Loi de Snell

La loi de Snell peut être dérivée de différentes manières.

dérivation du principe de Fermatmodifier

La loi de Snell peut être dérivée du principe de Fermat, qui stipule que la lumière parcourt le chemin qui prend le moins de temps., En prenant la dérivée de la longueur du chemin optique, on trouve le point stationnaire donnant le chemin pris par la lumière. (Il y a des situations de lumière violant le principe de Fermat en ne prenant pas le moindre chemin de temps, comme dans la réflexion dans un miroir (sphérique).) Dans une analogie classique, la zone d « indice de réfraction inférieur est remplacée par une plage, la zone d »indice de réfraction supérieur par la mer, et le moyen le plus rapide pour un sauveteur sur la plage d » atteindre une personne qui se noie dans la mer est de courir le long d  » un chemin qui suit la loi de Snell.,

Comme indiqué dans la figure à droite, supposons que l’indice de réfraction du milieu 1 et le support 2 n 1 {\displaystyle n_{1}} et n 2 {\displaystyle n_{2}} respectivement. La lumière entre dans le milieu 2 à partir du milieu 1 via le point O.

les vitesses de phase de la lumière dans le milieu 1 et le milieu 2 sont

v 1 = c/N 1 {\displaystyle V_{1}=c / n_{1}} et V 2 = C/n 2 {\displaystyle v_{2}=C / n_{2}} respectivement.,

c {\displaystyle c} est la vitesse de la lumière dans le vide.

T est le temps nécessaire à la lumière pour voyager d’un point Q par le point O au point P.

T = x 2 + 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + 2 v 1 + b 2 + l 2 − 2 l x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+c^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

où a, b, l et x sont comme indiqué dans la figure de droite, x étant la variable de paramètres.,heta _{2}}{v_{2}}} n 1 sin θ θ 1 c = n 2 sin θ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}} {C}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}} {C}} n 1 sin θ θ 1 = n 2 sin θ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

dérivation du principe de huygensmodifier

alternativement, la loi de Snell peut être dérivée en utilisant l’interférence de tous les chemins possibles de l’onde lumineuse de la source à l’observateur—il en résulte des interférences destructrices partout sauf extrema de phase (où,

dérivation des équations de Maxwellmodifier

Une autre façon de dériver la Loi de Snell implique une application des conditions générales aux limites des équations de Maxwell pour le rayonnement électromagnétique.,θ 1 = n 2 k 0 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}

Vecteur formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r é f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflètent} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Cela reflète l’orientation du vecteur pointe vers le côté de la surface où la lumière est venue de.,{2}={\sqrt {1-(\sin \ thêta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} V → r E F R a C T = ( n 1 n 2 ) l → + ( n 1 n 2 cos θ θ 1 − cos θ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {réfracter} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r A C T = R L → + ( R C − 1 − R 2 ( 1 − C 2 ) ) n → Il est possible de créer un lien entre les différents types de fichiers et les différents types de fichiers.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r é f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r é f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refléter} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {réfracter} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

les valeurs de cosinus peuvent être enregistrées et utilisées dans les équations de Fresnel pour déterminer l’intensité des rayons résultants.