Propriété Associative
une opération binaire ∗ {\displaystyle *} sur un ensemble s qui ne satisfait pas la loi associative est appelée non associative. Symboliquement,
( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) pour certaines valeurs de x , y , z ∈ S . {\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{pour certains }}x,y,z\in S.}
Pour une telle opération, l’ordre d’évaluation n’a d’importance., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
notez Également que les sommes infinies ne sont généralement pas associatif, par exemple:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots \,=\,0}
alors que
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots \,=\,1}
L’étude de la non-structures associatives découle de raisons quelque peu différentes de l’ensemble de la classique de l’algèbre., Un domaine dans l’algèbre non associative qui a pris de l’ampleur est celui des algèbres de Lie. Là, le droit associatif est remplacé par L’identité Jacobi. Les algèbres de Lie abstraient la nature essentielle des transformations infinitésimales et sont devenues omniprésentes en mathématiques.
Il existe d’autres types spécifiques de structures non associatives qui ont été étudiés en profondeur; ceux-ci ont tendance à provenir de certaines applications ou domaines spécifiques tels que les mathématiques combinatoires. D’autres exemples sont quasigroup, quasifield, anneau non associatif, algèbre non associative et magmas commutatifs non associatifs.,
Nonassociativité du calcul en virgule flottantedit
en mathématiques, l’addition et la multiplication des nombres réels sont associatives. En revanche, en informatique, l’addition et la multiplication des nombres à virgule flottante ne sont pas associatives, car des erreurs d’arrondi sont introduites lorsque des valeurs de taille différente sont réunies.
même si la plupart des ordinateurs calculent avec 24 ou 53 bits de mantisse, c’est une source importante d’erreur d’arrondi, et des approches telles que L’algorithme de sommation Kahan sont des moyens de minimiser les erreurs., Cela peut être particulièrement problématique en informatique parallèle.
Notation pour les opérations non associativesedit
en général, les parenthèses doivent être utilisées pour indiquer l’ordre d’évaluation si une opération non associative apparaît plus d’une fois dans une expression (sauf si la notation spécifie l’ordre d’une autre manière, comme 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac{2}{3/4}}} ). Cependant, les mathématiciens s’accordent sur un ordre particulier d’évaluation pour plusieurs opérations non associatives communes. Il s’agit simplement d’une convention notationnelle pour éviter les parenthèses.,
à gauche-associatif fonctionnement est un non-associatif fonctionnement qui est classiquement évaluée de gauche à droite, c’est à dire,
x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z etc. } pour tout w, x , y, z ∈ s {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{pour tout }}w,x,y,z\S}
bien que le droit à l’associatif l’opération est classiquement évaluée à partir de la droite vers la gauche:
x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) etc., } pour tout w, x , y, z ∈ s {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{pour tout }}w,x,y,z\S}
les Deux associatifs gauche et droit associatif opérations se produisent., Associatifs gauche opérations comprennent les suivantes:
- la Soustraction et la division de nombres réels:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- la Fonction de demande:
( f x y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle f\,x\,y)=((f\x)\,y)} Cette notation peut être motivée par le nourrissage isomorphisme.,
Les opérations associatives à droite sont les suivantes:
- Exponentiation des nombres réels en notation exposant:
x y z = x ( Y z ) {\displaystyle x^{y^{Z}}=x^{(Y^{Z})}} L’Exponentiation est couramment utilisée avec des crochets ou de manière associative à droite car une opération d’exponentiation associative à gauche répétée est peu utile. Les puissances répétées seraient principalement réécrites avec la multiplication: (X Y ) z = x (Y z) {\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}} formaté correctement, l’exposant se comporte intrinsèquement comme un ensemble de parenthèses; par exemple, dans l’expression 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3}} l’ajout est effectué avant l’exponentiation malgré l’absence de parenthèses explicites 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} enroulé autour d’elle. Ainsi, étant donné une expression telle que x Y z {\displaystyle X^{y^{z}}}, l’exposant complet y z {\displaystyle y^{z}} De La base x {\displaystyle x} est évalué en premier., Cependant, dans certains contextes, en particulier dans l’écriture, la différence entre x y z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} et x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} peut être difficile à voir. Dans un tel cas, l’associativité de droite est généralement implicite.,
- définition de la Fonction
Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − y = x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} en Utilisant le bouton droit associatif notation pour ces opérations peuvent être motivés par la Curry–Howard correspondance et par le nourrissage isomorphisme.
les opérations Non associatives pour lesquelles aucun ordre d’évaluation conventionnel n’est défini sont les suivantes.,il s’agit d’une combinaison de trois vecteurs: prenant le produit croisé de trois vecteurs: a → × (B → × C→) ≠ (A → × B→) × C → pour certains a → , B → , c → ∈ R 3 {\il est possible de créer une interface graphique avec des paramètres tels que: \vec {a}} \times ({\vec {B}} \times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}} \times {\vec {B}})\times {\vec {c}} \qquad {\MBOX {pour certains}} {\vec {a}}, {\vec {B}}, {\vec {C}}\in\mathbb {R} ^{3}}
- en prenant la moyenne par paire des nombres réels:
(x + y) / 2 + Z 2 ≠ X + (Y + Z) / 2 2 pour tous X , Y , Z ∈ R avec X Z Z., {\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{pour tout }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ avec }}x\neq z.}