Pythagorean Triple (Magyar)

A Pythagorean triple is a triple of positive integers , , and such that a right triangle exists with legs and hypotenuse ., A Pitagorasz-tétel, ez egyenértékű a megállapítás pozitív egész szám , , a lehetőség

A legkisebb, legismertebb Pitagorasz triplát . Az ilyen oldalhosszúságú derékszögű háromszöget néha 3, 4, 5 háromszögnek nevezik.,

-a egy pitagorai hármas látható fent egymás után nagyobb határokat. Ezek a parcellák a és negatív értékeket tartalmazzák, ezért szimmetrikusak mind az x -, mind az y-tengelyekre.

Hasonlóképpen, a pontok parcellái-plane such that egy pitagorai hármas látható fent egymás után nagyobb határokat.,

Ez a szokás, hogy fontolja meg, csak primitív Pitagorasz háromágyas (más néven a “csökkentett”háromágyas), amelyben vagy viszonylag miniszterelnök, mivel más megoldások hozhatók létre közönségesen a primitív is. A primitív hármasokat a fentiek szemléltetik, és azonnal látható, hogy az eredeti telken lévő imprimitív hármasoknak megfelelő sugárirányú vonalak hiányoznak ebben az ábrán., Primitív megoldások esetén a vagy egyenletesnek kell lennie, a másik páratlan (Shanks 1993, 141. o.), mindig páratlan.,=”7a4ddb31b8″>

Hall (1970) and Roberts (1977) prove that is a primitive Pythagorean triple iff

where is a finite product of the matrices , , .,662c5″>

Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as

for , which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case , ).,

The early Greeks gave

where and are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting and ).

Let be a Fibonacci number., Then

generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers , , and constructing the Fibonacci-like sequence with terms , , , , , …, generates distinct Pythagorean triples

(Horadam 1961), where

where is a Lucas number.

For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, a két kisebb szám) mindig osztható 12-vel, mind a három oldal szorzata 60-mal osztható. Nem ismert, hogy van-e két különböző hármas, amelyek ugyanazt a terméket. A létezés két ilyen háromágyas megfelel egy nem nulla megoldás, hogy a Diophantine egyenlet

(Srác, 1994, p. 188).,

For a Pythagorean triple (, , ),

where is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc”>

(Robertson 1996).,

A háromszög területe megfelelő a Pitagorasz tripla

Fermat bizonyította, hogy számos, ebben a formában nem lehet egy squarenumber.,td>

The number of such triangles is then

Then

(Beiler 1966, p., 116). Vegye figyelembe, hogy iff prím vagy kétszer prím. Az első néhány szám , 2, … vannak 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,

ahhoz, Hogy megtalálja a számos módon , amelyben számos lehet, az c-vel jelöljük, hogy egy primitív, jobbra, háromszög, írjon a faktorizációs, mint

, ahol a s a nyomtatvány , illetve a s a nyomtatvány .,> as a hypotenuse is

			(29)
			(30)

(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, amely kimondja, hogy ez a képlet csak a nem primitív megoldások számát adja meg), ahol a négyzetek összege függvény., ahol vagy a lábát, vagy átfogó egy derékszögű háromszög által megadott

Hagyja, hogy a számos háromágyas, átfogó lehet jelöli a száma, háromágyas, átfogó lehet jelöli , a számos primitív háromágyas kevesebb, mint a lehet jelöli ., Then the following table summarizes the values for powers of 10.

	OEIS	, , …
	A101929	1, 50, 878, 12467, …
	A101930	2, 52, 881, 12471, …
	A101931	1, 16, 158, 1593, ..,.

Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than satisfies

(OEIS A086201).

There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d”>

Then the right triangle generated by each triple () has common area

Right triangles whose areas consist of a single digit include (area of 6) and (area of 666666; Wells 1986, p., 89).

1643-ban Fermat megtámadta Mersenne-t, hogy találjon egy pitagorai hármast, amelynek hipotenusza és a lábak összege négyzet volt.,

A related problem is to determine if a specified integer can be the area of a right triangle with rational sides., Az 1, 2, 3 és 4 nem racionális oldalú derékszögű háromszögek területe, hanem az 5 (3/2, 20/3, 41/6), csakúgy, mint a 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case

			(47)
			(48)

(Koblitz 1993)., Nincs ismert általános módszer annak meghatározására, hogy van-e megoldás tetszőleges , de a J. Tunnell által 1983-ban kidolgozott technika lehetővé teszi bizonyos értékek kizárását (Cipra 1996).

---