az Epsilon kalkulus

áttekintés

a századfordulón David Hilbert és Henri Poincaréwere elismerten a két legfontosabb matematikusgenerációjuk. Hilbert matematikai érdeklődési köre széles volt, és érdeklődést mutatott a matematika alapjai iránt: 1899-ben megjelent a geometria alapjai, 1900-ban pedig a matematikusok Nemzetközi Kongresszusának feltett kérdések listája, három kifejezetten alapvető kérdésekkel foglalkozott.,

Russell paradoxonjának közzétételét követően Hilbert 1904-ben beszédet mondott a matematikusok harmadik nemzetközi kongresszusán, ahol először vázolta a tervét, hogy szigorú alapot nyújtson a matematikához szintaktikuskonzisztencia bizonyítékokon keresztül. De komolyan nem tért vissza a témára1917-ig, amikor egy előadássorozatot kezdett Amatematika alapjairól Paul Bernays segítségével., Bár Hilbert a Principiamathematicában Russell és Whitehead munkájával volt elfoglalva, meggyőződött arról, hogy a logikusi kísérlet, hogy a matematikát a logikához igazítsák, nem sikerült, különösen a redukálhatóság axiómájának nem logikai jellege miatt. Ugyanakkor úgy ítélte meg, hogy a törvény intuicionista elutasításaa középt a matematika számára elfogadhatatlannak tartotta. Ezért annak érdekében, hogya logikai ésszet-elméleti paradoxonok felfedezésével felvetett aggodalmak, új megközelítésre volt szükség a modernmatematikai módszerek igazolásához.,

1920 nyarára Hilbert megfogalmazta ezt a megközelítést. Először is, a modern matematikai módszereket formális levonásokban kellett képviselnirendszerek. Másodszor, ezeket a formális rendszereket szintaktikusan kellett bizonyítanikonzisztens, nem egy modell bemutatásával vagy egy másik rendszerhez való konzisztenciájuk csökkentésével, hanem egy közvetlen metamatematikai érveléssel, az anexplicit, “végleges” karakter. A megközelítés vált ismertté, mint Hilbert programja. Az epsilon kalkulus volt az első eleme ennek a programnak, míg az epsilon szubsztitúciós módszere a második.,

az epsilon kalkulus a legalapvetőbb formája, az első rendű predikátum logikájának kiterjesztése egy “epsilon művelettel”, amely minden valódi egzisztenciális képlethez a theexistential quantifier tanúja. A kiterjesztés konzervatív abban az értelemben, hogy nem ad hozzá új elsőrendű következményeket. De ezzel szemben a számszerűsítők meghatározhatók az epszilonok szempontjából, így az első rendű logika az epszilon-műveletet magában foglaló kvantifier-szabadkőművesség szempontjából érthető. Ez utóbbi funkció teszi a kalkulust kényelmesvé a bizonyítás céljábólkonzisztencia., Az epsilon kalkulus megfelelő kiterjesztései lehetővé teszik a számok erősebb, számszerűsítő elméleteinek beágyazását és a számszerűség-mentes kalkulusok beillesztését. Hilbert arra számított, hogy ez leszlehetséges bizonyítani az ilyen kiterjesztések következetességét.

az epszilon kalkulus

1921-es hamburgi előadásában (1922) Hilbert először azt mutatta be, hogy egy ilyen műveletnek az aritmetika formális rendszerében a közép elvét kell kezelnie., Ezeket az elképzeléseket 1921 és 1923 között az epsilon-szubsztitúció és az inHilbert-féle (1923) előadássorozatok keretében dolgozták ki. Az epsilon-kalkulus végleges bemutatásafeltalálható Wilhelm Ackermann disszertációjában (1924).

Ez a rész a kalkulus egy, az elsőrendű logikának megfelelő változatát írja le, míg az elsőrendű és a másodrendű matematika kiterjesztéseit az alábbiakban ismertetjük.

Let \(L\) legyen egy elsőrendű nyelv, azaz a meghatározott arities-ekkel rendelkező konstans, függvény és relációs szimbólumok listája., Az epszilon kifejezések halmaza és a \(L\) képleteinek halmaza egyidejűleg, a következőképpen határozható meg:

szubsztitúció és a szabad és kötött változó fogalmai a szokásos módon kerülnek meghatározásra; különösen a \(x\) változó a \(\varepsilon x a\) kifejezésben kötődik. A szándékolt értelmezés az, hogy\(\varepsilon x A\) jelöl néhány \(x\) kielégítő \(A\), havan egy., Így az epsilon kifejezéseket a következő irányadókaxiom (Hilbert “transfinite axióma”): \ ezenkívül az epsilon kalkulus tartalmaz egy teljes axiómát, amely a klasszikuspropozitív konnektíveket szabályozza, valamint az egyenlőség szimbólumát szabályozó axiómákat.A kalkulus egyetlen szabálya a következő:

• Modus ponens
• helyettesítés: \(a(x)\), következtetés \ (A (t)\) bármely kifejezésre\(t.,\)

Az epsilon kalkulus korábbi formái(mint például a bemutatott inHilbert 1923) az epsilon operátor kettős formáját használják, amelyben\(\varepsilon x A\) értéket ad vissza hamisítás \(a (x)\). A fenti változatot Ackermann disszertációjában (1924) használták, és szabványossá vált.

vegye figyelembe, hogy az éppen leírt kalkulus quantifier-mentes. A quantifierekaz alábbiak szerint definiálhatók: \ ezekből származhatnak a szokásos számszerűsítő axiómák és szabályok, így a fenti definíciók az epsilon kalkulusba ágyazzák az elsőrendű logikát., A Theconverse azonban nem igaz: az epsiloncalculus nem minden formulája egy átlagos számszerűsített képlet képe. Ezért az epsilon kalkulus kifejezőbb, mint aa predicate kalkulus, egyszerűen azért, mert az epsilon kifejezések kombinálhatókösszetettebb módon, mint a számszerűsítők.

az Epsilon-tétel

Hilbert és Bernays “Grundlagen derMathematik” (1939) második kötete beszámol az akkor már bizonyított eredményekről., Ez magában foglalja az első és a második epszilon-tétel adiscussionját az elsőrendű logikára való alkalmazásokkal, az aritmetika epszilon szubsztitúciós módszerét nyílt indukcióval, valamint az elemzés (azaz másodrendű aritmetika) fejlesztését az epszilon kalkulussal.

az első és a második epsilon-tétel a következő:

az első epsilon-tételben a “quantifier-mentes predicatelogic” a fenti helyettesítési szabályt tartalmazza, a soquantifier-mentes axiómák úgy viselkednek, mint az egyetemes lezárásaik., Mivel az epszilon kalkulus tartalmazza az első rendű logikát, az első epszilon-tétel azt jelenti, hogy az első rendű predikátum logikáján keresztüli kitérés számszerűsítő-mentes tételként értelmezhető a kvantifier-mentes axiómákból. A második epsilon-tétel azt mutatja, hogy bármelyikaz epsilon-kalkuluson keresztül, amelyet a predikátum-kalkulus nyelvében az axiómákból származó tétel levezetésére használtak, szintén elkerülhető.,

általánosabban, az első epsilon-tétel megállapítja, hogy a Quantifiers és az epsilons mindig kiküszöbölhető az aquantifier-mentes képlet bizonyítékából más quantifier-mentes képletekből. Ez különösen fontos Hilbert programjának, mivel aepszilonok ideális elemek szerepet játszanak a matematikában. Ha a quantifier-mentes képletek megfelelnek a” valódi ” részneka matematikai elmélet, az első epszilon-tétel azt mutatja, hogy az ideáliselemeket meg lehet szüntetni a valós állítások bizonyítékaiból, feltéve, hogyaz axiómák is valódi állítások.,

ezt az elképzelést egy bizonyos általános következetességi tételben pontosítják, amelyet Hilbert és Bernays az első epszilon-tételből származnak, amely a következőket mondja: Legyen \ (F\) bármilyen formális rendszer, amely a predikátumszámításból származik állandó, függvény, éspredikátum szimbólumok plusz valódi axiómák, amelyek számszerűsítő – andepszilonmentesek, és tegyük fel, hogy az atomformák igazsága az újnyelvben eldönthető. Akkor \ (F\) erős értelemben konzisztens, hogy minden levezethető quantifier – és epsilonmentes formula igaz.,Hilbert és Bernays ezt a tételt az elemi geometria véglegesítésére használják (1939, Sec 1.4).

az aritmetika és az analízis következetességének igazolásának nehézsége abban áll, hogy ezt az eredményt olyan esetekre is kiterjesztjük, ahol az axiómák ideális elemeket is tartalmaznak, azaz epszilon kifejezéseket.

további olvasmányok. Az epsilon-kalkulus eredeti forrásaiés az epsilon-tételek (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939) csak németül állnak rendelkezésre. A Leisenring 1969 viszonylagmodern könyvhosszú Bevezetés Az epsilon kalkulusba Angolul.,Az első és a második epszilon-tétel részletesen a Zach2017. Moser & Az eredeti bizonyítékokat axiomatikusnak adjákaz epsilon-kalkulus ábrázolása. Maehara 1955 volt az elsőfontolja meg a sequent kalkulust epsilon kifejezésekkel. Megmutatta, hogyan kell bizonyítania második epsilon-tétel vágott eliminációval, majdmegerősítette a tételt, hogy tartalmazza a kiterjesztési sémát(Maehara 1957). Baaz et al. 2018 adja meg az első javított változatátepszilon-tétel., 1975-ben Flannaganban, 1987-ben Ferrariban, 1982-ben pedig Yasuharában található. A Skolemfunctions alapú epsilon kalkulus variációja, amely tehát kompatibilis az elsőrendű logikával, Davis & Fechter 1991.

Herbrand-tétel

Herbrand-tétel most leírt változata a Hilbert és Bernays kiterjesztett első epszilon-tételéből következik., A második epsilon-tétel bizonyításához kapcsolódó módszerek alkalmazásával azonban Hilbert és Bernays asztronger-származtatott eredménye, amely Herbrand eredeti megfogalmazásához hasonlóan több információt szolgáltat. A tétel két részének megértéseAz alábbiakban segít egy adott példa megvizsgálásában. Let \(A\) be theformula

\ where \ (B\) is quantifier-free. A negationof \ (A\) egyenértékű \ által Skolemizing, azaz . , a függvényszimbólumokat használva az egzisztenciális számszerűsítők tanúságtételéhez megkapjuk\ ennek negációját, azt látjuk, hogy az originalformula “egyenértékű” a \

– val, amikor a \(A^H\) mátrix egy példányára utalunk, olyan képletet kapunk, amelyet a \(A^H\) mátrixában lévő kifejezések helyettesítésével kapunk.nyelv a \ (A ^ H\) mátrixában. Most kijelenthetjük, hogy Hilbert ésbernays

Herbrand tételének megfogalmazása cuteliminációval is előállítható, a Gentzen ” midsequent tételén keresztül.,”Azonban a második epszilon-tételből származó bizonyíték arra utal, hogy az első teljes és helyes bizonyítéka a Herbrand-tételnek. Továbbá, és ezt ritkán ismerik fel, míg a vágás-elimináción alapuló bizonyíték a Herbrand-disjunction hosszúságára csak a vágási rang és a bizonyításban szereplő vágási képletek összetettségének függvényében vonatkozik, az epsilon-kalkuluson alapuló bizonyításból nyert hossz a transzfinit axióma alkalmazásának számától függ, valamint az abban előforduló epsilon-kifejezések rangja és foka., Más szavakkal, a Herbrand diszjunkció hossza csak az érintett szubsztitúciók kvantifikációs összetettségétől függ, és pl. egyáltalán nem a propositional szerkezetétől vagy hosszától.

a Herbrand-tételnek az elején megadott változata lényegében a (2) speciális esete, amelyben a Formula \(a\) egzisztenciális. Ennek a különleges esetnek a fényében az (1)egyenértékű azzal az állítással, hogy a \(A\) képlet származtatható infirst-order predikátum logika, ha és csak akkor, ha \(a^H\)., Ennek az egyenértékűségnek az előirányát sokkal könnyebb bizonyítani; valójában minden \(a, A \rightarrow a^H\) képlet a predikátum logikájában származtatható.A fordított irány bizonyítása magában foglalja a kiegészítő megszüntetésétfunkció szimbólumok \(a^H\), sokkal nehezebb, különösen aaz egyenlőség jelenléte. Itt van, hogy az epsilon módszerek acentrális szerepet játszanak.

a feltűnő alkalmazása Herbrand tétel és kapcsolódó módszerek isfound in Luckhardt “s (1989) analysis of Roth”s theorem. A Herbrand módszereinek hasznos kiterjesztéseit lásd: Sieg 1991.,Ennek modell-teoretikus változatát az Avigad 2002a tárgyalja.

az epszilon szubsztitúciós módszer és aritmetika

mint fentebb megjegyeztük, történelmileg az epsiloncalculus elsődleges érdeke a konzisztencia igazolások megszerzésének eszköze volt.Hilbert 1917-1918-as előadásai már megjegyzik, hogy egykönnyen bizonyíthatja a propositional logika következetességét azáltal, hogy a propositional változókat és képleteket a 0 és 1 igazságértékek fölé helyezi, és a logikai mellékneveket megfelelőaritmetikai műveletekként értelmezi., Hasonlóképpen bizonyítani lehet A következetességétpredicate logika (vagy a tiszta epsilon kalkulus), szakosodvaértelmezések, ahol a diskurzus univerzumának egyetlen eleme van.Ezek a megfontolások a következő általánosabb programot javasoljáka következetesség javítása:

• az epsilon kalkulus kiterjesztése oly módon, hogy a matematika nagyobb részét képviselje.
• megmutatja, hogy a extendedsystem minden bizonyítékának következetes értelmezése van.,

tegyük fel, hogy meg akarjuk mutatni, hogy a fenti rendszer következetes; más szavakban meg akarjuk mutatni, hogy nincs bizonyíték a \(0 =1\) képletre. Ha az összes szubsztitúciót az axiómákra toljuk, és a freevariables-t a konstans 0-val helyettesítjük, akkor elegendő megmutatni, hogy az axiómák véges zárt halmazából Nincs \(0 = 1\) nopropozitív bizonyítéka. Ehhez elég megmutatni, hogy az axiómák zárt példányainak minden egyes részletét figyelembe véve a numerikus értékeket úgy lehet hozzárendelni, hogy az összes axióma igaz legyen., Mivel az aritmetikai műveletek \(+\) és \(\times\)a szokásos módon értelmezhetők, az egyetlen nehézség abban rejlik, hogy a megfelelő értékeket hozzárendeljük az epsilon kifejezésekhez.

Hilbert epszilon szubsztitúciós módszere nagyjából az alábbiak szerint írható le:

végleges konzisztencia-bizonyítékot kapunk, ha afinitarily elfogadható módon megmutatjuk, hogy az egymást követő”javítások” folyamata megszűnik. Ha igen, akkor minden kritikus képletigazi képletek epsilon-kifejezések nélkül.,

ezt az alapötletet (“Hilbertsche Ansatz”) Hilbert állította fel 1922-es előadásában (1923), majd 1922-23-ban előadásokat tartott. Az ott megadott példák azonban csak azokkal foglalkoznakprofilok, amelyekben a transzfinit axióma minden példánya megfelel az asingle epsilon kifejezésnek \(\varepsilon x A (x)\). A kihívás az volt, hogy a megközelítést több epszilon kifejezésre, beágyazott epszilontermekre, végül pedig másodrendű epszilonokra kell kiterjeszteni (annak érdekében, hogy az aconsistency bizonyítékot ne csak aritmetikára, hanem elemzésre is lehessen szerezni).,

Ez csak egy vázlat azokról a nehézségekről, amelyek Hilbert ötletének az Általános esetre való kiterjesztésében rejlenek. Ackermann (1924) biztosítottegy ilyen általánosítás olyan eljárás alkalmazásával, amely “visszahúzódik”, amikor egy adott szakaszban egy új értelmezés szükségessé tesziegy korábbi szakaszban már talált értelmezés javítása.

Ackermann eljárása a másodrendű epszilonok rendszerére vonatkozott, amelyben azonban a másodrendű kifejezések a másodrendű epszilonok keresztkötésének kizárására korlátozódtak., Ez nagyjából az aritmetikai megértés korlátozását jelenti, mint a rendelkezésre álló thet-formáló elv (lásd a vita végén). További nehézségek merültek fel a másodrendű epszilon kifejezésekkel kapcsolatban, és hamar nyilvánvalóvá vált, hogy a bizonyíték, ahogy állt, hamis volt. Hilbert iskolájában azonban senki sem vette észre a nehézség hiányát 1930-ig, amikor Gödel bejelentette a hiányosságát., Addig azt hitték ,hogy a bizonyítás (legalábbis az Ackermann által bevezetett néhány módosítással, amelyek közül néhány a Von Neumann (1927) epsilonsubstitution method verziójából származó ötleteket tartalmazta) legalább az első megrendeléshezrész. Hilbert és Bernays (1939) arra utalnak, hogy az alkalmazott módszerek csakaz elsőrendű aritmetika konzisztencia-igazolását biztosítja nyíltindukcióval. 1936-ban Gerhard Gentzennek sikerült bizonyítania az elsőrendű aritmetika állandóságát az epszilon szimbólum nélküli predicate logikán alapuló megfogalmazásban., Ez a bizonyíték usestransfinite indukció akár \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) képes volt adaptálni Gentzen ötleteit, hogy az első rendű aritmetika helyes bizonyítékát adja aepsilon-szubsztitúciós módszerrel.

analízis, vagy másodrendű aritmetika, az első-orderarithmetic kiterjesztése a megértési sémával az önkényes másodrendű formulákhoz. Az elmélet impredicative, hogy lehetővé teszi, oneto define beállítja a természetes számok segítségével quantifiers, hogy a tartomány az egész univerzum a készletek, beleértve, implicit módon, a beállított beingdefined., Ennek az elméletnek a predikatív töredékeit lehet megszerezniaz érthetőségben megengedett képletek típusának korlátozásával. Például a fentiekben tárgyalt korlátozásaz Ackermann megfelel az aritmetikai megértésnekschema, amelyben a képletek nem tartalmaznak másodrendű quantifiereket. Számos módja van az erősebb fragmenseknekanalízis, amelyek mindazonáltal prediktív módon indokoltak., Például,egy szerez ramified elemzés által tömörítő egy sorszám rankto meghatározott változók; durván, a meghatározás egy sor egy adott rangot,quantifiers tartomány csak beállítja, hogy az alacsonyabb rangú, azaz, azok a whosedefinitions vagy logikailag előtt.

további olvasmányok. Hilbert és Ackermann korai munkáit 2003-ban, 2004-ben tárgyalták. Von Neumann bizonyítékaa Bellotti 2016 témája. Ackermann 1940-es bizonyításáról & Bernays 1970, and Wang 1963. A modern bemutatót Moser 2006., Az epsilon helyettesítés korai alkalmazásaa nem ellenpélda értelmezése (Kreisel 1951).

újabb fejlemények

ebben a szakaszban az epszilon-szubsztitúció kifejlesztéséről tárgyalunkmódszer az erős rendszerek következetességi eredményeinek megszerzésére; ezek az eredmények matematikai jellegűek. Sajnos itt nem beszélhetjük meg a bizonyítékok részleteit, de szeretnénk jelezni, hogy az epszilon-szubsztitúciós módszer nem halt meg Hilbert programjával, és hogy jelentős mennyiségű jelenlegi kutatás folyik az epszilon-formalizmusokban.,

Gentzen való bizonyítások számtani elindított egy kutatási terület néven sorszám elemzés, a program a mérési erőt, a matematikai elméletek usingordinal jelöléseket még mindig üldözik ma is. Ez különösen igaz a kiterjesztett Hilbert programjára, ahol a klasszikus matematikát a konstruktív, orquasi-konstruktív rendszerekhez viszonyítva kell igazolni., Gentzen módszerei (és a paullorentzen, Petr Novikov és Kurt Schütte által kidolgozott infinitáris logika kiterjesztései) nagyrészt helyettesítették az epsilon helyettesítési módszereit ezekben a törekvésekben. De az epsiloncalculus módszerek alternatív megközelítést nyújtanak,és még mindig van aktív kutatás a Hilbert-Ackermann módszerek kiterjesztésének módjairólronger elméletek. Az általános minta ugyanaz marad:

1. beágyazza a vizsgált elméletet egy megfelelő epsiloncalculusba.
2. ismertesse a feladatoknak az epsilontermekre történő frissítésének folyamatát.,
3. azt mutatják, hogy az eljárás normalizáló, azaz, mivel minden sor ofterms, van egy sor frissítéseket, hogy az eredmények egy hozzárendelésamely megfelel az axiómák.

mivel az utolsó lépés garantálja az eredeti elmélet konzisztenciáját, alapvető szempontból érdekli a módszereka normalizálás bizonyítására használt. Például egy ordinálisanalízist kapunk úgy, hogy ordinális jelöléseket rendelünk az eljárás lépéseihez, oly módon, hogy egy jelölés értéke csökkenjenminden lépés.,

az 1960-as években Tait (1960, 1965, 2010) kiterjesztetteackermann módszereit a számtani kiterjesztések ordinális elemzésére a transzfinit indukció elveivel. Ennek a megközelítésnek a modern és modern változatai megtalálhatók a Mints2001 – ben és az Avigad 2002b-ben., Újabban, Mints, Tupailo, Buchholzhave tekinthető erősebb, de még mindig prediktív igazolható,töredékek elemzés, beleértve elméletek aritmetikai megértésésés a \(\Delta^{1}_1\)-megértési szabály (Mints, Tupailo &Buchholz 1996; Mints & Tupailo 1999; Lásd még menta 2016). Az Arai2002 kiterjesztette az epszilon helyettesítési módszert olyan elméletekre,amelyek lehetővé teszik az aritmetikai megértést a primitiverecurzív kútrendezések mentén., Munkássága elsősorban a transzfinitehierarchiák és a transzfinit indukcióval járó predikciós fragmentumok elemzésére szolgál.

néhány első lépést tettek az epsilon szubsztitúciós módszer alkalmazásával az impredicatív elméletek elemzésében (lásd Arai2003, 2006 és Mints 2015).

a fenti 3. lépés módosítása azt mutatja, hogy a normalizationprocedure nem érzékeny a frissítések megválasztására,vagyis a frissítések bármely sorozata megszűnik. Ezt strongnormalizációnak nevezik., Mints 1996 kimutatta, hogy sok az eljárásokúgy vélik, hogy ez az erősebb tulajdonság.

amellett, hogy a hagyományos,alapvető ága bizonyíték elmélet, ma van egy jó üzlet az érdeklődés a strukturális lektheory, egy ága a téma, amely összpontosít logikai deductivecalculi és azok tulajdonságait. Ez a kutatás szorosan összefügg a számítástechnikával, az automatizálással, a funkcionális programozással és a számítógéppel támogatott ellenőrzéssel.Itt is a Gentzen stílusú módszerek dominálnak (Lásd még a bizonyítékelmélet bejegyzését)., De az epsilon kalkulus is értékes betekintést nyújthat; vö. forexample Aguilera & Baaz 2019, vagy a fenti tétel megvitatása.

Az epsilon kalkulus bizonyítási elméletben végzett vizsgálata mellett két alkalmazást is meg kell említeni. Az egyik az epsilonnotáció használata Bourbaki Theorie des ensembles-ben (1958).A második, talán nagyobb aktuális érdek, az epszilon-operátor használata a tétel-bizonyító rendszerekben HOL and Isabelle, ahol az epszilon-kifejezések kifejező ereje jelentős gyakorlati előnyöket eredményez.,

Epsilon Szereplők Nyelvészet, Filozófia, mind a Nem-klasszikus Logikák

Olvasva az epsilon üzemeltető határozatlan választás üzemeltető(“egy \(x\) olyan, hogy a \(A(x)\)”) azt sugallja, hogy lehet, hogy bea hasznos eszköz, az elemzés, a határozatlan, illetve határozott főnév phrasesin formális szemantika. Az epsilon-jelölést valójában így használták, és ez az alkalmazás hasznosnak bizonyult különösen az anafórikus hivatkozás kezelésében.

vegye figyelembe az ismerős példát

1. minden gazda, aki szamárral rendelkezik, veri.,ns}(x, y)) \működik a legjobban,\mathrm{Veri}(x, y))\)

A hátránya az, hogy “szamár” javaslom, egy existentialquantifier, így az elemzés kell, valahogy párhuzamosan formthe elemzése mondat 3 által megadott 4:

de a lehető legközelebbi alkalmas,

1. \(\mindazt, x ((\mathrm{Farmer}(x) \ék \létezik y(\mathrm{Szamár}(y) \ék \mathrm{Tulajdonosa}(x, y)) \működik a legjobban,\mathrm{Veri}(x, y))\)

Mint rámutatott von Heusinger (1994), ez arra utal, hogy Neale iscommitted, hogy névmások, hogy kétértelmű között határozott leírások\((\szemernyit\)-kifejezések), valamint amíg az kifejezések., Heusinger azt javasolja, hogy az epsilon operátorokat választófunkciók szerint indexeljék (ami függ a kontextustól). E megközelítés szerint az(1) analízise

Ez a megközelítés az epsilon operátorokkal indexelt névmások kezelésérea választási funkciók lehetővé teszik von Heusinger számára, hogy széles körű körülményekkel foglalkozzon (lásd Egli and von Heusinger,1995; von Heusinger, 2000).

Az epsilon-operátor hivatalos szemantika iránti kérelmei, valamint általában a választottfunkciók az utóbbi években jelentős érdeklődést mutattak., Von Heusinger és Egli (2000A) felsorolja többek között a következőket: kérdések ábrázolása (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Winter 1997), E-típusú névmások(Hintikka és Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli és vonHeusinger 1995) és határozott főnevek (von Heusinger 1997.2004).

az epszilon nyelvészet és nyelvfilozófia kérdéseinek és alkalmazásainak megvitatására lásd: B. H., Slater cikkei az epsilon calculi-ról (az alábbi internetes forrásokban idézve), valamint a Von Heusinger és Egli 2000 és von Heusinger és Kempson 2004 gyűjtemények.

Meyer Viol (1995a, 1995b Itt az epsilon-tételek már nem tartanak fenn, azaz az epsilon-kifejezések bevezetése nem konzervatív kiterjesztéseket eredményez az intuitionista logikában. Az epsilon operátorok egyéb vizsgálataiaz intuitionista logika megtalálható Shirai (1971), Bell (1993a, 1993b) és DeVidi (1995)., Epsilon-operátorok sok értékes logikák, lásd Mostowski (1963), a modális epsilon kalkulus, szerelés (1975).

további olvasmányok. Az alábbiakban felsorolunk néhány, az epsiloncalculus és alkalmazásai szempontjából releváns nyelv-és nyelvészet területén megjelent publikációt. Az olvasó elsősorban a von Heusinger & Egli (eds.) 2000 és von Heusinger & Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---