Kaarevuus

Intuitiivisesti, kaarevuus kuvaa mistään osa-käyrä, kuinka paljon käyrän suunta muuttuu yli pieni kuljettu matka (esim. kulma, rad/m), joten se on toimenpide, hetkellinen muutosnopeus suuntaan kohdassa, joka liikkuu käyrä: suurempi kaarevuus, sitä suurempi tämä muutosnopeus. Toisin sanoen kaarevuus mittaa sitä, kuinka nopeasti käyrän tangenttivektori pyörii (käyrän sijainnin suhteen nopea). Itse asiassa voidaan todistaa, että tämä hetkellinen muutosvauhti on juuri kaarevuus., Tarkemmin, oletetaan, että piste liikkuu käyrä tasaisella nopeudella yksi yksikkö, että on, asema, kohta P(t) on funktio parametri t, joka voi olla ajatellut koska aika tai kaaren pituus tietystä alkuperästä. Olkoon T(t) yksikkö tangentti vektori käyrä P(s), joka on myös derivaatan P(s) suhteen s. Sitten, johdannainen T(s) suhteen s on vektori, että normaali käyrä ja jonka pituus on kaarevuus.,

on mielekäs määritelmä kaarevuus ja sen eri luonnehdintoja edellyttää, että käyrä on jatkuvasti derivoituva lähellä P, ottaa tangentti, joka muuttuu jatkuvasti; se edellyttää myös, että käyrä on kahdesti derivoituva, S, vakuuttaa olemassaolo mukana rajat, ja derivaatta F(s).

luonnehdinta kaarevuus kannalta johdannainen unit tangent vector on luultavasti vähemmän intuitiivinen kuin määritelmän kannalta osculating circle, mutta laskentakaavat kaarevuus on helpompi päätellä., Siksi, ja myös sen käytön kinematiikassa, tämä Luonnehdinta annetaan usein kaarevuuden määritelmänä.

Osculating circleEdit

Historiallisesti, kaarevuus on derivoituva käyrä oli määritelty kautta osculating circle, joka on ympyrä, joka parhaiten vastaa käyrän pisteessä. Tarkemmin, koska piste P on käyrällä, joka toinen piste Q käyrä määrittelee ympyrän (tai joskus viiva) kulkee Q ja tangentti käyrän P. osculating circle on raja, jos se on olemassa, tämän ympyrän, kun Q on taipumus P., Sitten keskellä ja kaarevuussäde käyrän P ovat keskellä ja säde osculating ympyrä. Kaarevuus on kaarevuussäteen vastavuoroinen. Että on, kaarevuus on

κ = 1 R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{T}},}

missä R on kaarevuussäde (koko ympyrä on tämä kaarevuus, se voidaan lukea puolestaan 2π yli pituus 2nR).

tätä määritelmää on vaikea manipuloida ja ilmaista kaavoissa. Sen vuoksi on otettu käyttöön muita vastaavia määritelmiä.,

kannalta arc-pituus parametrizationEdit

Jokainen derivoituva käyrä voidaan parametrisoidut osalta kaaren pituus. Kun kyseessä on lentokone-käyrä, tämä tarkoittaa olemassa parametrization γ(t) = (x(t), y(t)), missä x ja y ovat reaalisia derivoituva toimintoja, joiden johdannaiset täyttävät,

‖ γ ’‖ = x ’( t ) 2 + y ’ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}”\|={\sqrt {x”(t)^{2}+y”(t)^{2}}}=1.,}

Tämä tarkoittaa sitä, että tangent vector

T ( s ) = ( x ’( t ) , y ’( t ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x”(t),y”(t), {\bigr )}}

on normi yhtä suuri kuin yksi ja on siten unit tangent vector.

Jos käyrä on kahdesti derivoituva, että on, jos toista johdannaisten x ja y ovat olemassa, niin derivaatta F(s) on olemassa. Tämä vektori on normaali käyrä, sen normi on kaarevuus κ(s), ja se on suuntautunut kohti keskustaa kaarevuus.,yle {\begin{aligned}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(vakio)\edellyttää, \mathbf {T} ”(t)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (t)=\|\mathbf {T} ”(t)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(s)\|={\sqrt {x””(s)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\end{aligned}}}

Lisäksi, kun kaarevuussäde on

R ( s ) = 1, κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (t)}},}

ja kaarevuuskeskipiste on normaali käyrä, kaarevuuskeskipiste on kohta,

C ( s ) = γ ( s ) + 1, κ ( s ) 2 T ’ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (t)^{2}}}\mathbf {T} ”(s).}

Jos N(t) on laitteen normaali vektori saadaan T(t) on vastapäivään kierto π/2, niin

T ’ ( t ) = k ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} ”(t)=k(s)\mathbf {N} (s)}

k(s) = ± κ(s). Reaalilukua k (s) kutsutaan orientoiduksi tai signeeratuksi kaarevuudeksi. Se riippuu sekä suunnan tasossa (määritelmä vastapäivään), ja suunta käyrä esittänyt parametrization., Itse asiassa muuttujan s → – s muutos tarjoaa toisen kaaripituisen parametrisoinnin ja muuttaa k(s): n merkkiä.

yleisellä parametrizationEdit

Anna γ(t) = (x(t), y(t)) olla kunnollinen parametrinen esitys kahdesti derivoituva, lentokone-käyrä. Tässä oikea tarkoittaa sitä, että verkkotunnus määritelmä parametrization, derivaatta dy/dtis määritelty, derivoituva ja missään yhtä suuri kuin nolla-vektori.,

tällainen parametrization, allekirjoitettu kaarevuus on

k = x ’ y ” − y ’, x ”( x ’2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x – ”y””y”x””}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

missä luvut viittaavat johdannaisten t suhteen. Kaarevuus κ on siis

κ = | x ’ y ”− y ’ x ”| ( x ’2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x”, y””y”x””|}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Nämä voidaan ilmaista koordinaatti-ilmainen tavalla kuin

k = det ( γ ’ , γ,” ) ‖ γ ’‖ 3 , κ = | det ( γ ’ , γ,” ) | ‖ γ ’ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

Nämä kaavat voidaan johtaa erikoistapauksena arc-pituus parametrization seuraavalla tavalla. Edellä edellytys parametrisation tarkoita sitä, että kaaren pituus s on derivoituva monotoninen funktio parametri t, ja toisaalta, että t on monotoninen funktio s., Lisäksi muuttamalla tarvittaessa s-to-s voidaan olettaa, että nämä toiminnot kasvavat ja niillä on positiivinen derivaatta. Käyttämällä merkintä edellisen jakson ja ketju sääntö, yksi on

d γ d t = d t d t t , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

ja siten ottamalla normi molemmin puolin

d t d s = 1 ‖ γ ’ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

jos pääministeri tarkoittaa johtamista t suhteen.

kaarevuus on normi derivaatta T: n suhteen s., Käyttäen edellä olevaa kaavaa, ja ketju sääntö tämä johdannainen, ja sen normi voi olla ilmaistuna γ’ ja γ” vain, arc-length-parametri s täysin eliminoitu, jolloin edellä esitetyt kaavat kaarevuus.

Kuvaaja functionEdit

kuvaaja on funktion y = f(x) on erikoistapaus parametrisoidut käyrän muodossa

x = t y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=f(t).,\end{aligned}}}

Koska ensimmäinen ja toinen johdannaiset x ovat 1 ja 0, edellisen kaavojen yksinkertaistamiseksi

κ = | y ”| ( 1 + y ’2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

sillä kaarevuus, ja

k = y ”( 1 + y ’2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

sillä allekirjoittanut kaarevuus.

käyrän yleisessä tapauksessa allekirjoitetun kaarevuuden merkki on jotenkin mielivaltainen, kuten käyrän suuntauksesta riippuen., Jos kuvaaja funktio, on luonnollinen suunta lisäämällä x: n arvot. Tämä tekee merkittäviä merkki allekirjoitettu kaarevuus.

– merkki allekirjoittanut kaarevuus on sama kuin merkki toinen derivaatta f. Jos se on positiivinen niin kuvaaja on ylöspäin koveruus, ja, jos se on negatiivinen kuvaaja on alaspäin koveruus. Se on nolla, sitten on taivutuspiste tai undulaatiopiste.

Kun rinne kuvaajan (eli derivaatta) on pieni, allekirjoitettu kaarevuus on hyvin approksimoida toinen derivaatta., Tarkemmin big O-merkintää käytettäessä yhdellä on

k ( x ) = y ”+ O ( y ’ 2 ) . {\displaystyle k(x)=y””+O\left({y”}^{2}\right).}

Se on yhteinen fysiikan ja tekniikan arvioitu kaarevuus, jossa toinen derivaatta, esimerkiksi palkki teoria tai johtamiseksi aalto yhtälö jännittynyt merkkijono, ja muissa sovelluksissa, joissa on pieni rinteet ovat mukana. Tämä mahdollistaa usein pidetään lineaarisia järjestelmiä, jotka ovat epälineaarisia muuten.,

Polar coordinatesEdit

Jos käyrä on määritelty polar koordinaatit säde ilmaistaan funktiona napa-kulma, joka on r on funktio θ, niin sen kaarevuus on

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r-2 − r-r ” | ( r 2 + r 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r”}^{2}-t\,r”,”\|oikea}{\left(r^{2}+{r”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

jos prime viittaa erilaistumista suhteessa θ.,

Tämä johtuu siitä, että kaava yleinen parametrizations, tarkastelemalla parametrization

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}

Implisiittinen curveEdit

κ = | F, y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

allekirjoitettua kaarevuutta ei ole määritelty, koska se riippuu käyrän suuntauksesta, jota implisiittinen yhtälö ei tarjoa. F: n muuttaminen F: ksi ei myöskään muuta käyrää, vaan muuttaa osoittajan merkkiä, jos itseisarvo jätetään pois edellisestä kaavasta.

– pisteen käyrä, jossa Fx = Fy = 0 on yksittäinen piste, joka tarkoittaa sitä, että käyrä ei ole derivoituva tässä vaiheessa, ja siten, että kaarevuus ei ole määritelty (useimmiten, kohta on joko rajanylityspaikalla tai kärki).,

Edellä kaava kaarevuus voi olla peräisin ilmaus kaarevuus kuvaaja toimintoa käyttämällä implisiittinen funktio lause ja se, että tällainen käyrä, yksi on

d y d x = F x F y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

voi olla hyödyllistä tarkistaa yksinkertaisista esimerkeistä, että edellisissä jaksoissa annetut eri kaavat antavat saman tuloksen.

CircleEdit

yhteinen parametrization ympyrän, jonka säde on r, on γ(t) = (r cos t, r sin t)., Kaava kaarevuus antaa

k ( t ) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{t}}.}

tästä seuraa, kuten on odotettavissa, että kaarevuussäde on ympyrän säde, ja että kaarevuuskeskipiste on keskellä ympyrän.

circle on harvinainen tapaus, jossa kaaren pituus parametrization on helppo laskea, koska se on

γ ( t ) = ( r cos ⁡ s r , r sin ⁡ s-r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {t}{t}},r\sin {\frac {t}{t}}\right).}

Se on kaaren pituus parametrization, koska normi

γ ’ ( t ) = ( − sin ⁡ s r , cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}”(s)=\left(-\sin {\frac {t}{t}},\cos {\frac {t}{t}}\right)}

on yhtä kuin yksi. Tämä parametrization antaa sama arvo kaarevuus, koska se merkitsee jako r3 sekä osoittaja ja nimittäjä edellisen kaavaa.

sama ympyrä voidaan määritellä myös implisiittinen yhtälö F(x, y) = 0 F(x, y) = x2 + y 2 – r2., Sitten, kaava kaarevuus tässä tapauksessa antaa

κ = | F, y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{t}}.,\end{aligned}}}

ParabolaEdit

Harkitse paraabeli y = ax2 + bx + c.

Se on kuvaaja funktio, jonka derivaatta 2ax + b, ja toinen derivaatta 2a. Niin, allekirjoitettu kaarevuus on

k ( x ) = 2 ( 1 + ( 2 x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(x)={\frac {2a}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

sillä on merkki a kaikille arvoille X., Tämä tarkoittaa, että, jos a > 0, koveruus on ylöspäin suunnattu kaikkialla; jos < 0, koveruus on alaspäin suunnattu; a = 0, kaarevuus on nolla kaikkialla, jossa vahvistetaan, että paraabeli rappeutuu linja tässä tapauksessa.

(allekirjoittamaton) kaarevuus on suurimmillaan, kun x = –b/2a, joka on pisteeseen (nolla johdannainen) on toiminto, joka on vertex, parabola.

Harkitse parametrization γ(t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). X: n ensimmäinen derivaatta on 1 ja toinen derivaatta on nolla., Sijoittamalla kaavaan yleistä parametrizations antaa täsmälleen saman tuloksen kuin edellä, jossa x korvataan t. Jos käytämme primes johdannaisten osalta parametri t.

sama paraabeli voi myös olla määritelty implisiittisesti yhtälöllä F(x, y) = 0 F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Kuten Fy = -1, ja Fyy = Fxy = 0, saadaan täsmälleen sama arvo (unsigned) kaarevuus. Kuitenkin allekirjoittanut kaarevuus on merkityksetön täällä, niin –F(x, y) = 0 on voimassa oleva implisiittinen yhtälö saman paraabeli, joka antaa päinvastainen merkki kaarevuus.,

Frenet–Serret kaavat kone curvesEdit

ilmaus kaarevuus kannalta arc-pituus parametrization on lähinnä ensimmäinen Frenet–Serret kaava

T ’ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} ”(s)=\kappa (t)\mathbf {N} (s)}

jos luvut viittaavat johdannaisten osalta kaaren pituus s, ja N(s) on normaali yksikkövektori suuntaan T'(s).

Kuten planar curves on nolla vääntö, toinen Frenet–Serret kaava tarjoaa suhteessa

d N d s = − κ T , = − κ d γ d s ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}

yleinen parametrization, joita parametri t, yksi on ilmauksia, joissa johdannaiset t suhteen. Kun nämä on saatu kertomalla ds/dt johdannaisten osalta s, yksi on, mistään oikea parametrization

N ’( t ) = − κ ( t ) γ ’ ( t ) . {\displaystyle \mathbf {N} ”(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}”(t).}

---