Il teorema di Pitagora
Il Teorema di Pitagora
Obiettivi di apprendimento
· Utilizzare il Teorema di Pitagora per trovare il lato sconosciuto di un triangolo rettangolo.
· Risolvere problemi applicativi che coinvolgono il Teorema di Pitagora.,
Introduzione
molto tempo fa, un matematico greco di nome Pitagora ha scoperto una proprietà interessante sui triangoli: la somma dei quadrati delle lunghezze di ogni triangolo gambe è lo stesso come il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa del triangolo. Questa proprietà-che ha molte applicazioni nella scienza, nell’arte, nell’ingegneria e nell’architettura—è ora chiamata Teorema di Pitagora.
Diamo un’occhiata a come questo teorema può aiutarti a saperne di più sulla costruzione dei triangoli., E la parte migliore—non devi nemmeno parlare greco per applicare la scoperta di Pitagora.
Il teorema di Pitagora
Pitagora studiò i triangoli rettangoli e le relazioni tra le gambe e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, prima di derivare la sua teoria.,
Il Teorema di Pitagora
Se a e b sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo e c è la lunghezza dell’ipotenusa, quindi la somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe è uguale al quadrato della lunghezza dell’ipotenusa.
Questa relazione è rappresentata dalla formula: 
Nella casella sopra, potresti aver notato la parola “quadrato”, così come i piccoli 2 in alto a destra delle lettere in ., Quadrare un numero significa moltiplicarlo da solo. Quindi, per esempio, per quadrare il numero 5 si moltiplica 5 • 5, e per quadrare il numero 12, si moltiplica 12 • 12. Alcuni quadrati comuni sono mostrati nella tabella seguente.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Quando si vede l’equazione , si può pensare a questo come “la lunghezza del lato di un volte stessa, più la lunghezza del lato b tempi di sé è la stessa come la lunghezza del lato c tempo stesso.,”
Proviamo tutto il Teorema di Pitagora con un vero triangolo rettangolo.
Questo teorema vale per questo triangolo rettangolo—la somma dei quadrati delle lunghezze di entrambe le gambe è uguale al quadrato della lunghezza dell’ipotenusa. E, in effetti, vale per tutti i triangoli rettangoli.
Il Teorema di Pitagora può anche essere rappresentato in termini di area. In ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato disegnato dall’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati che vengono disegnati dalle due gambe., Puoi vedere questo illustrato di seguito nello stesso triangolo rettangolo 3-4-5.
Si noti che il Teorema di Pitagora funziona solo con triangoli rettangoli.
Trovare la lunghezza dell’ipotenusa
Puoi usare il Teorema di Pitagora per trovare la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo se conosci la lunghezza degli altri due lati del triangolo, chiamati gambe. In altre parole, se conosci le lunghezze di a e b, puoi trovare c.,
Nel triangolo sopra, vengono fornite le misure per le gambe a e b: 5 e 12, rispettivamente. Puoi usare il Teorema di Pitagora per trovare un valore per la lunghezza di c, l’ipotenusa.
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Il Teorema di Pitagora. |
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Sostituire valori noti per a e b., |
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Valutare. |
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Semplificare. Per trovare il valore di c, pensa a un numero che, moltiplicato per se stesso, equivale a 169. Fa 10 lavoro? Che ne dici di 11? 12? 13? (È possibile utilizzare una calcolatrice per moltiplicare se i numeri non sono familiari.) |
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13 = c |
La radice quadrata di 169 è 13., |
Usando la formula, si scopre che la lunghezza di c, l’ipotenusa, è 13.
In questo caso, non conoscevi il valore di c—ti è stato dato il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa e hai dovuto capirlo da lì. Quando ti viene data un’equazione come 
e ti viene chiesto di trovare il valore di c, questo è chiamato trovare la radice quadrata di un numero. (Nota che hai trovato un numero, c, il cui quadrato era 169.,)
Trovare una radice quadrata richiede un po ‘di pratica, ma richiede anche conoscenza di moltiplicazione, divisione e un po’ di tentativi ed errori. Guarda la tabella qui sotto.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Se riesci a ricordare quei numeri quadrati-o se puoi usare una calcolatrice per trovarli-trovare molte radici quadrate comuni sarà solo una questione di richiamo.
Per quale di questi triangoli è 
?,
A)
B)
C)
D)
Trovare la Lunghezza di una Gamba
È possibile utilizzare la stessa formula per trovare la lunghezza di un triangolo rettangolo la gamba, se si sono date le misure per la lunghezza dell’ipotenusa e l’altra gamba. Considera l’esempio seguente.,
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Example |
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Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
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a = ?, b = 6 c = 7 |
In questo triangolo rettangolo, si sono date le misure per l’ipotenusa, c, e una gamba, b. L’ipotenusa è sempre opposto all’angolo retto ed è sempre il lato più lungo del triangolo. |
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Per trovare la lunghezza della gamba, sostituire i valori noti nel Teorema di Pitagora., |
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Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
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Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, che puoi arrotondare a 3.6. (Poiché si sta approssimando, si utilizza il simbolo |
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Risposta |
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.)
Quale delle seguenti utilizza correttamente il Teorema di Pitagora per trovare il lato mancante, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
D) 
Utilizzando il Teorema di Risolvere i Problemi del Mondo Reale
Il Teorema di Pitagora è forse uno dei più utili formule si impara in matematica, perché ci sono così tante applicazioni nel mondo reale le impostazioni., Architetti e ingegneri utilizzano questa formula ampiamente quando si costruiscono rampe, ponti ed edifici. Guarda i seguenti esempi.
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Esempio |
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Problema |
I proprietari di una casa desidera convertire, una scala conduce dal piano terra al loro portico posteriore una rampa. Il portico è 3 piedi da terra, e a causa di regolamenti edilizi la rampa deve iniziare 12 piedi di distanza dalla base del portico. Quanto durerà la rampa?, Usa una calcolatrice per trovare la radice quadrata e arrotondare la risposta al decimo più vicino. |
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Per risolvere un problema come questo, spesso ha senso disegnare un semplice diagramma che mostra dove si trovano le gambe e l’ipotenusa del triangolo., |
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a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Sai che il triangolo è un triangolo rettangolo poiché il terreno e la porzione sollevata del portico sono perpendicolari—questo significa che puoi usare il Teorema di Pitagora per risolvere questo problema. Identificare a, b, e c. |
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Utilizzare il Teorema di Pitagora per trovare la lunghezza di c., |
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12.4 = c |
Utilizzare una calcolatrice per trovare c. La radice quadrata di 153 12.369… quindi si può concludere che a 12.4. |
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Risposta |
La rampa sarà lunga 12,4 piedi., |
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Esempio |
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Problema |
Una barca a vela è una grande vela a forma di triangolo a destra. Il bordo più lungo della vela misura 17 metri e il bordo inferiore della vela è di 8 metri. Quanto è alta la vela?, |
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Disegnare un’immagine per aiutarti a visualizzare il problema. In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa sarà sempre il lato più lungo, quindi qui deve essere di 17 metri. Il problema ti dice anche che il bordo inferiore del triangolo è di 8 metri., |
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Setup the Pythagorean Theorem. |
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a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
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Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
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Sintesi
Il Teorema di Pitagora afferma che in ogni triangolo rettangolo, la somma dei quadrati delle lunghezze del triangolo gambe è lo stesso come il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa del triangolo. Questo teorema è rappresentato dalla formula . In parole povere, se conosci le lunghezze di due lati di un triangolo rettangolo, puoi applicare il Teorema di Pitagora per trovare la lunghezza del terzo lato. Ricorda, questo teorema funziona solo per i triangoli rettangoli.