Entier

dans l’enseignement primaire, les entiers sont souvent définis intuitivement comme les nombres naturels (positifs), zéro et les négations des nombres naturels., Cependant, ce style de définition conduit à de nombreux cas différents (chaque opération arithmétique doit être définie sur chaque combinaison de types d’entiers) et rend fastidieux de prouver que les entiers obéissent aux différentes lois de l’arithmétique. Par conséquent, dans les mathématiques théoriques des ensembles modernes, une construction plus abstraite permettant de définir des opérations arithmétiques sans distinction de cas est souvent utilisée à la place. Les entiers peuvent donc être construits formellement comme les classes d’équivalence de paires ordonnées de nombres naturels (a,b).,

l’intuition est que (a,b) représente le résultat de la soustraction de b de A. pour confirmer notre attente que 1 − 2 et 4 − 5 désignent le même nombre, nous définissons une relation d’équivalence ~ sur ces paires avec la règle suivante:

(A , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (A,b)\sim (c,d)}

précisément quand

a + D = b + C. {\displaystyle a + d=b + C.}

L’Addition et la multiplication d’entiers peuvent être définies en termes d’opérations équivalentes sur les nombres naturels; en utilisant pour désigner la classe d’équivalence ayant (a,b) comme membre, On A:

+:=. {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \ cdot:=.}

la négation (ou inverse additif) d’un entier est obtenue en inversant l’ordre de la paire:

−:=. {\displaystyle -:=.}

Par conséquent, la soustraction peut être définie comme l’addition de l’inverse additif:

−:=. {\displaystyle -:=.}

Le standard de la commande sur les entiers est donnée par:

< {\displaystyle <} si et seulement si a + d < b + c . {\displaystyle a + d <b+C.,}

il est facile de vérifier que ces définitions sont indépendantes du choix des représentants des classes d’équivalence.

Donc, est désigné par

{ a − b , si a ≥ b − ( b − a) si a < b . {\displaystyle {\begin{cas}a-b,&{\mbox{si }}un\geq b\\-(b-a),&{\mbox{si }}<b.\end{cas}}}

Si les nombres naturels sont identifiés avec les correspondants des entiers (à l’aide de l’intégration mentionné ci-dessus), la présente convention ne crée pas d’ambiguïté.,

cette notation récupère la représentation familière des entiers comme {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

voici Quelques exemples:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end {aligned}}}

en informatique théorique, d’autres approches pour la construction d’entiers sont utilisées par les prouveurs de théorème automatisés et les moteurs de réécriture de termes.Les entiers sont représentés comme des termes algébriques construits en utilisant quelques opérations de base (par exemple, zéro, succ, pred) et, éventuellement, en utilisant des nombres naturels, qui sont supposés être déjà construits (en utilisant, par exemple, l’approche de Peano).

Il existe au moins dix constructions de ce type d’entiers signés., Ces constructions diffèrent de plusieurs façons: le nombre d’opérations de base utilisées pour la construction, le nombre (généralement compris entre 0 et 2) et les types d’arguments acceptés par ces opérations; la présence ou l’absence de nombres naturels comme arguments de certaines de ces opérations, et le fait que ces opérations sont des constructeurs libres ou non, c’est-à-dire que le même entier peut être représenté en utilisant seulement un ou plusieurs termes algébriques.,

la technique de construction des entiers présentée ci − dessus dans cette section correspond au cas particulier où il existe une seule paire d’opérations de base ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} qui prend comme arguments deux nombres naturels x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} , et renvoie un entier (égal à x-y {\displaystyle x-Y} ). Cette opération n’est pas libre puisque l’entier 0 peut être écrit paire(0,0), ou paire(1,1), ou paire(2,2), etc., Cette technique de construction est utilisée par L’assistante de preuve Isabelle; cependant, de nombreux autres outils utilisent des techniques de construction alternatives, notamment celles basées sur des constructeurs libres, qui sont plus simples et peuvent être implémentées plus efficacement dans les ordinateurs.

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