Fonction de densité de probabilité
Par Marco Taboga, PhD
la distribution d’une variable aléatoire continue peut être caractérisée par sa fonction de densité de probabilité (pdf). La probabilité qu’une variable aléatoire continue prend une valeur dans un intervalle donné est égale à l’intégrale de sa fonction de densité de probabilité sur cet intervalle, qui à son tour est égale à l’aire de la région dans le plan xy délimitée par l’axe des x, les pdf et les lignes verticales correspondant aux limites de l’intervalle.,
par exemple, dans l’image ci-dessous, la ligne bleue est le pdf d’une variable aléatoire normale et l’aire de la région Rouge est égale à la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur comprise entre -2 et 2.
Définition
ce qui suit est une définition formelle.
Définition de La fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire continue 
est une fonction 
tels que
pour tout intervalle .,
L’ensemble de valeurs pour est appelé le support de .,pour intégrer la fonction de densité de probabilité sur cet intervalle:
la densité de probabilité n’est pas une probabilité
Il est important de comprendre une différence fondamentale entre la fonction de densité de probabilité, qui caractérise la distribution d’une variable aléatoire continue, et la fonction de masse de probabilité, qui caractérise la distribution d’une variable aléatoire discrète (rappelez-vous: une variable aléatoire est discrète si le nombre de valeurs qu’elle peut prendre est dénombrable, alors que le nombre de valeurs qu’une variable aléatoire continue peut prendre est incalculable)., La masse de probabilité de la fonction d’une variable discrète est une fonction qui vous donne, pour tout nombre réel , la probabilité que le sera égal à . Au contraire, si est une variable continue, sa fonction de densité de probabilité évalué à un moment donné n’est pas la probabilité que le sera égal à ., Comme une question de fait, cette probabilité est égale à zéro pour tout car
où est une primitive (ou primitive) de .
Si ce dernier résultat vous laisse perplexe, il est conseillé de lire la Conférence sur les événements à Probabilité nulle.
bien que ce ne soit pas une probabilité, la valeur du pdf à un point donnépeut être donnée une interprétation simple:
où est un petit incrément.,
La preuve que nous allons donner n’est pas rigoureuse. Plutôt, nous nous concentrons sur l’intuition. Par souci de simplicité, nous supposons que le pdf est une fonction continue. Strictement parlant, cela n’est pas nécessaire, bien que la plupart des PDF rencontrés dans la pratique soient continus (par définition, un pdf doit être intégrable; cependant, alors que toutes les fonctions continues sont intégrables, toutes les fonctions intégrables ne sont pas continues)., Si le fichier pdf est continue et est petit, alors est bien approchée par pour tout appartenant à l’intervalle 
. Il s’ensuit que 
dans l’égalité approximative ci-dessus, nous considérons la probabilité que soit égal à ou à une valeur appartenant à un petit intervalle proche de . En particulier, nous considérons l’intervalle ., La probabilité est proportionnelle à la longueur du petit intervalle que nous considérons. La constante de proportionnalité est la fonction de densité de probabilité de évaluée: . Ainsi, plus la pdf est à un point donné , plus élevée est la probabilité que le aura une valeur de près de .,
concepts connexes
Les concepts connexes sont ceux de:
-
joint probability density function, qui caractérise la distribution d’un vecteur aléatoire continu;
-
marginal probability density function, qui caractérise la distribution d’un sous-ensemble d’entrées d’un vecteur aléatoire;
-
conditional probability density function, qui est un pdf obtenu en conditionnant sur la réalisation d’une autre variable aléatoire.,
Plus de détails
fonctions de densité de Probabilité sont discutés plus en détail dans la conférence intitulée » variables Aléatoires.
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