Görbület

intuitív módon a görbület a görbe bármely részére leírja, hogy a görbe iránya mennyiben változik egy kis megtett távolságon (pl. szög rad/m-ben), tehát ez egy olyan pont irányváltozásának pillanatnyi sebessége, amely a görbén mozog: minél nagyobb a görbület, annál nagyobb ez a változás sebessége. Más szavakkal, a görbület azt méri, hogy az egység érintő vektora milyen gyorsan forog a görbéhez (görbe pozíció szempontjából gyors). Valójában bizonyítható, hogy ez a pillanatnyi változás pontosan a görbület., Pontosabban, tegyük fel, hogy a pont egy egység állandó sebességével mozog a görbén, vagyis a p(s) pont helyzete az s paraméter függvénye, amelyet egy adott eredetű időnek vagy ívhossznak lehet tekinteni. Let T (s) legyen a görbe unit érintő vektora P(s) – nél, amely szintén a P(s) származéka az s-hez képest. ezután a T(s) származéka az s-hez képest olyan vektor, amely normális a görbéhez, és amelynek hossza a görbület.,

Az, hogy értelmes, a meghatározás, a görbület, valamint a különböző leírás követeli meg, hogy a görbe folyamatosan differenciálható közelében O, hogy egy érintő, hogy folyamatosan változik; ez megköveteli azt is, hogy a görbe kétszer differenciálható a P, a biztosítás meglétét az érintett határértékeket, valamint a származékos T(s).

a görbület jellemzése Az egység érintő vektor származéka szempontjából valószínűleg kevésbé intuitív, mint az oszculáló kör definíciója, de a görbület kiszámítására szolgáló képletek könnyebben levezethetők., Ezért, valamint a kinematikában való alkalmazása miatt ezt a jellemzést gyakran a görbület meghatározásaként adják meg.

Osculating circleEdit

történelmileg egy differenciálható görbe görbületét az oszculáló körön keresztül határoztuk meg, amely az a kör, amely a legjobban megközelíti a görbét egy ponton. Pontosabban, mivel egy pont P egy görbe, minden más pont Q A görbe határozza meg a kör (vagy néha egy vonal) áthaladó Q érintő a görbe P. a osculating kör a határ, ha létezik, a kör, amikor Q hajlamos P., Ezután a görbe középpontja és görbületi sugara a P-nél az oszcilláló kör középpontja és sugara. A görbület a görbület sugara kölcsönös. Ez azt jelenti, hogy a görbület

κ = 1 R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}},}

ahol R a görbület sugara (az egész körnek ez a görbülete van, 2π fordulattal olvasható a 2NR hosszán).

ezt a definíciót nehéz manipulálni és képletekben kifejezni. Ezért más egyenértékű meghatározásokat vezettek be.,

ívhosszú parametrizationEdit

minden differenciálható görbe paraméterezhető az ívhossz tekintetében. Síkgörbe esetén ez egy γ(s) = (x(s), y(s) parametrizációs függvény meglétét jelenti, ahol x és y valós értékű differenciálható függvény, amelynek származékai

γ γ ‘γ = x’ ( s) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \ / {\boldsymbol {\gamma }} “\ / ={\sqrt {x “(s)^{2} + y”(s)^{2}}}=1.,}

Ez azt jelenti, hogy a tangens vektor

T ( s) = (x ‘( s), y ‘( s)) {\displaystyle \mathbf {t} (s)={\bigl (}x”(s), y”(s) {\bigr)}}

normája egyenlő egységgel, így egy unit tangens vektor.

Ha a görbe kétszer differenciálható, vagyis ha az x és y második származéka létezik, akkor a T(s) származéka létezik. Ez a vektor normális a görbéhez képest, normája a κ(s) görbület, amely a görbület középpontja felé irányul.,a tiéd {\begin{igazítva}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s)\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\jelenti \mathbf {T} “(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} “(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(s)\|={\sqrt {x””(s)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\vége{igazítva}}}

Továbbá mint a görbületi sugár a

R ( s ) = 1 κ ( s),, {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

a központ a görbület az a normális, hogy a görbe, a középső a görbület az a pont,

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T T ( s ) ., {\displaystyle \ mathbf {c} (s)={\boldsymbol {\gamma}}}} (s)+{\frac {1} {\kappa (s)^{2}}}}}\mathbf {t} “(s).}

Ha N (s) az egység normál vektor, amelyet T(s) – ből kapunk π/2, majd

T ‘ ( s) = K ( s) N ( s), {\displaystyle \mathbf {t} “(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}

K(s) = ± κ(s). A valódi K (K) számot orientált vagy aláírt görbületnek nevezzük. Ez mind a sík tájolásától (az óramutató járásával ellentétes meghatározás), mind a paraméterezés által biztosított görbe tájolásától függ., Valójában az S → – S változó változása egy másik ívhosszú parametrizációt biztosít, valamint megváltoztatja a K(s) jelét.

egy általános parametrizationEdit

let γ(t) = (x(t), y(t))) legyen egy kétszer differenciálható síkgörbe megfelelő paraméteres ábrázolása. Itt a megfelelő azt jelenti, hogy a parametrizáció definíciójának tartományában a derivált dy/dtis definiált, differenciálható, sehol sem egyenlő a nulla vektorral.,

ilyen paraméterezés esetén az aláírt görbület

k = x ‘ y “− y ‘ x “( x ‘2 + y’ 2) 3 2, {\displaystyle k={\frac {x”y””-y”x””}{\bal({x”}^{2}+{y”}^{2}\jobb)^{\frac {3}{2}}}},}

ahol a prímek származékokra utalnak t. a κ görbület tehát

κ = | x ‘ y “− y ‘ x “| ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\frac {/x ” y “| – y “x”/} {\bal({x”}^{2} + {y”}^{2}\jobb)^{\frac {3}{2}}}}.}

ezeket koordináta-mentes módon lehet kifejezni:

k = det ( γ’, γ”) γ γ ‘‖ 3 , κ = | det ( γ ‘, γ”) | γ γ ‘ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

Ezek a képletek az ívhosszú parametrizáció speciális esetéből származhatnak a következő módon. A parametrizáció fenti feltétele azt jelenti, hogy az S ívhossz a T paraméter differenciálható monotonikus függvénye, ezzel szemben a t az s monotonikus függvénye., Továbbá, ha szükséges, S-T-S-re változtatunk, feltételezhetjük, hogy ezek a funkciók növekednek, és pozitív származékuk van. Használata jelölés az előző részt, majd a lánc-szabály, az egyik,

d γ d t = d a s d a t T,, {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

így, azáltal, hogy a norma mindkét oldalon

d t d s = 1 születik γ ‘ születik , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

ahol a miniszterelnök jelöli a levezetése a tekintetben, hogy a t.

A görbület a norma, a származtatott ügyletek a T a tekintetben, hogy ok., A fenti képlet és a láncszabály alkalmazásával ezt a deriváltot és normáját csak γ’ És γ” – ban lehet kifejezni, az ívhosszú s paraméterrel teljesen kiküszöbölve, a fenti görbületi képleteket adva.

egy függvény Grafikonjaszerkesztés

az y = f(x) függvény grafikonja egy parametrizált görbe speciális esete, a

x = t y = f ( t) formában . {\displaystyle {\begin {corined}x & = t\ \ y &=f(t).,\end{igazítva}}}

Mint az első, mind a második származékai x 1, 0, előző képletek egyszerűsíteni, hogy

κ = | y “| ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

a görbület, valamint

k = y “( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

az aláírt görbület.

egy görbe általános esetében az aláírt görbület jele valamilyen módon önkényes, mint a görbe tájolásától függően., Egy függvény grafikonja esetében természetes orientáció van az x értékeinek növelésével. ez jelentősvé teszi az aláírt görbület jelét.

az aláírt görbület jele megegyezik az f második származékának jelével. ha pozitív, akkor a gráfnak felfelé irányuló konkavitása van, ha negatív, akkor a gráfnak lefelé irányuló konkavitása van. Ez nulla, akkor az egyiknek inflexiós pontja vagy hullámpontja van.

Ha a gráf lejtése (azaz a függvény deriváltja) kicsi, akkor az aláírt görbületet jól közelíti a második derivált., Pontosabban, a nagy O jelölés használatával az egyik

k (x) = y “+ O (y ‘ 2). {\displaystyle k (x) = y “”+ o \ bal ({y”}^{2} \ jobb).}

Ez a leggyakoribb, a fizika, mérnöki közelíteni a görbület a második származék, például a sugár elmélet, vagy az eredő hullám egyenlet egy feszült a húr, vagy más alkalmazásokban, ahol kis pályák vannak benne. Ez lehetővé teszi, hogy gyakran tekintve lineáris rendszerek, amelyek nemlineáris egyébként.,

Polar coordinatesEdit

Ha egy görbe határozza meg poláris koordináták által a körzetben, hogy az adott funkció a poláris szög, az r függvénye θ, akkor a görbület

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r 2 − r-r ” | ( r 2 + r 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r”}^{2}-r\ \ r””\right|}{\left(r^{2}+{r”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

ahol a prime utal, hogy a differenciálás tekintetében θ.,

Ez az Általános parametrizációk képletéből adódik, figyelembe véve a parametrizációt

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin θ θ {\displaystyle {\begin{igazított}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\Theta )\sin \Theta \end{igazított}}}}

implicit curveedit κ = | f y 2 f x x − 2 f x f x y + f x 2 f y / (f x 2 + f y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\FRAC {\left / F_{y}^{2}F_ {xx} – 2f_{y}F_ {y} F_{xy} + F_{x}^{2}F_{yy}\right/} {\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

az aláírt görbület nincs meghatározva, mivel a görbe orientációjától függ, amelyet az implicit egyenlet nem biztosít. Ezenkívül az F –F-be történő megváltoztatása nem változtatja meg a görbét, hanem megváltoztatja a számláló jelét, ha az abszolút értéket az előző képletben kihagyják.

a görbe egy pontja, ahol Fx = Fy = 0 egy egyedi pont, ami azt jelenti, hogy a görbe ezen a ponton nem differenciálható, és így a görbület nincs meghatározva (leggyakrabban a pont vagy keresztezési pont vagy csúcspont).,

a görbület fenti képlete egy függvény görbületének kifejeződéséből származhat az implicit függvénytétel alkalmazásával, valamint azzal a ténnyel, hogy egy ilyen görbén

d y d x = – F x f y. ez a szócikk részben vagy egészben a következőkről szól:}

ExamplesEdit

hasznos lehet egyszerű példákon ellenőrizni, hogy az előző szakaszokban megadott különböző képletek ugyanazt az eredményt adják-e.

CircleEdit

az R sugarú kör közös paraméterezése γ(t) = (r cos t, R sin t)., A görbület képlete

k ( t ) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k(t) = {\frac {r^{2} \ sin ^{2}t+r^{2} \ cos ^{2}t} {(r^{2} \ cos ^{2}t + r^{2} \ sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

a várt módon következik, hogy a görbület sugara a kör sugara, a görbület középpontja pedig a kör középpontja.

a kör egy ritka eset, amikor az ívhosszú parametrizációt könnyű kiszámítani, mivel

γ (s) = (r cos ⁡ S r , R sin ⁡ s r)., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}} (s) = \left(r\cos {\frac {s}{r}}}}, R\sin {\frac {S} {R}}} \ R jobb).}

Ez egy ívhosszú parametrizáció, mivel a

γ ‘ ( s) = (- sin ⁡ s r , cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}} “(s)=\bal (−\sin {\frac {S} {r}}},\frac {s} {r}}} {r}}} \jobb)}

egyenlő egy. Ez a paraméterezés ugyanazt az értéket adja a görbülethez, mivel az r3-as osztást jelenti mind a számlálóban, mind az előző képlet nevezőjében.

ugyanazt a kört az F(x, y) = 0 implicit egyenlet is meghatározhatja F(x, y) = x2 + y2 – r2 esetén., Ezután a görbület képlete ebben az esetben κ = | F y 2 f x − 2 F X F X Y + F X 2 f y / (F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{igazított}\kappa &={\FRAC {\bal|F_{y}^{2}F_{xx}-2f_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{y}\jobb|}{\bal(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\jobb)^{\FRAC {3}{2}}}}\\& = {\frac {8y^{2} + 8x^{2}} {\bal (4x^{2} + 4y^{2}\jobb)^{\frac {3}{2}}}}\\& = {\frac {8r^{2}} {\bal(4R^{2}\jobb)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{igazított}}}

ParabolaEdit

Tekintsük a parabola y = ax2 + bx + c.

Ez egy függvény grafikonja, 2AX + b származékkal, és a második 2A származékkal. tehát az aláírt görbület

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 A x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(x) = {\frac {2a} {\left(1+(2AX + b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

az a jele az x összes értékére., Ez azt jelenti, hogy ha egy > 0, a homorúság a felfelé irányított mindenhol; ha egy < 0, a homorúság a lefelé irányul; a = 0, a görbülete nulla mindenhol, megerősítve, hogy a parabola átalakul egy vonal ebben az esetben.

a (aláírás nélküli) görbület maximális x = –b/2A esetén, azaz a függvény álló pontján (nulla származék), amely a parabola csúcsa.

vegye figyelembe a γ(t) = (t, at2 + bt + C) = (x, y) parametrizációt. Az x első származéka 1, A második származék nulla., Helyettesítése a képlet általános parametrizációk ad, pontosan ugyanazt az eredményt, mint a fenti, az x helyébe t. Ha használjuk a fővezérek a származtatott ügyletek tekintetében a paraméter-t.

ugyanaz A parabola is határozza meg az implicit egyenlet F(x, y) = 0, F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Mint Fy = -1, s Fyy = Fxy = 0, egy szerez pontosan ugyanazt az értéket a (aláíratlan) görbület. Az aláírt görbület azonban itt értelmetlen, mivel-F(x, y) = 0 ugyanazon parabola érvényes implicit egyenlete, amely a görbület ellenkező jelét adja.,

Frenet–Serret képletek sík görbékhezszerkesztés

a görbület ívhosszú parametrizációval kapcsolatos kifejezése lényegében az első Frenet-Serret formula

t ‘ ( s ) = κ ( s ) n ( s ) , {\displaystyle \mathbf {t} “(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

ahol a prímek az S ívhossz tekintetében a származékokra utalnak, és N(s) a normál egység vektor t'(k) irányába.

mivel a síkgörbéknek nulla torziója van, a második Frenet − Serret képlet

D N D s = − κ t, = – κ d γ d s ., {\displaystyle {\begin {corined} {\frac {d \ mathbf {N}}} {ds}}} &= – \ kappa \ mathbf {t}, \ \ & = – \ kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}} {ds}}} {ds}}}}.\end{igazítva}}}

általános parametrization egy paraméter t, kell kifejezések érintő származtatott ügyletek tekintetében t. Mivel ezek kapott megszorozzuk ds/dt a származtatott ügyletek tekintetében, s az egyik, bármely megfelelő parametrization

N ‘( t ) = − κ ( t), γ ‘ ( t ) . {\displaystyle \ mathbf {n} “(t) = – \kappa(t){\boldsymbol {\gamma}}} “(t).}

---