epsilonculuksen kaava ei ole kuva tavallisesta kvantifioidusta kaavasta tämänembeddingin alla. Näin ollen epsilon calculus on enemmän ilmeikäs kuin thepredicate calculus, yksinkertaisesti koska epsilon ehdot voidaan yhdistää inmore monimutkaisilla tavoilla kuin kvanttorit.

Epsilon Teoreemojen

toisen osan Hilbert ja Bernays’ Grundlagen derMathematik (1939) tarjoaa huomioon tuloksia theepsilon-calculus, joka oli osoittautunut, että aikaan., Tämä sisältää adiscussion ensimmäisen ja toisen epsilon teoreemojen kanssa applicationsto ensimmäisen kertaluvun logiikka, epsilon korvaaminen menetelmä arithmeticwith avoinna induktio, ja kehityksen analyysi (joka on toisen kertaluvun aritmeettinen), epsilon calculus.

ensimmäisen ja toisen epsilon teoreemojen ovat seuraavat:

ensimmäinen epsilon lause, ”kvantisointi-ilmainen predicatelogic” on tarkoitus sisällyttää korvaavien sääntö edellä, soquantifier-ilmainen aksioomat käyttäytyä kuin heidän yleinen sulkemiset., Koska theepsilon calculus sisältää ensimmäisen kertaluvun logiikka, ensimmäinen epsilon theoremimplies, että minkään kiertotien kautta first-order predicate logic käyttää toderive on kvantisointi-ilmainen lause kvantisointi-ilmainen aksioomat canultimately vältettävä. Toinen epsilon lause osoittaa, että anydetour kautta epsilon calculus käytetään saada lause thelanguage ja predikaattilogiikka aksioomat kielellä thepredicate calculus voidaan välttää myös.,

yleisesti, ensimmäinen epsilon lause toteaa, että quantifiersand epsilons voi aina olla eliminoitu todiste aquantifier-ilmainen kaava muilta kvantisointi-ilmainen kaavoja. Tämä on erityisen tärkeää Hilbertin ohjelma, koska theepsilons rooli ihanteellinen elementtejä matematiikassa. Ifquantifier-ilmainen kaavat vastaavat ”todellisia” osan matemaattinen teoria, ensimmäinen epsilon-lause osoittaa, että idealelements voidaan poistaa todisteita todellinen lausuntoja, providedthe aksioomat ovat myös todellisia lausuntoja.,

Tämä ajatus on tehty tarkka tietty yleinen johdonmukaisuus theoremwhich Hilbert ja Bernays peräisin ensimmäinen epsilon-lause, whichsays seuraavasti: Olkoon \(F\) olla mikä tahansa muodollinen järjestelmä, joka johtaa tarkasteltavien predikaattilogiikka, jonka lisäksi vakio -, funktio -, andpredicate symbolit plus totta aksioomat, jotka ovat kvantisointi – andepsilon-maksuton, ja oletetaan, että totuus atomic kaavoja vuonna newlanguage on ratkeava. Sitten \(F\) on johdonmukaisesti vahva säädöksessä joka johdettavissa kvantisointi – ja epsilon-suihke on totta.,Hilbert ja Bernays käyttävät tätä teoreemaa antaakseen alkeisgeometrian finitaarisen konsistenssiproofin (1939, sek 1.4).

vaikeus antaa johdonmukaisuutta todisteet aritmeettinen andanalysis koostuu jatkamisesta tätä tulosta tapauksissa, joissa axiomsalso sisältävät ihanteellinen elementtejä, eli, epsilon ehdot.

Jatkolukemat. Alkuperäinen lähteitä epsilon-calculusand epsilon teoreemojen (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)ovat saatavilla ainoastaan saksaksi. Leisenring 1969 on relativelymodernin kirjapituinen johdatus epsilon-calculukseen englanniksi.,Ensimmäinen ja toinen epsilon lause on kuvattu yksityiskohtaisesti Zach2017. Moser & Zach 2006 antaa yksityiskohtaisen analyysin casewithout tasa-arvoa. Alkuperäiset todisteet annetaan aksiomaticpresentations, epsilon-calculus. Maehara 1955 oli ensimmäinen, jonka vissa calculus epsilon ehdot. Hän osoitti, kuinka provethe toinen epsilon lause käyttämällä leikkaa poistaminen, ja thenstrengthened lause sisältää skeema extensionality(Maehara 1957). Baaz ym. 2018 antaa parannettu versio firstepsilon lause., Korjaukset virheet kirjallisuudessa (includingLeisenring kirja) löytyy Flannagan 1975; Ferrari 1987, ja Yasuhara 1982. Vaihtelu epsilon calculus perustuvat Skolemfunctions, ja siksi yhteensopiva ensimmäisen kertaluvun logiikka, isdiscussed Davis & Fechter 1991.

Herbrand Lause

versio Herbrand lause juuri kuvattu followsimmediately laajennetusta Ensimmäinen Epsilon Lause ofHilbert ja Bernays., Käyttämällä menetelmiä, jotka liittyvät todiste toisen epsilon lause, kuitenkin, Hilbert ja Bernays johdettu astronger seurauksena, kuten Herbrand on alkuperäinen muotoilu,tarjoaa enemmän tietoa. Ymmärtää kaksi osaa teoreemaabelow, se auttaa harkitsemaan tiettyä esimerkkiä. Olkoon \(a\) be theformula

\ where \(B\) is quantifier-free. Negationof \(a\) vastaa \ Skolemizing, ts.,, usingfunction symbolit todistamaan eksistentiaalisen quantifiers, saadaan\ Ottaen kieltää tämän, näemme, että originalformula on ”vastaava” \

Kun viittaamme esimerkiksi matriisin \(A^S\), wemean kaava, joka on saatu korvaamalla ehdot expandedlanguage matriisin \(A^S\). Voimme nyt todeta, Hilbert andBernays on muotoilu

Herbrand lause voidaan saada myös käyttämällä cutelimination kautta Gentzen ”midsequent lause.,”Kuitenkin, todisteet käyttää toisen epsilon lause on nämä olla ensimmäinen täydellinen ja oikea todiste ofHerbrand lause. Lisäksi, ja tämä on harvoin tunnustettu,ottaa huomioon, että todisteet perustuvat leikkaus-poistaminen tarjoaa sidottu thelength ja Herbrand ristiriita vain funktiona leikkaa rankand monimutkaisuus leikata kaavat todiste, pituus obtainedfrom todiste perustuu epsilon calculus tarjoaa varmasti kuin afunction määrä sovelluksia transfinite selviö, ja sijoitus-ja tutkinto-epsilon-termit esiintyvät siinä., Eli pituus Herbrand irrottaminen riippuu vain thequantificational monimutkaisuus vaihdot mukana, ja, esimerkiksi,ei ole lainkaan lauselogiikka rakenne tai pituus theproof.

versio Herbrand lause totesi alussa tämän jakson on lähinnä erikoistapaus (2) jossa theformula \(A\) on eksistentiaalinen. Tässä valossa erikoistapaus, (1) merkitsee väitettä, että kaava \(A\) on johdettavissa infirst-order predicate logic, jos ja vain jos \(A^S\) on., Se forwarddirection tämä vastaavuus on paljon helpompi todistaa; itse asiassa, mistään kaava \(A \oikea nuoli: A^S\) on johdettavissa vuonna predikaatti logiikkaa.Osoitetaan käänteinen suunta liittyy poistamalla additionalfunction symbolit \(A^S\), ja on paljon vaikeampaa, varsinkin inthe läsnäolo tasa-arvoa. Tässä epsilon-metodeilla on keskeinen rooli.

herbrandin lause ja siihen liittyvät menetelmät isfound in Luckhardt”s (1989) analysis of Roth”s theorem. Lisätietoja Herbrandin menetelmien hyödyllisistä laajennuksista on Siegissä 1991.,Malli-theoretic versio tästä on keskusteltu Avigad 2002a.

Epsilon Korvaaminen Menetelmä-ja Laskutaito

Kuten edellä todettiin, historiallisesti, ensisijainen kiinnostus epsiloncalculus oli keinona saada johdonmukaisuutta todisteita.Hilbert on luentoja 1917-1918 jo huomaa, että onecan helposti osoittaa johdonmukaisuutta lauselogiikka logiikka, jonka takingpropositional muuttujia ja kaavoja, joiden valikoima yli totuuden arvoja 0 ja 1, ja tulkkaus looginen connectives kuin correspondingarithmetic toimintaa., Vastaavasti voidaan todistaa johdonmukaisuuspredikaattilogiikan (tai puhdas epsilon calculus), erikoistumalla tulkintoihin, joissa diskurssin universumilla on yksi elementti.Nämä seikat viittaavat siihen, että seuraavat yleisemmin ohjelma forproving johdonmukaisuus:

• Laajentaa epsilon calculus siten edustamaan largerportions matematiikka.
• osoittavat finitaarisia menetelmiä käyttäen, että jokaisella laajennetun järjestelmän todisteella on johdonmukainen tulkinta.,

Oletetaan, että haluamme osoittaa, että järjestelmä edellä on johdonmukainen, eli haluamme osoittaa, että ei ole todisteita kaava \(0 =1\). Työntämällä kaikki vaihdot aksioomat ja korvaamalla freevariables jatkuva 0, se riittää osoittamaan, että on nopropositional todiste \(0 = 1\) rajallinen joukko suljettu instancesof aksioomat. Että, se riittää osoittamaan, että koska tahansa finiteset suljettu tapauksissa aksioomat, voidaan antaa numeeriset arvot toterms siten, että kaikki aksioomat ovat tosia alle tulkintaa., Koska aritmeettisia operaatioita \(+\) ja \(\times\)voidaan tulkita tavalliseen tapaan, ainoa vaikeus piilee infinding asianmukaiset arvot määrittää epsilon ehdot.

Hilbert ’s epsilon korvausmenetelmää voidaan kuvata karkeasti seuraavasti:

finitary johdonmukaisuus todiste on saatu, kun se on esitetty afinitarily hyväksyttävällä tavalla, että tämä prosessi peräkkäisten”korjaukset” päättyy. Jos näin käy, kaikki kriittiset formulat ovat todellisia kaavoja ilman epsilon-termejä.,

Tämä perus ajatus (”Hilbertsche Ansatz”) oli asetettu outfirst Hilbert vuonna 1922 hänen puhua (1923), ja laadittu lecturesin 1922-23. Esimerkit on kuitenkin vain käsitellä withproofs jossa kaikki esiintymät transfinite aksiooma vastaa yksi epsilon termi \(\varepsilon x A(x)\). Haasteena oli toextend lähestymistapa enemmän kuin yksi epsilon aikavälillä, sisäkkäisiä epsilonterms, ja lopulta toisen kertaluvun epsilons (saadakseen aconsistency todisteita ei ole vain aritmeettinen, mutta analyysi).,

Tämä on vain luonnos vaikeudet extendingHilbert idea yleisessä tapauksessa. Ackermann (1924) providedsuch yleistys käyttäen menettelyä, joka ”palaa”, kun uusi tulkinta tietyssä vaiheessa tuloksia tarve menoja samanaikaisesti tulkintaa, totesi jo aiemmassa vaiheessa.

Ackermann on menettely, jota sovelletaan järjestelmää toisen orderarithmetic, jossa kuitenkin toisen kertaluvun ehdot olivat rajoitettu soas sulkea rajat sitova toisen kertaluvun epsilons., Tämä tarkoittaa,karkeasti, rajoitus aritmeettisen ymmärtämistä theset muodostavat periaatteessa käytettävissä (katso keskustelu lopussa tämän). Edelleen vaikeuksia toisen kertaluvun epsilon termssurfaced, ja se tuli nopeasti ilmi, että todiste, koska se stoodwas virheellinen. Kukaan Hilbertin koulussa ei kuitenkaan tajunnut vaikeuksien merkitystä ennen kuin vuonna 1930, jolloin Gödel ilmoitti vastaavista tuloksistaan., Siihen asti, se oli sitä mieltä, että todisteet (atleast joitakin muutoksia, joita Ackermann, jotkut whichinvolved ideoita von Neumann (1927) versio epsilonsubstitution menetelmä) menisi läpi ainakin ensimmäisen-orderpart. Hilbert ja Bernays (1939) viittaavat siihen, että käytetyt menetelmät onlyprovides johdonmukaisuus todiste ensimmäisen kertaluvun aritmeettinen openinduction. Vuonna 1936, Gerhard Gentzen onnistunut antamaan todiste theconsistency ensimmäisen kertaluvun aritmeettinen muotoilu perustuu onpredicate logiikka ilman epsilon symboli., Tämä todiste käyttää transfinite induktio jopa \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) waslater pystyy sopeutumaan Gentzen ideoita antaa correctconsistency todiste ensimmäisen kertaluvun aritmeettinen käyttäen theepsilon-korvausmenetelmää.

– Analyysi, tai toisen kertaluvun aritmeettinen, on laajennus ensimmäisen orderarithmetic kanssa ymmärtämistä schema mielivaltaisen toiseksi orderformulae. Teoria on impredicative siinä, että se mahdollistaa oneto määrittää joukon luonnolliset luvut käyttäen kvanttorit, että välillä yli koko maailmankaikkeuden sarjaa, mukaan lukien epäsuorasti asetettu beingdefined., Yksi voi saada predikatiivinen fragmentteja tämän theoryby rajoittaa tyyppi kaavat sallittu comprehensionaxiom. Esimerkiksi rajoitus keskusteltu yhteydessä withAckermann edellä vastaa aritmeettinen comprehensionschema, jossa kaavat eivät liity toisen orderquantifiers. On olemassa erilaisia tapoja saada vahvempia fragmentteja, jotka ovat kuitenkin ennakoivasti perusteltuja., Esimerkiksi,yksi saa ramified analyysi yhdistämällä on järjestysluku rankto muuttujaa; karkeasti, määrittely-joukko tietyn listalla,kvanttorit-alue vain yli sarjaa alemman listalla, eli ne whosedefinitions ovat loogisesti ennen.

Jatkolukemat. Hilbertin ja Ackermannin earlyproofeja käsitellään Zach 2003; 2004-lehdessä. Von Neumannin todistus on aihe Bellotti 2016. Ackermann on 1940 todiste on discussedin Hilbert & Bernays 1970, ja Wang 1963. Modern presentation Isgiven by Moser 2006., Epsilon-substituution varhainen soveltaminen Onno-counterexample-tulkinta (Kreisel 1951).

Enemmän Viimeaikainen Kehitys

tässä osiossa keskustella kehitystä epsilon-substitutionmethod saada johdonmukaisia tuloksia vahva järjestelmät; theseresults ovat matemaattinen luonne. Emme valitettavasti voi keskustella yksityiskohdista todisteet täällä, mutta haluan ilmoittaa, että epsilon-korvausmenetelmää ei kuolla Hilbert’sprogram, ja että merkittävä määrä nykyinen tutkimus on carriedout epsilon-formalisms.,

Gentzen johdonmukaisuus todisteet aritmeettinen käynnisti tutkimuksen tunnetaan järjestysluku analyysi, ja program mitata vahvuus matemaattisia teorioita usingordinal merkinnät on edelleen jatkettava tänään. Tämä on particularlyrelevant laajennettu Hilbertin ohjelma, jossa tavoitteena on perustella klassisen matematiikan suhteessa rakentavaa, orquasi-rakentava, järjestelmät., Gentzen menetelmiä ofcut-poistaminen (ja laajennukset infinitary logiikka kehittämä PaulLorentzen, Petr Novikov, ja Kurt Schütte) on suurelta osin syrjäyttänyt epsilon korvaavien menetelmien näitä harrastuksia. Mutta epsilonculus menetelmät tarjoavat vaihtoehtoisen lähestymistavan, ja on edelleen aktiivista tutkimusta tavoista laajentaa Hilbert-Ackermann menetelmiä tostronger teorioita. Yleinen malli on edelleen sama:

1. Upota teoria tutkimuksen kohteena asianmukaisella epsiloncalculus.
2. kuvaa prosessia tehtävien päivittämiseksi epsilontermeihin.,
3. Osoittavat, että menettely on normalisointi, eli koska tahansa asettaa neuvotteluissa, on sekvenssi päivityksiä, jotka johtaa assignmentthat täyttää aksioomat.

Koska viimeinen vaihe varmistaa johdonmukaisuus alkuperäinen teoria,mistä perustavanlaatuinen näkökulmasta, yksi on kiinnostunut methodsused todistaa normalisointi. Esimerkiksi, yksi saa ordinalanalysis määrittämällä järjestysluku merkinnät vaiheet vuonna menettelystä siten, että arvo merkintä vähenee kanssajokainen vaihe.,

1960-luvulla, Tait (1960, 1965, 2010) extendedAckermann on menetelmiä saada järjestysluku analyysi extensionsof aritmeettinen periaatteet transfinite induktio. Tästä lähestymistavasta on olemassa uudenaikaisempia versioita Mints2001-ja Avigad 2002b-ohjelmissa., Enemmän viime aikoina, Minttua, Tupailo, ja Buchholzhave pidetään vahvempi, mutta silti predicatively perusteltua,fragmentteja analyysi, mukaan lukien teorioita aritmeettinen comprehensionand a \(\Delta^{1}_1\)-ymmärtäminen-sääntö (Minttua, Tupailo &Buchholz 1996; Rahapajat & Tupailo 1999; ks. myös Pastilleja 2016). Arai2002 on laajennettu epsilon korvaaminen tapa teorioita thatallow yksi kerrata aritmeettinen ymmärtämistä sekä primitiverecursive hyvin orderings., Erityisesti hänen työnsä tuottaa ordinalanalyses varten predikatiivinen palasia analyysi, johon transfinitehierarchies ja transfinite induktio.

Epsilonin substituutiometodin käyttöön on ryhdytty joitakin ensiaskeleita impredikatiivisten teorioiden analyysissä (KS.Arai2003, 2006 ja Mints 2015).

muunnelma vaihe 3 liittyy edellä osoittaa, että normalizationprocedure ei ole herkkä valinta päivitykset, joka on sanoa,missä tahansa järjestyksessä päivitykset päättyy. Tätä kutsutaan strongnormalisaatioksi., Vuoden 1996 rahapajat ovat osoittaneet, että monilla käsiteltävillä menettelyillä on tämä vahvempi ominaisuus.

lisäksi perinteiset, sivuliikkeen perustava todiste teorian,tänään siellä on paljon kiinnostusta rakenteellisia prooftheory, haara aihe, joka keskittyy loogisen deductivecalculi ja niiden ominaisuuksia. Tämä tutkimus liittyy läheisesti tietojenkäsittelytieteen kannalta tärkeisiin asioihin, jotka liittyvät automatisoituunduktioon, toiminnalliseen ohjelmointiin ja tietokoneavusteiseen todentamiseen.Tässäkin Gentzen – tyyliset menetelmät pyrkivät dominoimaan (katso jälleen merkintä proof theory)., Mutta epsilon calculus voi myös tarjota arvokkaita oivalluksia; vrt. esimerkiksi Aguilera & Baaz 2019, tai keskustelua ofHerbrand lause edellä.

lukuun ottamatta tutkimuksia epsilon calculus in proof theory,kaksi sovelluksia olisi mainittava. Yksi on epsilonnotaation käyttö Bourbakin Theorie des-kokoonpanoissa (1958).Toinen, ehkä suurempi ajankohtainen, on käyttää theepsilon-operaattori lause-todistaa järjestelmien HOL ja Isabelle, jossa ilmeikäs voima epsilon-ehdot saadaan significantpractical etuja.,

Epsilon Toimijoiden Kielitieteen, Filosofian ja Ei-klassisen Logiikan

Lukeminen epsilon operaattori, kuten määräämättömäksi valinta operaattori(”on \(x\) siten, että \(A(x)\)”) viittaa siihen, että se voisi olla hyödyllinen työkalu analysoitaessa epämääräinen ja määräinen substantiivi phrasesin muodollinen semantiikka. Epsilon-notaatiota on itse asiassa käytetty näin, ja tämä sovellus on osoittautunut hyödylliseksi erityisesti käsiteltäessä anaforista viittausta.

harkitse tuttua esimerkkiä

1. jokainen aasilla omistava maanviljelijä voittaa sen.,ns}(x, y)) \oikea nuoli\mathrm{Voittaa}(x, y))\)

haittapuoli on, että ”aasi” ehdottaa existentialquantifier, ja siten analyysi olisi, jotenkin, rinnakkain formthe analyysi lause 3 koska 4:

mutta lähin mahdollinen virallistaminen,

1. \(\kaikille x ((\mathrm{Maanviljelijä}(x) \kiila \olemassa y(\mathrm{Aasi}(y) \kiila \mathrm{Omistaa}(x, y)) \oikea nuoli\mathrm{Voittaa}(x, y))\)

Kuten huomautti von Heusinger (1994), tämä viittaa siihen, että Neale iscommitted pronominit on epäselvä välillä selvä kuvaukset\((\iota\)-lausekkeita) ja whe-ilmaisuja., Heusinger ehdottaastead käyttää Epsilon operaattorit indeksoitu valinta toimintoja (whichdepend on the context). Tämän lähestymistavan mukaan analyysi(1) on

Tämä tapa käsitellä pronomineja käyttäen epsilon toimijoiden indexedby valinta toiminnot mahdollistavat von Heusinger käsitellä laaja useiden olosuhteissa (ks Egli ja von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).

Sovellukset epsilon-toimijan muodollinen semantiikka, ja choicefunctions yleensä, on saanut merkittävää kiinnostusta viime vuosina., Von Heusinger ja Egli (2000a) listaa muun muassa seuraavat: esityksiä kysymyksiä (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Talvi 1997), E-type pronominit(Hintikka ja Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli ja vonHeusinger 1995) ja selvä substantiivi lauseita (von Heusinger 1997,2004).

epsilon operatorin kielitieteen ja kielifilosofian kysymyksistä ja sovelluksista on keskusteltu, Katso B. H., Slater’sarticle epsilon calculi (mainittu Muissa Internet-Resourcessection alla), ja kokoelmat von Heusinger ja Egli 2000 andvon Heusinger ja Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) sisältää lisätodisteita – ja malli-theoreticstudies, että epsilon calculus; erityisesti intuitionistic epsiloncalculi. Tässä Epsilonin teoreemat eivät enää pidä, eli Epsilonin termien käyttöönotto tuottaa ei-konservatiivisia laajennuksia ofintutionistiseen logiikkaan. Muita epsilon-operaattoreiden tutkimuksia inintutionistisesta logiikasta löytyy Shiraista (1971), Bellistä (1993a,1993b) ja Devidistä (1995)., Sillä epsilon-operaattoreiden monet-arvostetaan logiikat,katso Mostowski (1963), modaali epsilon calculus, Istuva (1975).

Jatkolukemat. Seuraavassa on luettelo epsiloncalculuksen ja sen sovellusten kannalta merkityksellisistä kieli-ja kielitieteen aloista. Lukija on suunnattu erityisesti tothe kokoelmat von Heusinger & Egli (toim.) 2000 ja von Heusinger& Kempson (toim.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---