Courbure

intuitivement, la courbure décrit pour n’importe quelle partie d’une courbe combien la direction de la courbe change sur une petite distance parcourue (par exemple angle en rad/m), c’est donc une mesure de la vitesse instantanée de changement de direction d’un point qui se déplace sur la courbe: plus la courbure En d’autres termes, la courbure mesure la vitesse à laquelle le vecteur tangent unitaire à la courbe tourne (rapide en termes de position de la courbe). En fait, il peut être prouvé que ce taux de changement instantané est exactement la courbure., Plus précisément, supposons que le point se déplace sur la courbe à vitesse constante d’une unité, c’est la position du point P(s) est une fonction du paramètre s, ce qui peut être pensé comme la durée ou la longueur de l’arc à partir d’une origine donnée. Supposons que T(s), une unité vecteur tangent à la courbe P(s), qui est aussi la dérivée de P(s) par rapport à s. Alors, la dérivée de T(s) par rapport à s est un vecteur normal à la courbe et dont la longueur est la courbure.,

pour être significative, la définition de la courbure et ses différentes caractérisations exigent que la courbe soit continuellement différentiable près de P, pour avoir une tangente qui varie continuellement; elle exige aussi que la courbe soit deux fois différentiable à P, pour assurer l’existence des limites impliquées, et de la dérivée de T(s).

la caractérisation de la courbure en termes de dérivée du vecteur tangent unitaire est probablement moins intuitive que la définition en termes de cercle osculateur, mais les formules de calcul de la courbure sont plus faciles à déduire., Par conséquent, et aussi en raison de son utilisation en cinématique, cette caractérisation est souvent donnée comme une définition de la courbure.

cercle Osculatifmodifier

historiquement, la courbure d’une courbe différentiable était définie par le cercle osculateur, qui est le cercle qui se rapproche le mieux de la courbe en un point. Plus précisément, étant donné un point P d’une courbe, tout autre point Q de la courbe définit un cercle (ou parfois une droite) passant par Q et tangent à la courbe en P. Le cercle osculateur est la limite, s’il existe, de ce cercle lorsque Q tend vers P., Ensuite, le centre et le rayon de courbure de la courbe en P sont le centre et le rayon du cercle osculateur. La courbure est l’inverse du rayon de courbure. Autrement dit, la courbure est

κ = 1 R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

où R est le rayon de courbure (le cercle entier a cette courbure, il peut être lu comme tourner 2π sur la longueur 2nR).

Cette définition est difficile à manipuler et à exprimer dans les formules. Par conséquent, d’autres définitions équivalentes ont été introduites.,

en termes de paramétrisation de la longueur d’arcedit

chaque courbe différentiable peut être paramétrée par rapport à la longueur d’arc. Dans le cas d’une courbe plane, cela signifie l’existence d’une paramétrisation γ(s) = (x(s), y(s)), où x et y sont des fonctions différentiables à valeurs réelles dont les dérivées satisfont

γ γ ‘‖ = x ‘( s ) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }} »\|={\sqrt {x(s)^{2}+y »(s)^{2}}}=1.,}

Cela signifie que le vecteur tangent

T ( s ) = ( x ‘( s ) , y ‘( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x »(s),y(s){\bigr )}}

a une norme égale à un et est donc une unité de vecteur tangent.

Si la courbe est deux fois différentiable, c’est-à-dire si les dérivées secondes de x et y existent, alors la dérivée de T(s) existe. Ce vecteur est normal à la courbe, sa norme est la courbure κ(s), et il est orienté vers le centre de courbure.,yle {\begin{aligné}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }} »(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\implique \mathbf {T} « (s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} « (s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }} » »(s)\|={\sqrt {x(s)^{2}+y » »(s)^{2}}}\\\end{aligné}}}

en Outre, comme le rayon de courbure est

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

et le centre de courbure est sur la normale à la courbe, le centre de courbure est le point

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‘ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} « (s).}

Si N(s) est le vecteur normal unitaire obtenu à partir de T ( s) par une rotation dans le sens antihoraire de π/2, alors

T ‘ (S ) = k ( s ) N(s ) , {\displaystyle \mathbf {T} « (s)=k (S)\mathbf {N} (S),}

avec k(s) = ± κ (s). Le nombre réel k (s) est appelé courbure orientée ou signée. Cela dépend à la fois de l’orientation du plan (définition du sens antihoraire) et de l’orientation de la courbe fournie par la paramétrisation., En fait, le changement de variable s → –S fournit une autre paramétrisation de longueur d’arc, et modifie le signe de k(s).

en termes de paramétrisation généraledit

soit γ(t) = (x(t), y(t)) une représentation paramétrique propre d’une courbe plane deux fois différentiable. Ici propre signifie que sur le domaine de définition de la paramétrisation, la dérivée dy/dtis définie, différentiable et nulle part égale au vecteur nul.,

Avec une telle paramétrisation, la signature de la courbure est

k = x ‘ y « − y ‘ x « ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x »y » »y » « x » »}{\left({x »}^{2}+{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

où les nombres premiers se réfèrent à des instruments dérivés par rapport à t. La courbure κ est donc

κ = | x ‘ y « − y ‘ x « | ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x »y » »y » « x » »|}{\left({x »}^{2}+{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

ceux-ci peuvent être exprimées dans un système de coordonnées sans que

k = det ( γ ‘, γ « ) ‖ γ ‘‖ 3 , κ = | det ( γ ‘, γ « ) | ‖ γ ‘ ğ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }} »,{\boldsymbol {\gamma }} » »)}{\|{\boldsymbol {\gamma }} »\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }} »,{\boldsymbol {\gamma }} » »)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }} »\|^{3}}}.}

ces formules peuvent être dérivées du cas particulier de la paramétrisation de longueur d’arc de la manière suivante. La condition ci-dessus sur la paramétrisation implique que la longueur d’arc s est une fonction monotone différentiable du paramètre t, et inversement que t est une fonction monotone de S., De plus, en changeant, si nécessaire, s en-s, on peut supposer que ces fonctions augmentent et ont une dérivée positive. En utilisant la notation de la section précédente et la règle de chaîne, on a

D γ D T = D s d t T , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{DT}}\mathbf {t} ,}

et donc, en prenant la norme des deux côtés

D T d s = 1 γ γ’‖, {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }} »\|}},}

où le premier désigne la dérivation par rapport à t.

la courbure est la norme de la dérivée de T par rapport à S., En utilisant la formule ci-dessus et la règle de chaîne, cette dérivée et sa norme peuvent être exprimées en termes de γ’ Et γ » seulement, avec le paramètre de longueur d’arc S complètement éliminé, donnant les formules ci-dessus pour la courbure.

Graphique d’une functionEdit

Le graphe d’une fonction y = f(x), est un cas particulier d’une courbe paramétrée, de la forme

x = t y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligné}x&=t\\y&=f(t).,\end{aligné}}}

Comme la première et la deuxième dérivés de x sont 1 et 0, les formules précédentes simplifier à l’

κ = « | y | ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y » »|}{\left(1+{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

pour la courbure, et de

k = y ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y » »}{\left(1+{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

pour la signature de la courbure.

dans le cas général d’une courbe, le signe de la courbure signée est en quelque sorte arbitraire, comme dépendant d’une orientation de la courbe., Dans le cas du graphe d’une fonction, il y a une orientation naturelle en augmentant les valeurs de X. Cela rend significatif le signe de la courbure signée.

le signe de la courbure signée est le même que le signe de la dérivée seconde de F. S’il est positif, le graphe a une concavité vers le haut et, s’il est négatif, le graphe a une concavité vers le bas. C’est zéro, alors on a un point d’inflexion ou un point d’ondulation.

lorsque la pente du graphe (c’est-à-dire la dérivée de la fonction) est petite, la courbure signée est bien approchée par la dérivée seconde., Plus précisément, en utilisant la notation big O, on a

k ( x ) = y « + O ( y ‘ 2 ) . {\displaystyle k(x)=y » »+O\left({y}^{2}\right).}

il est courant en physique et en ingénierie d’approximer la courbure avec la dérivée seconde, par exemple, en théorie des faisceaux ou pour dériver l’équation d’onde d’une chaîne tendue, et d’autres applications où de petites pentes sont impliquées. Cela permet souvent de considérer comme des systèmes linéaires qui ne sont pas linéaires autrement.,

Polaire coordinatesEdit

Si une courbe est définie en coordonnées polaires par le rayon exprimé comme une fonction de l’angle polaire, qui est de r est une fonction de θ, puis sa courbure est

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‘2 − r r » | ( r 2 + r ‘ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r »}^{2}-r\,r » »\right|}{\left(r^{2}+{r »}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

où le premier se réfère à la dérivée par rapport à θ.,

C’est le résultat de la formule générale de paramétrages, en considérant le paramétrage

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligné}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligné}}}

Implicite curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{aa}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

la courbure signée n’est pas définie, car elle dépend d’une orientation de la courbe qui n’est pas fournie par l’équation implicite. De plus, changer F en –F ne change pas la courbe, mais change le signe du numérateur si la valeur absolue est omise dans la formule précédente.

un point de la courbe où Fx = Fy = 0 est un point singulier, ce qui signifie que la courbe n’est pas différentiable à ce point, et donc que la courbure n’est pas définie (le plus souvent, le point est soit un point de croisement, soit une cuspide).,

la formule ci − dessus pour la courbure peut être dérivée de l’expression de la courbure du graphe d’une fonction en utilisant le théorème des fonctions implicites et le fait que, sur une telle courbe, on a

d Y d x = – F x F Y. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

Il peut être utile de vérifier sur des exemples simples que les différentes formules données dans les sections précédentes donnent le même résultat.

CircleEdit

Une commune de la paramétrisation d’un cercle de rayon r est γ(t) = (r cos t, r sin t)., La formule de la courbure donne

k ( t ) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 .r. {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

Il en résulte, comme prévu, que le rayon de courbure est le rayon du cercle, et que le centre de courbure est le centre du cercle.

Le cercle est un cas rare où la paramétrisation de la longueur d’arc est facile à calculer, car elle est

γ ( s ) = ( r cos s s r , r sin ⁡ s r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}}\right).}

C’est un arc-paramétrage de la longueur, depuis la norme de

γ ‘ ( s ) = ( − sin ⁡ s r , cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }} »(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

est égal à un. Cette paramétrisation donne la même valeur pour la courbure, car elle équivaut à la division par r3 dans le numérateur et le dénominateur de la formule précédente.

sur Le même cercle peut également être défini par l’équation implicite F(x, y) = 0 avec F(x, y) = x2 + y2 – r2., Ensuite, la formule de la courbure dans ce cas donne

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 .r. {\displaystyle {\begin{aligné}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{aa}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\ end{aligned}}}

ParabolaEdit

considérons la parabole y = ax2 + bx + c.

c’est le graphe d’une fonction, de dérivée 2AX + b, et de dérivée seconde 2A. ainsi, la courbure signée est

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 A x + b ) 2 ) 3 2 . il est possible de créer un lien entre les deux.{3}{2}}}}.}

il a le signe de a pour toutes les valeurs de X., Cela signifie que, si un > 0, la concavité est dirigée vers le haut partout; si un < 0, la concavité est dirigée vers le bas; pour a = 0, la courbure est nulle partout, confirmant que la parabole dégénère en ligne dans ce cas.

la courbure (non signée) est maximale pour x = –b/2A, c’est-à-dire au point stationnaire (dérivée nulle) de la fonction, qui est le sommet de la parabole.

considérons la paramétrisation γ(t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). La dérivée de x est 1, et la dérivée seconde est nulle., La substitution dans la formule des paramétrisations générales donne exactement le même résultat que ci – dessus, avec x remplacé par T. Si nous utilisons des nombres premiers pour les dérivées par rapport au paramètre T.

la même parabole peut également être définie par l’équation implicite F(x, y) = 0 avec F(x, y) = ax2 + bx + c-Y. comme Fy = -1, et Fyy = FXY = 0, on obtient exactement la même valeur pour la courbure (non signée). Cependant, la courbure signée n’a pas de sens ici, car –F (x, y) = 0 est une équation implicite valide pour la même parabole, ce qui donne le signe opposé pour la courbure.,

formules de Frenet–Serret pour les courbes planesmodifier

l’expression de la courbure en termes de paramétrisation de longueur d’arc est essentiellement la première formule de Frenet-Serret

T ‘ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} « (s)=\kappa (s)\mathbf {N} (S),}

où les nombres premiers se réfèrent aux dérivées par rapport à la longueur d’arc s, et N(s) est la direction de t'(s).

comme les courbes planes ont une torsion nulle, la deuxième formule de Frenet–Serret fournit la relation

D N d s = − κ t , = − κ D γ D s., {\displaystyle {\begin{aligné}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end {aligned}}}

pour une paramétrisation générale par un paramètre t, on a besoin d’expressions impliquant des dérivées par rapport à T. comme celles − ci sont obtenues en multipliant par ds/dt les dérivées par rapport à s, on a, pour toute paramétrisation propre

N ‘( t) = – κ ( t ) γ ‘ ( t). {\displaystyle \mathbf {N} « (t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }} »(t).}

---