Asszociatív tulajdonság
egy bináris művelet ∗ {\displaystyle*} egy s halmazon, amely nem felel meg az asszociatív törvénynek, nem asszociatívnak nevezzük. Szimbolikusan,
(x ∗ y) z z ≠ x ∗ (y ∗ z )néhány x, y, z ∈ S. {\displaystyle (x * y)*z\NEQ x*(y * z)\qquad {\mbox{néhány}}} X,y,z\in S.}
egy ilyen művelet esetében az értékelés sorrendje számít., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
megjegyezzük, hogy végtelen összegek általában nem asszociatív, például:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\pontok \,=\,0}
mivel
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\pontok \,=\,1}
A tanulmány nem-asszociatív struktúrák ered okok miatt némileg különbözik a hagyományos klasszikus algebra., Az egyik terület a nem asszociatív algebra, hogy nőtt nagyon nagy, hogy a hazugság algebrák. Ott az asszociatív törvényt felváltja a Jacobi identitás. A Lie algebrák az infinitezimális transzformációk alapvető természetét vonják el, és a matematikában mindenütt jelen vannak.
vannak más nem asszociatív struktúrák is, amelyeket mélyrehatóan tanulmányoztak; ezek általában bizonyos alkalmazásokból vagy területekből származnak, például kombinatorikus matematikából. További példák a quasigroup, quasifield, nem asszociatív gyűrű, nem asszociatív algebra és kommutatív nem asszociatív magmák.,
a lebegőpontos számítás Nonassociativitásaszerkesztés
a matematikában a valós számok összeadása és szorzása asszociatív. Ezzel szemben a számítástechnikában a lebegőpontos számok összeadása és szorzása nem asszociatív, mivel a különböző méretű értékek összekapcsolásakor kerekítési hibákat vezetnek be.
annak ellenére, hogy a legtöbb számítógép 24 vagy 53 bit Sáskával számol, ez a kerekítési hiba fontos forrása, és az olyan megközelítések, mint a Kahan összegzési algoritmus, a hibák minimalizálásának módjai., Ez különösen problematikus lehet A párhuzamos számítástechnikában.
nem asszociatív műveletek Jelöléseszerkesztés
általában zárójeleket kell használni az értékelés sorrendjének jelzésére, ha egy nem asszociatív művelet többször jelenik meg egy kifejezésben (kivéve, ha a jelölés más módon határozza meg a sorrendet, például 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). A matematikusok azonban egyetértenek egy adott értékelési sorrendben számos közös nem asszociatív művelet esetében. Ez egyszerűen egy közjegyzői egyezmény a zárójelek elkerülése érdekében.,
A bal-asszociatív művelet nem-asszociatív művelet, amely hagyományosan kiértékelése balról jobbra, azaz,
x ∗, y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗, y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z stb. } minden W , x , y, z ∈ s {\displaystyle \bal.{\begin {matrix}x * y * z=(x * y) * z\qquad \ qquad \ quad\, \ \ w * X * y * z=((w * x) * y) * z \ quad \ {\mbox{stb.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{mátrix}}\rendben\}{\mbox{valamennyi }}w,x,y,z\S}
míg egy asszociatív művelet hagyományosan értékelni, jobbról balra:
x ∗, y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗, y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) stb., } minden W , x , y, z ∈ s {\displaystyle \bal.{\begin {matrix}x * y * z=x * (y * z) \qquad \qquad \quad\, \\w*X*y*z=w*(x*(y*z))) \quad\{\mbox{etc.}} \ qquad \qquad \qquad \qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\mbox{for all }}} W, x, y, z\in S}
mind bal-asszociatív, mind jobb-asszociatív műveletek előfordulnak., Bal-asszociatív műveletek a következők:
- Kivonás, osztás a valós számok:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- a Funkciót alkalmazás:
( f x y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle (f\x\,y)=((a f\x)\,y)} Ez a jelölés lehet motiválja a currying isomorphism.,
A jobb asszociatív műveletek a következőket tartalmazzák:
- a valós számok Exponenciája a felső indexben:
x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}}} az Exponenciát általában zárójelekkel vagy jobb asszociatív módon használják, mivel az ismételt bal-asszociációs exponenciációs művelet kevéssé használható. Az ismétlődő hatásköröket többnyire szorzással írnák át: (x y) z = x (y z) {\displaystyle (x^{y})^{z} = x^{(yz)}} formázva helyesen, a felső index lényegében zárójelként viselkedik; pl., a 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3} kifejezésben a kiegészítés az exponencia előtt történik, annak ellenére, hogy nincs explicit zárójel 2(x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)} köré tekerve. Így egy olyan kifejezés, mint például x Y z {\displaystyle x^{Y^{z}}}}, először az X {\displaystyle x} bázis teljes kitevőjét értékeljük., Bizonyos kontextusokban azonban, különösen a kézírásban , a különbség x Y z = ( x y ) Z {\displaystyle {x^{y}}}^{Z}=(x^{y})^{Z}}, x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}}} és x y z = x ( y z ) {\displaystyle X^{y^{z}}=x^{(y^{Z}}}} (y ^ {Z})}}}}} között nehéz lehet látni. Ilyen esetben általában a jobb asszociativitást értjük.,
- függvénydefiníció
Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow {z} \rightarrow \mathbb {Z} )} X ↦ Y ↦ X − Y = x ↦ (Y ↦ x − y) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto ( y\mapsto x-y)} a jobb-asszociatív jelöléseket ezekre a műveletekre a curry–Howard levelezés és a currying izomorfizmus motiválhatja.
nem asszociatív műveletek, amelyekre nincs hagyományos értékelési sorrend meghatározása, a következők.,splaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow C}
- három vektor kereszttermékének felvétele:
a → × ( b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c→) × c → néhány a→, b→, c → ∈ r 3 {\displaystyle {\vec {a}}\Times ({\vec {B}}}\times {\vec {c}}})\NEQ ({\vec {a}}}\Times {\vec {B}}}})\times {\vec {C}}\qquad {\MBOX{ for some}}}} {\vec {a}}}}, {\vec {B}}}, {\vec {C}}}\in \mathbb {R} ^{3}}
- a valós számok páros átlaga:
( X + Y) / 2 + Z 2 ≠ X + ( Y + Z) / 2 2 minden X , Y , Z ∈ R X ≠ Z ., {\displaystyle {(x + y)/2+z \over 2}\NEQ {x+(y+z) / 2 \over 2}\qquad {\mbox{for all}}} X,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with}}} x\neq z.}