Egész szám

az általános iskolai tanításban az egész számokat gyakran intuitív módon definiálják a (pozitív) természetes számok, a nulla és a természetes számok negációi., Azonban ez a stílus meghatározás vezet, hogy sok más esetben (minden aritmetikai műveletet meg kell határozni az egyes kombinációja típusú integer) lehetővé teszi az unalmas bizonyítani, hogy egész engedelmeskedni a különböző törvények számtani. Ezért a modern halmazelméleti matematikában gyakran használnak egy absztraktabb konstrukciót, amely lehetővé teszi az aritmetikai műveletek meghatározását eseti megkülönböztetés nélkül. Az egész számok így formálisan a rendezett természetes számok (a,b) párjainak egyenértékűségi osztályai lehetnek.,

Az intuíció, hogy (a,b) rövidítése az eredménye, hogy levonják a b a a. Megerősíteni az a várakozásunk, hogy 1 − 2 4 − 5-ös jelöli ugyanazt a számot, mi határozza meg egy ekvivalencia reláció ~ ezek a párok az alábbi szabály:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim – (c,d)}

pontosan, ha

a + d = b + c . {\displaystyle A+d=b + c.}

az egész számok összeadása és szorzása a természetes számok ekvivalens műveletei szerint határozható meg; az (A,b) tagsággal rendelkező egyenértékűségi osztály jelölésére az egyik:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \ cdot:=.}

egy egész szám negációját (vagy additív inverzét) a pár sorrendjének megfordításával kapjuk:

− := . {\displaystyle -:=.}

így kivonás lehet meghatározni, mint a kiegészítés az adalékanyag inverz:

-:=. {\displaystyle -:=.}

az egész számok standard sorrendjét a következők adják:

< {\displaystyle <} if and only if a + d < b + c . {\displaystyle a + d< b+c.,}

könnyen ellenőrizhető, hogy ezek a definíciók függetlenek az egyenértékűségi osztályok képviselőinek megválasztásától.

tehát

{ a − b , ha a ≥ b − ( b − a ) , ha a < b . {\displaystyle {\begin{esetekben}a-b,&{\mbox{e }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{e }}<b.\vége{esetekben}}}

Ha a természetes számok azonosítják a megfelelő egészek (a beágyazás fentebb), ez az egyezmény létre nem vállalunk.,

Ez a jelölés visszanyeri az egész számok ismert ábrázolását{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

néhány példa:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{igazított}}}}

az elméleti számítástechnikában az egész számok felépítésének más megközelítéseit automatizált tétel-proverek és kifejezés-átírási motorok használják.Az egész számok néhány alapvető művelet (pl. nulla, succ, pred) segítségével felépített algebrai kifejezésként vannak ábrázolva, esetleg természetes számok felhasználásával, amelyek feltételezhetően már felépültek (mondjuk a Peano megközelítés használatával).

az aláírt egész számok legalább tíz ilyen konstrukciója létezik., Ezek a konstrukciók különböznek egymástól több szempontból is: a számos alapvető műveletek használt építési száma (általában közötti 0, 2), valamint a típusú érvek által elfogadott ezeket a műveleteket; a jelenléte vagy hiánya a természetes számok, mint érveket, ezeket a műveleteket, valamint az a tény, hogy ezek a műveletek ingyenes konstruktőri vagy nem, azaz, hogy ugyanaz a szám ábrázolható, amelyek csak egy vagy a sok algebrai kifejezések.,

A technika, az építési egész számok fent bemutatott ebben a részben felel meg a konkrét esetben, ahol egyetlen alapvető műveletek pár ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}, ami úgy, mint érvek két természetes szám, x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} , s visszatér egy egész szám (egyenlő x − y {\displaystyle x-y} ). Ez a művelet nem szabad, mivel az egész 0 írható pár (0,0), vagy pár(1,1), vagy pár(2,2), stb .. , Ezt az építési technikát használja a proof assistant Isabelle; azonban sok más eszköz alternatív építési technikákat alkalmaz, amelyek a szabad konstruktorokon alapulnak, amelyek egyszerűbbek, és hatékonyabban megvalósíthatók a számítógépekben.