Funzione di densità di probabilità
di Marco Taboga, PhD
La distribuzione di una variabile casuale continua può essere caratterizzata attraverso la sua funzione di densità di probabilità (pdf). La probabilità che una variabile casuale continua assume un valore in un dato intervallo è pari all’integrale della sua funzione di densità di probabilità su quell’intervallo, che a sua volta è uguale all’area della regione in xy delimitata dall’asse x, il pdf e le linee verticali corrispondenti ai limiti dell’intervallo.,
Ad esempio, nell’immagine sotto la linea blu è il pdf di una variabile casuale normale e l’area della regione rossa è uguale alla probabilità che la variabile casuale assuma un valore compreso tra -2 e 2.
Definizione
La seguente è una definizione formale.
Definizione di funzione di densità di probabilità di una variabile casuale continua 
è una funzione 
tali che
per qualsiasi intervallo .,
L’insieme di valoriper cuiè chiamato il supporto di.,per integrare la funzione di densità di probabilità oltre che intervallo:
La densità di probabilità non è una probabilità
è importante capire una differenza fondamentale tra la funzione di densità di probabilità, che caratterizza la distribuzione di una variabile casuale continua, e la funzione di massa di probabilità, che caratterizza la distribuzione di una variabile casuale discreta (ricordate: una variabile casuale discreta, se il numero dei valori che esso può assumere è numerabile, mentre il numero di valori che una variabile casuale continua può prendere è non numerabile)., La funzione di massa di probabilità di una variabile discreta è una funzione che ti dà, per ogni numero reale , la probabilità che il sarà uguale a . Al contrario, se è una variabile continua, la sua funzione di densità di probabilità valutata in un dato punto non è la probabilità che il sarà uguale a ., In effetti, questa probabilità è uguale a zero per qualsiasi perché
dove è qualsiasi primitivo (o integrale indefinito) di.
Se sei perplesso da quest’ultimo risultato, ti consigliamo di leggere la lezione sugli eventi a probabilità zero.
Sebbene non sia una probabilità, il valore del pdf in un dato punto può essere dato un’interpretazione semplice:
dove è un piccolo incremento.,
La prova che daremo non è rigorosa. Piuttosto, ci stiamo concentrando sull’intuizione. Per semplicità, assumiamo che il pdf sia una funzione continua. A rigor di termini, questo non è necessario, sebbene la maggior parte dei PDF che si incontrano nella pratica siano continui (per definizione, un pdf deve essere integrabile; tuttavia, mentre tutte le funzioni continue sono integrabili, non tutte le funzioni integrabili sono continue)., Se il pdf è continuo e è piccolo, quindi è ben approssimata da per qualsiasi appartenenti all’intervallo 
. Ne consegue che 
Nell’uguaglianza approssimativa sopra, consideriamo la probabilità che sarà uguale a o ad un valore appartenente ad un piccolo intervallo vicino a . In particolare, consideriamo l’intervallo ., La probabilità è proporzionale alla lunghezza del piccolo intervallo che stiamo considerando. La costante di proporzionalità è la funzione di densità di probabilità di valutata a. Quindi, più alto è il pdf è in un dato punto , maggiore è la probabilità che assumerà un valore vicino a .,
concetti Correlati
concetti Correlati, sono quelli di:
-
giunto funzione di densità di probabilità, che caratterizza la distribuzione di un vettore aleatorio continuo;
-
marginale funzione di densità di probabilità, che caratterizza la distribuzione di un sottoinsieme di voci di un vettore casuale;
-
condizionale funzione di densità di probabilità, che è un pdf ottenuti da condizionare la realizzazione di un’altra variabile casuale.,
Maggiori dettagli
Le funzioni di densità di probabilità sono discusse più dettagliatamente nella lezione intitolata Variabili casuali.
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Come citare
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