Curvatura (Italiano)

Intuitivamente, la curvatura descrive per qualsiasi parte di una curva quanto cambia la direzione della curva su una piccola distanza percorsa (ad esempio angolo in rad/m), quindi è una misura della velocità istantanea di cambiamento di direzione di un punto che si muove sulla curva: maggiore è la curvatura, maggiore è questa velocità di cambiamento. In altre parole, la curvatura misura quanto velocemente ruota il vettore tangente unitario alla curva (veloce in termini di posizione della curva). In effetti, si può dimostrare che questa velocità istantanea di cambiamento è esattamente la curvatura., Più precisamente, supponiamo che il punto si muova sulla curva a una velocità costante di un’unità, cioè la posizione del punto P(s) è una funzione del parametro s, che può essere pensato come il tempo o come la lunghezza dell’arco da una data origine. Sia T(s) un vettore tangente unitario della curva a P(s), che è anche la derivata di P(s) rispetto a s. Quindi, la derivata di T (s) rispetto a s è un vettore normale alla curva e la cui lunghezza è la curvatura.,

Per essere significativa, la definizione della curvatura e le sue diverse caratterizzazioni richiedono che la curva sia continuamente differenziabile vicino a P, per avere una tangente che varia continuamente; richiede anche che la curva sia due volte differenziabile a P, per assicurare l’esistenza dei limiti coinvolti, e della derivata di T(s).

La caratterizzazione della curvatura in termini di derivata del vettore tangente unitario è probabilmente meno intuitiva della definizione in termini di cerchio osculatore, ma le formule per calcolare la curvatura sono più facili da dedurre., Pertanto, e anche a causa del suo uso in cinematica, questa caratterizzazione è spesso data come definizione della curvatura.

Cerchio osculante

Storicamente, la curvatura di una curva differenziabile è stata definita attraverso il cerchio osculante, che è il cerchio che meglio si approssima alla curva in un punto. Più precisamente, dato un punto P su una curva, ogni altro punto Q della curva definisce un cerchio (o talvolta una linea) che passa attraverso Q e tangente alla curva a P. Il cerchio osculante è il limite, se esiste, di questo cerchio quando Q tende a P., Quindi il centro e il raggio di curvatura della curva a P sono il centro e il raggio del cerchio osculante. La curvatura è il reciproco del raggio di curvatura. Cioè, la curvatura è

κ = 1 R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

dove R è il raggio di curvatura (l’intero cerchio ha questa curvatura, può essere letto come turn 2π sulla lunghezza 2nR).

Questa definizione è difficile da manipolare ed esprimere nelle formule. Pertanto, sono state introdotte altre definizioni equivalenti.,

In termini di parametrizzazione della lunghezza dell’arcoedit

Ogni curva differenziabile può essere parametrizzata rispetto alla lunghezza dell’arco. Nel caso di una curva piana, ciò significa l’esistenza di una parametrizzazione γ (s) = (x(s), y(s)), dove x e y sono funzioni differenziabili a valore reale le cui derivate soddisfano

γ γ ‘γ = x’ ( s ) 2 + y ‘ ( s) 2 = 1. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}”\|={\sqrt {x(s)^{2}+y”(s)^{2}}}=1.,}

Ciò significa che il vettore tangente

T ( s ) = ( x ‘( s ) , y ‘( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x”(s),y”(s){\bigr )}}

ha una norma uguale a uno ed è quindi un vettore tangente unitario.

Se la curva è due volte differenziabile, cioè se esistono le seconde derivate di x e y, allora esiste la derivata di T(s). Questo vettore è normale alla curva, la sua norma è la curvatura κ (s) ed è orientata verso il centro di curvatura.,yle {\begin{aligned}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\comporta \mathbf {T} “(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} “(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(s)\|={\sqrt {x””(s)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\end{aligned}}}

Inoltre, come il raggio di curvatura è

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

e il centro di curvatura è sulla normale alla curva, il centro di curvatura è il punto

C ( s ) = g ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ( s ) ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Se N(s) è il vettore normale dell’unità ottenuto da T(s) da una rotazione antioraria di π/2, allora

T ‘ ( s ) = k ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} “(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}

con k(s) = ± κ(s). Il numero reale k (s) è chiamato curvatura orientata o firmata. Dipende sia dall’orientamento del piano (definizione di antiorario), sia dall’orientamento della curva fornita dalla parametrizzazione., Infatti, il cambiamento della variabile s → – s fornisce un’altra parametrizzazione della lunghezza dell’arco e cambia il segno di k (s).

In termini di parametrizzazione generaleedit

Sia γ(t) = (x(t), y(t)) una corretta rappresentazione parametrica di una curva piana due volte differenziabile. Qui corretto significa che sul dominio di definizione della parametrizzazione, la derivata dy/d è definita, differenziabile e da nessuna parte uguale al vettore zero.,

Con una parametrizzazione, firmato curvatura è

k = x ‘ y “− y ‘ x “( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x”y””y”x””}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

in cui i numeri primi si riferiscono a derivati rispetto a t. La curvatura κ è così

κ = | x’, y “− y ‘ x “| ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.{3}{2}}}}.}

Questi possono essere espressi in modo privo di coordinate come

k = det ( γ ‘, γ”) γ γ ‘3 3 , κ = | det ( γ ‘, γ”) | γ γ ‘ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

Queste formule possono essere derivate dal caso speciale della parametrizzazione della lunghezza dell’arco nel modo seguente. La condizione di cui sopra sulla parametrizzazione implica che la lunghezza dell’arco s è una funzione monotonica differenziabile del parametro t, e viceversa che t è una funzione monotonica di s., Inoltre, cambiando, se necessario, da s a-s, si può supporre che queste funzioni siano in aumento e abbiano una derivata positiva. Utilizzando la notazione di cui al precedente comma e la catena di regola, si ha

d γ d t = d s d t T {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

e così, prendendo la norma di entrambi i lati

d t d s = 1 ‖ γ ‘ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

in cui il primo indica la derivazione rispetto a t.

La curvatura è la norma della derivata di T rispetto a s., Usando la formula di cui sopra e la regola della catena questa derivata e la sua norma possono essere espresse solo in termini di γ ‘e γ”, con il parametro della lunghezza dell’arco s completamente eliminato, dando le formule di cui sopra per la curvatura.

Grafico di una funzionedit

Il grafico di una funzione y = f(x), è un caso speciale di una curva parametrizzata, della forma

x = t y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned} x&=t\\y&=f(t).,\end{aligned}}}

Come la prima e la seconda derivati di x sono 1 e 0, le formule precedenti per semplificare

κ = “| y | ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

per la curvatura, e

k = y “( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

per la firma di curvatura.

Nel caso generale di una curva, il segno della curvatura firmata è in qualche modo arbitrario, in quanto dipende da un orientamento della curva., Nel caso del grafico di una funzione, c’è un orientamento naturale aumentando i valori di x. Ciò rende significativo il segno della curvatura firmata.

Il segno della curvatura firmata è lo stesso del segno della derivata seconda di f. Se è positivo, il grafico ha una concavità verso l’alto e, se è negativo, il grafico ha una concavità verso il basso. È zero, quindi uno ha un punto di flesso o un punto di ondulazione.

Quando la pendenza del grafico (cioè la derivata della funzione) è piccola, la curvatura firmata è ben approssimata dalla derivata seconda., Più precisamente, usando la notazione big O, si ha

k (x) = y “+ O ( y ‘ 2). {\displaystyle k (x)=y “”+O \ left ({y”}^{2}\right).}

È comune in fisica e ingegneria approssimare la curvatura con la derivata seconda, ad esempio, nella teoria del fascio o per derivare l’equazione d’onda di una stringa tesa e altre applicazioni in cui sono coinvolte piccole pendenze. Ciò consente spesso di considerare come sistemi lineari che altrimenti non sono lineari.,

Polar coordinatesEdit

Se una curva in coordinate polari dal raggio espresso in funzione dell’angolo polare, che è la r è una funzione di θ, quindi la sua curvatura è

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r 2 − r “| ( r 2 + r ‘ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r”}^{2}-r\r””\right|}{\left(r^{2}+{r”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

in cui il primo si riferisce alla differenziazione rispetto a θ.,

Questo è il risultato di formula generale parametrizations, considerando la parametrizzazione

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) peccato ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}

Implicita curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y (y) ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

La curvatura firmata non è definita, poiché dipende da un orientamento della curva che non è fornito dall’equazione implicita. Inoltre, cambiando F in-F non cambia la curva, ma cambia il segno del numeratore se il valore assoluto è omesso nella formula precedente.

Un punto della curva dove Fx = Fy = 0 è un punto singolare, il che significa che la curva non è differenziabile in questo punto, e quindi che la curvatura non è definita (il più delle volte, il punto è un punto di attraversamento o una cuspide).,

Sopra la formula per la curvatura può essere derivata dall’espressione della curvatura del grafico di una funzione usando il teorema della funzione implicita e il fatto che, su tale curva, si ha

d y d x = − F x F y . Per maggiori informazioni clicca qui.}

ExamplesEdit

Può essere utile verificare su semplici esempi che le diverse formule fornite nelle sezioni precedenti diano lo stesso risultato.

CircleEdit

Una parametrizzazione comune di un cerchio di raggio r è γ(t) = (r cos t, r sin t)., La formula per la curvatura dà

k (t) = r 2 sin 2 t t + r 2 cos 2 t t ( r 2 cos 2 t t + r 2 sin 2 t t) 3 2 = 1 r . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.{3}{2}}}}={\ frac {1}{r}}.}

Ne consegue, come previsto, che il raggio di curvatura è il raggio del cerchio e che il centro di curvatura è il centro del cerchio.

Il cerchio è un caso raro in cui la parametrizzazione della lunghezza dell’arco è facile da calcolare, poiché è

γ ( s ) = ( r cos cos s r , r sin sin s r ) ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

È una parametrizzazione della lunghezza dell’arco, poiché la norma di

γ ‘ ( s) = (- sin s s r , cos cos s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}”(s)=\left (−\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

è uguale a uno. Questa parametrizzazione dà lo stesso valore per la curvatura, poiché equivale alla divisione per r3 sia nel numeratore che nel denominatore nella formula precedente.

Lo stesso cerchio può anche essere definito dall’equazione implicita F(x, y) = 0 con F(x, y) = x2 + y2 – r2., Quindi, la formula per la curvatura in questo caso dà κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y / (F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\ end{aligned}}}

ParabolaEdit

Considera la parabola y = ax2 + bx + c.

È il grafico di una funzione, con derivata 2ax + b e derivata seconda 2a. Quindi, la curvatura firmata è

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 a x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k (x)={\frac {2a} {\left(1+(2ax+b)^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Ha il segno di a per tutti i valori di x., Ciò significa che, se a >0, la concavità è rivolta verso l’alto ovunque; se a< 0, la concavità è diretta verso il basso; per a = 0, la curvatura è zero ovunque, confermando che la parabola degenera in una linea in questo caso.

La curvatura (senza segno) è massima per x = –b / 2a, cioè nel punto stazionario (derivata zero) della funzione, che è il vertice della parabola.

Considera la parametrizzazione γ (t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). La prima derivata di x è 1 e la seconda derivata è zero., Sostituendo nella formula generale parametrizations dà esattamente lo stesso risultato di cui sopra, con x sostituito dal t. Se usiamo i numeri primi per i derivati rispetto al parametro t.

La stessa parabola può essere definito anche con l’implicita equazione F(x, y) = 0 con F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Come Fy = -1, e Fyy = Fxy = 0, si ottiene esattamente lo stesso valore per l’ (unsigned) la curvatura. Tuttavia, la curvatura firmata non ha senso qui, poiché –F(x, y) = 0 è un’equazione implicita valida per la stessa parabola, che dà il segno opposto per la curvatura.,

Formule di Frenet–Serret per curve piane

L’espressione della curvatura In termini di lunghezza d’arco parametrizzazione è essenzialmente il primo di Frenet–Serret formula

T ‘ ( s ) = κ ( s ) N ( s) {\displaystyle \mathbf {T} (s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

in cui i numeri si riferiscono ai derivati rispetto alla lunghezza dell’arco s, e N(s) è la normale vettore unitario nella direzione di T'(s).

Poiché le curve planari hanno torsione zero, la seconda formula di Frenet–Serret fornisce la relazione

d N d s = − κ T , = − κ d γ d s ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione e per migliorare la tua esperienza di navigazione.\ end {aligned}}}

Per una parametrizzazione generale di un parametro t, si ha bisogno di espressioni che coinvolgono derivate rispetto a t. Poiché queste sono ottenute moltiplicando per ds/dt le derivate rispetto a s, si ha, per qualsiasi parametrizzazione corretta

N ‘( t ) = − κ ( t ) γ ‘ ( t ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}

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