Pythagorean Triple (Français)

A Pythagorean triple is a triple of positive integers , , and such that a right triangle exists with legs and hypotenuse ., Par le théorème de Pythagore, c’est équivalent à trouver des entiers positifs , , et satisfaisantes

Le plus petit et le plus connu de Pythagore triple est . Le triangle rectangle ayant ces longueurs de côté est parfois appelé le triangle 3, 4, 5.,

Les tracés des points dans le-plan tels que est un triple pythagoricien sont indiqués ci-dessus pour des bornes successivement plus grandes. Ces diagrammes incluent des valeurs négatives de Et , et sont donc symétriques sur les axes x et Y.

de même, des tracés de points dans le-plan tels que est un triple pythagoricien sont montrés ci-dessus pour des bornes successivement plus grandes.,

Il est habituel de ne considérer que les triples Pythagoriciens primitifs (également appelés triples « réduits ») dans lesquelsEt sont relativement premiers, car d’autres solutions peuvent être générées trivialement à partir des primitives. Les triplets primitifs sont illustrés ci-dessus, et on peut voir immédiatement que les lignes radiales correspondant aux triplets imprimitifs dans le tracé original sont absentes dans cette figure., Pour les solutions primitives, l’un des ou doit être de même, et l’autre impair (Shanks 1993, p. 141), avec des toujours impair.,= »7a4ddb31b8″>

Hall (1970) and Roberts (1977) prove that is a primitive Pythagorean triple iff

where is a finite product of the matrices , , .,662c5″>

Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as

for , which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case , ).,

The early Greeks gave

where and are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting and ).

Let be a Fibonacci number., Then

generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers , , and constructing the Fibonacci-like sequence with terms , , , , , …, generates distinct Pythagorean triples

(Horadam 1961), where

where is a Lucas number.

For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e., les deux plus petits nombres) est toujours divisible par 12, et le produit des trois côtés est divisible par 60. On ne sait pas s’il existe deux triples distincts ayant le même produit. L’existence de deux triples correspond à une solution non nulle de l’Diophantiennes équation

(Guy, 1994, p. 188).,

For a Pythagorean triple (, , ),

where is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc »>

(Robertson 1996).,

L’aire d’un triangle correspondant à celle de Pythagore triple est

Fermat prouvé qu’un certain nombre de ce formulaire ne peut jamais être un squarenumber.,td>

The number of such triangles is then

Then

(Beiler 1966, p., 116). Notez que le forum est premier ou deux fois un nombre premier. Les premiers nombres pour , 2, … sont 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,

Pour déterminer le nombre de façons plusieurs peut être l’hypoténuse primitif d’un triangle rectangle, écrire sa factorisation en tant que

les s sont de la forme et le s sont de la forme .,> as a hypotenuse is

			(29)
			(30)

(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, qui indique que cette formule ne donne que le nombre de solutions non primitives), où est la fonction somme des carrés., où peut-être une jambe ou de l’hypoténuse d’un triangle est donnée par

Laissez-le nombre de triples avec l’hypoténuse être notée , le nombre de triples avec l’hypoténuse être notée , et le nombre de primitives triples moins de être notée ., Then the following table summarizes the values for powers of 10.

	OEIS	, , …
	A101929	1, 50, 878, 12467, …
	A101930	2, 52, 881, 12471, …
	A101931	1, 16, 158, 1593, ..,.

Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than satisfies

(OEIS A086201).

There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d »>

Then the right triangle generated by each triple () has common area

Right triangles whose areas consist of a single digit include (area of 6) and (area of 666666; Wells 1986, p., 89).

en 1643, Fermat met au défi Mersenne de trouver un triplet pythagoricien dont l’hypoténuse et la somme des jambes sont des carrés.,

A related problem is to determine if a specified integer can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3 et 4 ne sont pas les aires des triangles rectangles rationnels, mais 5 est (3/2, 20/3, 41/6), tout comme 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case

			(47)
			(48)

(Koblitz 1993)., Il n’existe pas de méthode générale connue pour déterminer s’il existe une solution arbitraire , mais une technique conçue par J. Tunnell en 1983 permet d’exclure certaines valeurs (Cipra 1996).

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