Kokonaisluku

peruskoulun opetus, kokonaisluvut ovat usein intuitiivisesti määritellään (positiivinen) luonnolliset luvut nolla, ja negaatioiden, luonnolliset luvut., Kuitenkin, tämä tyyli määritelmä johtaa monet eri tapauksissa (kukin laskutoimitus on määriteltävä kunkin yhdistelmä erilaisia kokonaisluku) ja tekee työläs todistaa, että kokonaislukuja noudattaa eri lakien aritmeettinen. Siksi nykyaikaisessa set-teoreettisessa matematiikassa käytetään usein abstraktimpaa rakennetta, jonka avulla voidaan määritellä aritmeettiset operaatiot ilman minkäänlaista eroa. Kokonaisluvut voidaan siis muodollisesti konstruoida tilattujen luonnollisten lukujen parien ekvivalenssiluokiksi (a, b).,

intuitio on, että (a,b) tarkoittaa tulosta vähentämällä b. Vahvista meidän olettaen, että 1 − 2 ja 4 − 5 tarkoittavat samaa numeroa, me määrittää vastaavuuden suhteessa ~ näitä paria seuraavaa sääntöä:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

juuri kun

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

Lisäksi ja kertolasku kokonaislukujen voidaan määritellä osalta vastaa toimintansa luonnolliset luvut; käyttämällä tarkoittamaan ekvivalenssiluokka, joilla (a,b) jäsen, yksi on:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \cdot:=.}

kokonaisluvun negaatio (tai additiivinen käänteisluku) saadaan kääntämällä parin järjestys:

− := . {\displaystyle -:=.}

siten vähennys voidaan määritellä additiivisen käänteisvärin lisäykseksi:

− := . {\displaystyle -:=.}

standardi tilaaminen kokonaislukuja on annettu:

< {\displaystyle <}, jos ja vain jos a + d < b + c . {\displaystyle a+d<b+c.,}

Se on helppo varmistaa, että nämä määritelmät ovat riippumattomia valinta edustajat vastaavuuden luokkaan.

Näin ollen on merkitty

{ a − b , jos a ≥ b − ( b − a ) , jos a < b . {\displaystyle {\begin{tapauksissa}a-b&{\mbox{jos }}a\geq b\\-(b-a)&{\mbox{jos }}<b.\end{tapauksissa}}}

Jos luonnolliset luvut tunnistetaan vastaavat kokonaislukuja (käyttäen upottamisen edellä mainittiin), tämä yleissopimus luo epäselvyyttä.,

tämä notaatio palauttaa kokonaislukujen tutun edustuksen as {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Joitakin esimerkkejä ovat:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}

teoreettisen tietojenkäsittelyopin, muut lähestymistavat rakentamiseen kokonaislukuja käytetään automaattisia lause, provers ja aikavälillä kirjoittaa moottorit.Kokonaisluvut ovat edustettuina algebrallinen termejä rakennettu käyttäen muutamia perusasioita toimintaa (esim., nolla, succ, pred) ja, mahdollisesti, käyttää luonnolliset luvut, joiden oletetaan olevan jo rakennettu (käyttäen sanoa, Peano lähestymistapa).

tällaisia allekirjoitettujen kokonaislukujen konstruktioita on ainakin kymmenen., Nämä rakennelmat eroavat toisistaan useilla tavoilla: useita perustoimintoja, joita käytetään rakennus -, numero (yleensä, välillä 0 ja 2) ja tyypit argumentteja, on hyväksynyt nämä toimet; läsnäolo tai puuttuminen luonnolliset luvut argumentteina joitakin näistä toiminta, ja se, että nämä toiminnot ovat ilmaisia rakentajien tai ei, eli, että sama kokonaisluku voidaan esittää käyttämällä vain yksi tai monta algebrallinen termejä.,

tekniikka rakentamiseen kokonaislukuja esitetty edellä tässä jaksossa vastaa erityisesti tapauksessa, jossa on yksi perustoiminnot pari ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}, joka ottaa argumenteikseen kaksi luonnolliset luvut x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} , ja palauttaa kokonaisluku (sama kuin x − ja y – {\displaystyle x-y} ). Tämä toiminta ei ole ilmainen, koska kokonaisluku 0 voidaan kirjoittaa paria(0,0), tai pari(1,1), tai pari(2,2), jne., Tämä tekniikka rakentaminen on käytössä proof assistant Isabelle; kuitenkin, monia muita työkaluja käyttää vaihtoehtoisia tekniikoita, merkittäviä ne perustuvat vapaa-rakennuttajat, jotka ovat yksinkertaisempia, ja ne voidaan toteuttaa tehokkaammin tietokoneissa.

---